《分式》精品讲义

1、教师寄语春来春去， 燕离燕归， 枝条吐出点点新绿，红花朵朵含苞欲放，杨柳依依书写无悔年华，白云点点唱响人生奋斗的凯歌，微冷的春风淡去了烟尘与伤痛，沉淀在内心的却是缤纷的梦想以及那收获前的耕耘与奋斗。分式本章小结小结 1本章概述本章在已学过的分数的基础上引入了分式的概述， 用类比的方法探究分式的基本性质，在熟练掌握分式的基本性质的基础上， 会进行分式的约分、 通分和分式的加、减、乘、除、乖方运算，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验分式方程的根小结 2本章学习重难点【本章重点】 了解分式的概念， 会利用分式的基本性质进行约分和通分， 会进行简单的分式加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题

2、数量关系列出简单的分式方程， 会会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型； 会解简单的可化为一元一次方程的分式方程 .【本章难点】应用分式方程解决实际问题小结 3中考透视本章内容在中考中主要考查判断分式有无意义，分式值为零的条件的应用，用分式基本性质进行变形， 分式运算及分式的化简求值， 常与实际问题结合起来命题，题型以解答题为主知识网络结构图分式的概念分式的概念分式的意义、无意义的条件分式的值为 0 的条件分式的基本性质分式的基本性质分式的约分分式的通分分式的乘法规则分式的除法规则分式同分母分式的加减法法则分式的运算分式的加减法法则异分母分式的加减法法则运算性质负正数指数幂科学记数法分式方程

3、公式方程的概念解分式方程的步骤分式方程中使最简公分母为列分式方程应用题的步骤0 的解专题总结及应用一、识性专题专题 1分式基本性质的应用【专题解读】分式的基本性质是分式的化简、计算的主要依据 .只有掌握好分式的基本性质，才能更好地解决问题 .例1化简(1)6xy(2)xyy10 x2 ;x21；解： (1) 6xy2x 3 y3y .10 x22x 5x5x(2) xy2yy( x 1)y .x1( x 1)( x 1)x 1【解题策略】 化简一个分式时， 主要是根据分式的基本性质， 把分式的分子与分母同时除以它们的公因式， 当分式的分子或分母是多项式时， 能分解因式的一定要分解因式 .例2计

4、算31221a 2a24a2 a2解：31221a2a24a2 a23(a2)122(a 2)a 2(a2)(a2)(a2)(a2)(a2)(a 2)(a 2)(a 2)3a18a6(a2)(a2)(a2)(a2)3.【解题策略】 异分母分式相加减， 先根据分式的基本性质进行通分， 转化为同分母分式，再进行相加减 .在通分时，先确定最简公分母，然后将各分式的分子、分母都乘以分母与最简公分母所差的因式 .运算的结果应根据分式的基本性质化为最简形式 .专题 2有关求分式值的问题【专题解读】 对于一个分式， 如果给出其中字母的值， 可以先将分式进行化简，然后将字母的值代入，求出分式的值.但对于分式的

5、求值问题 ,却没有直接给出其中字母的值 ,而只是给出其中的字母所满足的条件，这样的问题复杂，需根据其转点采用相应的方法 .例3已知13 ,求x2的值 .xx2xx41解:因为 x0 ，所以用 x2 除所求分式的分子、分母 .原式1113211 .x21)221361( xx2x例4已知2x2xy 3y20 ，且 xy ，求xx2的值 .yxy解: 因为 2x2xy3y20 ，所以 ( xy)(2 x3y)0,所以 xy0 或 2x3 y0,又因为 xy ,所以 xy0 ,所以2x3 y 0,所以 y2 x,xxxx3 .3所以2 xyx2x22 x 3x7 x7xy3x2x333例5已知3yy

6、4z5, 求(xxyzz)的值 .xzxy)( yz)( x解:设3y4zz51 ,xyxk则 xy3k, yz 4k, z x5k,解得 x=2k， y=k， z=3k，所以xyz2k k 3k6k31y)( yz)( xz） 3k 4k 5k 60k 3.( x10例6已知xza,zyc, 且 abco ,求abc的值 .yxa1b1 c1解:由已知得 1yz ,ax所以 11y z 1x y z ,即 a 1 x y z ,axxax所以 a1xxz,ay同理 b1xyz, cxz,byc1yz所以 abcxyzx y z1.a 1 b 1 c 1 x y z x y z x y z x

7、 y z例7已知xyz1, 且 xy z 0 ,求 x2y2z2的值 .y z z x x yy z x z x y解: 因为 x y z 0,所以原等式两边同时乘以xyz ,得:x( x y z)y( x y z） z( x y z)y zz xx y z.x y即 x2x( yz)y2y( z x)z2z(x y)x y z,y zy zz xz xx yx y所以 x2y2xz2( x y z) x y z,y zzx y所以 x2y2z20.y z z x x y【解读策略】条件分式的求值， 如需把已知条件或所示条件分式变形，必须依据题目自身的特点， 这样才能到事半功倍的效果， 条件分

