参数方程专题练习(整理)

1、1 （本小题满分10分）选修4一4：坐标系与参数方程。已知曲线CpX =-4 +cos/, y = 3 + sin,（t为参数）,% = 8COS 0.y = 3sing（&为参数）。（I）化cC?的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线;（2）若Cl上的点P对应的参数为/ =彳，Q为C?上的动点，求PQ中点M到克线T3 + 2/cX=' （t为参数）距离的最小值。y = 2 + /2 （2009宁夏海南卷文）（本小题满分10分）选修4一4：坐标系与参数方程。已知曲线C：X =-4 + cosf,y = 3 + sin,（t为参数）,X = 8COS y = 3sing（&

2、amp;为参数）。（1）化CC?的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线;（2）若5上的点P对应的参数为吟Q为5上的动点，求PQ中点M到直线3 + 2/C3：b = -2 + r"为竣数）距离的最小值。3. （2010年高考福建卷理科21）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系XOy中，直线/的参数方程为（t为参数）。在极坐标系（与直角坐标系XOy取相同的长度单位，且以原点0为极点，以X轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为p = 25 SinO（【）求圆C的直角坐标方程；（II）设圆C与直线/交于点A、B,若点P的坐标为（3, JJ）,求PA+ PBlo4. （

3、2010年高考江苏卷试題21）选修4-4：坐标系与参数方程（本小題满分10分）在极坐标系中，已知圆P =2cos 0与直线3 P COS 0 +4 P Sirl +a=0相切，求实数a的值。5. （2010年全国高考宁夏卷23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程X = 1 + t COS a 亠，X = COS O已知直线CH（t为参数），CA（/为参数），y = ZsincrIy = Sin 8（I ）当=-时，求G与C2的交点坐标；3（H）过坐标原点O做G的垂线，垂足为几，P为OA中点，当&变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。6. （2010年高考辽宁

4、卷理科23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程X=CoS0.q已知P为半圆c： Iy=SilI （&为参数，oer）上的点，点A的坐标为（i.o）,0为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为兰。3（I）以0为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；（II）求直线AH的参数方程。7. （2011 福建高考理科T21） （2）在直角坐标系XOy中，直线/的方程为-y+4=0,曲 线C的参数方程为x = COSa*（«为参数）y = Sinor（I）已知在极坐标系（与直角坐标系XOy取相同的长度单位，且以原点0为极点，以X轴正半轴为极轴）

5、中，点P的极坐标为（4, »判断点P与直线,的位置关系;（II）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线/的距离的最小值.x = 5 COS 0在平面直角坐标系XOy中，求过椭圆8. （2011 江苏高考 T21C）（选修4-4：坐标系与参数方程）（0为参数）的右焦点，且与直线 y = 3sn丄3： '为参数）平行的直线的普通方程9. （2011 新课标全国高考理科 T 23）在直角坐标系M中，曲线G的参数方程为X = 2CoSa'（&为参数），1是G上的动点，P点满足O P = 2OM,P点的轨迹为曲线 y = 2 +2Sinaa.（【）求G的方程.（II）在

6、以0为极点，疋轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线&=彳与G的异于极点的交点为儿与G的异于极点的交点为E求AB.10. （2011 新课标全国高考文科 T23）在直角坐标系水为?中，曲线C的参数方程为JC = 2ooSa, y = 2+2sinff（为参数），M是G上的动点，P点满足OP = 20M ,P点的轨迹为曲线Q（【）求G的方程.（II）在以0为极点，疋轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线O =彳与的异于极点的交点为儿与G的异于极点的交点为E求IABI.11. （2011 辽宁高考理科 T23）（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系Xoy中，曲线Cl的参数方程为JX=CO

7、S（CP为参数），曲线Q的参数方程为 y = sinx"acos（a>b>0 为参数）.在以0为极点，X轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射 y = bsin线厶=与C. G各有一个交点当Q=O时，这两个交点间的距离为2,当=-时， 2这两个交点重合.（I）分别说明G, Q是什么曲线，并求出Q与b的值；（II）设当=-时，/与G, Q的交点分别为鮎Bh当«=-时，/与G,44G的交点为A2, B2,求四边形A1A2B2B1的面积.（X 2c°s参靭12. 已知曲线G的参数方程是ly = 3s0,以坐标原点为极点,X轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线G的极坐标