8、式的求值问题体现了整体的数学思想和转化的数学思想.例 8 已知 xy z , 求x y的值 .345x2 y3z分析根据已知条件 ,可把 x, y, z 用含有一个字母的代数式表示出来,再分别代入到所求式子中化简即可 .解: 设 xyzk, 则 x3k, y4k, z5k .345所以xy3z3k3k4k7k7 .xzy24k 35k 10k10【解题策略】当代数式中的字母的比值是常数时，一般情况下都采用这种方法求分式的值 .例9 已知a bbc ack的值 .cabk, 求2k1分 析只 要 求 出 k的值就可以了,由已知条件可得a b ck ,b cak , acbk , 将这三个等式可加

9、后得到 2(a b c) k(a b c) ,再通过讨论得到k 的值 .解: 由已知到 abck , bcak, acbk .三式相加得 2( abc)k (abc), 即 (2k )(ab c) 0,所以 2k 0,或 a b c 0 .即 k 2,或 abc0 .当 a bc 0 时, abc ,此时 a b1, 即 k1 .c所以 k2 ,或 k1 .当 k 2时 ,k222121;k25当 k1时,k1(111 .k 21)22【解题策略】在得到2( abc)k (abc), 时，因为 ab c 可以等于零，所以两边不能同时除以 abc ，否则分丢解，应进行整理，用分解因式来解决 .例

10、10 已知1 1a1 , 求 ba 的值 .abbab分析 观察已知条件和所示的分式 ,可将它们分别进行整理 ,从中得到某种关系 ,然后求值 .解:由1 11,得 a b1,a bababab所以 (ab)2ab, 即 a2b2ab .所以 baa2b2ab1.ababab例 11 已知 x14 ,求下列各式的值 .x(1) x212 ;(2)x4x2 2.xx1分析观察 (1)和已知条件可知 ,将已知等式两边分别平方再整理 ,即可求出(1)的值 ;对于 (2),直接求值很困难 ,根据其特点和已知条件,能够求出其倒数的值,这样便可求出 (2)的值 .112解: (1)因为 x4 ,所以 x42

11、 .xx即 x22116 .所以 x2 114 .x2x2(2) x4x21x4x21x21 114 1 15,x2x2x2x2x2所以x211 .3243a0x4x215专题 3与增根有关的问题例 12 如果方程x131x 有增根 , 那么增根是.22x分析因为增根是使分式的分母为零的根,由分母 x 20 或 2 x0 可得x 2.所以增根是 x 2 . 答案 : x 2例 13若 关 于 x的 方 程 x24 x a 0 有 增 根 ,则 a的 值 为x3()A.13B. 11C. 9D.3分析因为所给的关于x 的方程有增根 ,即有 x30, 所以增根是 x3.而x3 一定是整式 x24x

12、 a0 的根,将其代入得3243a0 ,所以 x3.答案 :D例 14a 何值时 ,关于 x 的方程2ax4x3会产生增根 ?x2x22分析 因为所给方程的增根只能是x2 或 x2，所以应先解所给的关于x的分式方程，求出其根，然后求 a 的值 .解: 方程两边都乘以 (x 2)( x 2),得 2( x2) ax3( x 2).整理得 ( a 1)x10 .当 a = 1 时,方程无解 .当 a1时,10.xa1如果方程有增根 ,那么 ( x 2)( x2) 0 ,即 x2 或 x2 .当x2时 ,10所以 a4;a 12 ,当x2时,10所以2 ,a = 6 .a 1所以当 a4或 a =

13、6 原方程会产生增根 .专题 4利用分式方程解应用题【专题探究】列分式方程解应用题不同于列整式方程解应用题.检验时，不仅要检验所得的解是否为分式方程的解，还要检验此解是否符合题意.例 15 在“情系海啸 ”捐款活动中，某同学对甲、乙两班捐款情况进行统计，得到如下三条信息 .信息 1：甲班共捐款 300 元， 乙班共挡捐款 232 元 .信息 2: 乙班平均每人捐款钱数是甲班平均每人捐款钱数的信息 3 : 甲班比乙班多 2 人.请根据以上三条信息 ,求出甲班平均每人捐款多少元.解: 设甲班平均每人捐款 x 元 ,则乙班平均每人捐款 4 x 元.5根据题意 , 得 3002322 ,解这个方程得

14、x 5.x4x5经体验 , x5 是原方程解 .4 .5例 16(08 ·山西 ) 某文化用品商店用2000 元购进一批学生书包，上市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第二批进数量的3 倍，但单价贵了 4 元，结果第二批用了6300 元 .（1）求第一批购进书包的单价是多少？（2）若商店销售这两批书包，每个售价都是 120 元，全部售出生，商店共盈利多少元？分析设第一反批购进书包的单价为x 元，则第二批购进的书包的单价为( x 4) ，第一批购进书包2000 个，第二批购进书包6300个.xx 4解: 设第一批购进书包的单价为x 元 .依题意 ,得 2000 36

15、300 ,xx4整理 ,得 20( x 4)21x, 解得 x80 .答: 第一批购进书包的单价为80 元.解法 1: (2) 2000(120 80)6300(12084) 100027003700 (元).8084答: 商店共盈利 3700 元.解法 2 : 2000(1 3) 120(20006300)1200083003700 (元)80答: 商店共盈利 3700 元.二、规律方法专题专题 5分式运算的常用讨巧（1）顺序可加法 .有些异分母式可加 ,最简公分母很复杂 ,如果采用先通分再可加的方法很烦琐 .如果先把两个分式相加减 ,把所提结果与第三个分式可加减 , 顺序运算下去 ,极为简

16、便 .(2)整体通分法 ,当整式与分式相加减时,一般情况下 ,常常把分母为1 的整式看做一个整体进行通分 ,依此方法计算 ,运算简便 .(3)巧用裂项法 .对于分子相同、分母是相邻两个连续整数的积的分式相加减，分式的项数是比较多的，无法进行通分，因此，常用分式111进行n(n1)nn1裂项 .(4)分组运算法 : 当有三个以上的异分母分式相加减时,可考虑分组 ,原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数,且值相同或为倍数关系,这样才能使运算简便 .(5)化简分式法 .有些分式的分子 .、分母都异常时如果先通分，运算量很大.应先把每一个分别化简，再相加减.(6)倒数法求值（取倒数法）.(7)活用分

17、式变形求值 .(8)设 k 求值法 (参数法 )(9)整体代换法 .(10)消元代入法 .例 17化简112 x4 x3x 1x 1x21x41解: 原式=x 1x 12x4x32x2x4x3x21 x21 x2421 x21 x411 x 1 x21 )2x21 )3332x ( xx(x4x4x4( x21 ) x(21 )x41 x41 x414x3(x41 )341 )74xx(x8( x41 ) x(41)x8 .1例 18计算 a24 .a 2解：原式a24(a2)(a2)41a2a2a2(a2 )a(2 )4 a2a2a2例 19计算 x2xx31.x1解：原式x2x1x3( x

18、1)(x2x 1)x3x1x1x1x3x1x31 .1x1例 20计算1111.a(a1)( a 1)(a2)( a2)( a3)( a2005)( a2006)解:原式11111111aa1a1a2a2 a3a2005a200611111111aa1a1a2 a2 a3a2 0 0a5200611aa2006a2006aa( a2006)a(a2006)a22006.2006a【解题策略】要注意裂项法解分式是，常用分式111.n(n1)nn1例 21计算1111.x2x x22x x x23x 2 x24x 3解: 原式1111x2x x23x 2x22x 1 x24x 31111x( x1

19、)( x1)(x2)x( x1)2(x1)( x3)( x2)x(x3)( x1)x(x1)( x2)( x1)2 (x3)22x(x1)( x2)(x1)2 (x 3)2( x1)(x3)2 x(x2)x( x1)2 ( x2)( x3)2(2 x26x3).x(x 1)2 ( x2)( x3)例 22已知 x3, 求12x211 .x4x 2解: 原式111( x2)( x 2)14x24x24x 2 x 2 x24x21x23 .x2444当 x3, 原式33.(13) 242225x 2 .例 23计算 x23x 6 x2x3x2x5x6解: 原式1414x23x 2x25x644x2

20、3x 2x25x644( x 1)(x 2)( x2)( x3)4(x3)4( x 1)( x1)(x2)(x3)( x2)(x3)( x1)8x16( x1)(x2)(x3)8.( x1)(x3)例 24已知x7,求x2的值 .2x4x2x1x1解: 因为x2x7 ,所以 a0,x1所以 x2x 11 ,即 x1 8 ,x7x7x4x22所以1x211 x11 15x2x2x49所以x4x2115 .x249【解题策略】在求代数式的值时，有时所给条件或所求代数式不易化简变形，当把代数式的分子、 分母颠倒后，变形就容易了，这样的问题通常采用倒数法 （把分子、分母倒过来）求值.例 25 已知 x25x1 0 和 x0 ,求 x41的值 .1x4解: 由 x25x 10 和 x0 ,提 x5 ,x12所以 x4x212x4x2122x22x(522)22527【解题策略】若能对分式进行熟练的变形运用，可给解题带来极大的方便.例 26已知 bccaab , 求abc的值 .abcab bc (ca)解: 设 b c c a a bk ,abc所以 bcak , cabk , abck所以 bccaabakbkck ,所以 2( abc)k (ab c),( ab c)