8、方程是P = J正方形ABCD的顶点都在C2上，且4SC,Q依逆时针次序排列，点A的极（2,-）坐标为3丿.（1）求点A B C的直角坐标.（2）设P为G上任意一点，求H+H+IpcI2+IpdI2的取值范围.13. 在直角坐标系 X® 中，圆 C-A2 + -y2=4,圆 C-（X-2）2 + -y2=4.在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆GG的极坐标方程，并求出圆SG的交点坐标（用极坐标表示）.(2)求圆G与G的公共弦的参数方程.14. (2012 福建高考理科T21)在平面直角坐标系中，以坐标原点0为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线/上两点M,2

9、J x = 2 + 2cosON的极坐标分别为(2,0),(2),圆C的参数方程=+2Sin为参数)(1) 设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程.(2) 判断直线/与圆C的位置关系.p(迈,15. (2012 L苏髙考T21)在极坐标系中，已知圆C经过点'4丿，圆心为直线>7sn( I) = -T与极轴的交点，求圆C的极坐标方程.r = 2cos?16已知动点只Q都在曲线C:C；(0为参数上对应参数分别为卩=Ct与y = 2snp0 = 2(O<v2"), M 为 PQ 的中点.(I) 求M的轨迹的参数方程；(II) 将M到坐标原点的距离表示为Q的函

10、数，并判断M的轨迹是否过坐标原点.17. 在直角坐标系口巧中以O为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系.圆G,直线C?的极坐标方程分别为 p = 4sinp = cos - = 2y2.4丿(I)求G与交点的极坐标；(Ii)设P为G的圆心，0为G与交点连线的中点已知直线PQ的参数方程为x = t +a< b r（居R为参数），求o"的值.y = -r+ 1L 218. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立坐标系.已知点A的极坐标为（2,-）,直线的极坐标方程为QCOS（O兰）=且点A在直线上.44（1）求"的值及直线的直角坐标方程；x = l +

11、COS a(2)圆C的参数方程为y = Sin aa为参数）试判断克线与圆的位置关系.x = 4 + 5COSr y = 5 + 5sinf19（2013年髙考新课标1 （理）选修4一4：坐标系与参数方程 已知曲线G的参数方程为（为参数）以坐标原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线G的极坐标方程为p = 2sin0.（I ）把G的参数方程化为极坐标方程；（II）求G与G交点的极坐标（p>0,00<2）. Y，¢ = 2 + /20已知曲线C： + = 1,直线儿V（f为参数）49y = 2-2（【）写出曲线C的参数方程，直线/的普通方程；（II）过曲线C上任一点P

12、作与/夹角为30°的直线，交/于点4,求IPAl的最大值与最小 值.21在直角坐标系XOy中，以坐标原点为极点，X轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方 程为 /? = 2 cos ,处。哥（I ）求C的参数方程;（II）设点D在C上，C在D处的切线与直线y = 3x + 2垂直，根据（I ）中你得到的 参数方程，确定D的坐标.22.（2014辽宁）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆 + = 1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.（1）写出C的参数方程；（2）设直线l.2x+y-2 = O与C的交点为Pl,P2,以坐标原点为极点，X轴正半轴为极

13、坐 标建立极坐标系，求过线段片出的中点且与/垂直的直线的极坐标方程.23 （2014福建）（本小题满分7分）选修4一4：极坐标与参数方程jv a 2/一，（/为参数），圆C的参数方程为y = -4X = 4CoSe八，（&为常数）y = 4sin0（I）求直线/和圆C的普通方程；（II）若直线/与圆C有公共点，求实数d的取值范围.24. （ 15年福建理科）在平面直角坐标系My中，圆C的参数方程为JV 二+ 3 COS t"一 （t为参数）在极坐标系（与平面直角坐标系Xoy取相同的长度单位，且以y = -2+ 3 Sinr原点0为极点，以X轴非负半轴为极轴）中，直线1的方程为

14、>5PSin（0 - ） = m,（m w R）.(I )求圆C的普通方程及直线1的直角坐标方程;(II)设圆心C到直线1的距离等于2,求In的值.25. (15年新课标2理科)在直角坐标系中，曲线C： 一 .(£为参数，ty = rsn0),其中OW <刀，在以0为极点，X轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线° = 2sin,C： Q = 2>JCoSeo(1) 求Q与交点的直角坐标；(2) 若C与G相交于点儿G与G相交于点，求IABl的最大值。JC f CoS Ct26. (15年新课标2文科)在直角坐标系XOy中曲线C* 一 '仁为参数且心0 )

15、, y = Zsina,其中0v;F ,在以O为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2: p = 2sinQG : P = 2>3cos .(I) 求C2与C3交点的直角坐标；x=3+-t厂2 (f为参(II) 若G与c?相交于点儿G与G相交于点E求WBl最大值.27(15年陕西理科)在直角坐标系AOy中，直线/的参数方程为彳数)以原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，OC的极坐标方程为p = 23sin<9.(I)写出OC的直角坐标方程;(ID P为克线/上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标.28. (15年陕西文科)在直角坐标版权法XOy S t直线/的参

16、数方程为参数)，以原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，G)C的极坐标方程为 P = 2 VJsin .(I) 写出OC的直角坐标方程；(II) P为直线/上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求点P的坐标.1解：2 2(I ) CI: (x + 4)2 +(y 3)2 =I9C2: + = 649G为圆心是(一4,3),半径是1的圆.C?为中心是坐标原点，焦点在X轴上，长半轴长是&短半轴长是3的椭圆.(H)当/ =冬时，P(4).(8cos3SinfcM(-2+4cos.2 + -sin).2 2G 为直线-2>'-7 = 0,M到C?的距离J =4cos6>

17、-3sin6>-13l.2解:Cl为圆心是(-4,3),半径是1的圆。C?为中心是坐标原点，焦点在X轴上，长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆。(II)当/ =兰时，P(-4,4).(8cos3sin),故M(_2 + 4cos&2 + ?sin&)2 2C3 为直线x-2y-7 = 0tM 到G 的距离=迈I4cos<9 3sin0-13l3 5从而当cos = ,Sin =时，取得最小值纣二5553【解析】(I )由p = 25sinx2 + y2-25y = 0, BPx2+(y-5)2 =5.(II)将/的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得(3- O2+(O2

18、=5,2 2即r2-32r + 4 = 0,由于A = (3>)2-4×4 = 2>0,故可设人心是上述方程的两实根,所以<,+2='晅、又直线/过点P(3,5),故由上式及t的几何意义得： M=4PA ÷PB>t1l+lt2l = t1+t2= 32 04 解：Pl = 2/?cos& ,圆 P =2COS 的普通方程为：x2 + y2 = 2x,(x-l)2 +)，= 1,直线 3 p CoS +4 P Sin +a=0 的普通方程为：3x + 4y+ d =O ,31 + 4 O + I又圆与直线相切，所以一=1,解得：U =

19、2、或“ =一8。32+425解:(【)当 3时，G的普通方程为y = 3(x-l), C2的普通方程为x2 + r =Io联立 方程组v"(Z),解得G与C,的交点为(1.0) l,-2V2÷r = (22 丿(H ) C的普通方程为 XSina-ycos-SineJf = OOA 点坐标为(SiIfa-COSaSina),故当Q变化时，P点轨迹的参数方程为：1？(为参数)p点轨迹的普通方程为'X = -SIrra21=-Sinofcosa2故P点轨迹是圆心为半径为严故点M的极坐标为(兰上)3 3"为参数)10分(23)解：由已知，M点的极角普，且M点的

20、极径等于話x=1 + (7-1)6因为点P的直角坐标(0.4)满足直线/的方程-y + 4 = 0>所以点P在直线/上.(II)因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(3cosSina)t从而点Q到直线/的距离为=V cos（ + ） + 22,6I >3 COSa-Sina+ 41 _ 2cos（ +石）+ 4 2 2由此得当cos(+-) = -l时，取得最小值，且最小值为 Q68椭圆的普通方程为苏訐1,右焦点为4 0),直线x = 4-2r, y = 3-t(r为参数)的普通方程为2v-x = 2,斜率为丄；所求直线方程为：y = l(-4),h-2y-4 = 0.2 29(

21、1)设PS),则由条件知“(雳)由于M点在G上，所以=2COS ,2=2 + 2Sina12H-X = 4COS ,y = 4 + 4sin%从而C2的参数方程为X = 4CoSa'（&为参数）y = 4 + 4sin(II )曲线CI的极坐标方程为p = 4Sin I曲线C?的极坐标方程为p = Ssin .射线6 =丄与Cl的交点A的极径为0=4sinf,射线B = 与C2的交点B的极径为/?2 =8sin-.所以I血冃P2-P= 2 .10 (I)设P(xy)则由条件知M(丄,= )由于M点在G上，所以 2 2=2 cos,2丄=2+ 2Sin ,12x = 4cos,y

22、 = 4 + 4sin.从而C2的参数方程为x= 4cos< , y= 4+4Sina(为参数).(Il)曲线Cl的极坐标方程为p = 4sin ,曲线C2的极坐标方程为p = 8sin .射线6 =丄与CI的交点A的极径为PX =4sin-,射线6 = 2与6的交点B的极径为p2=8sin.所 IUIABI = Ir2-r1=23.II(I)Cl是圆，q是椭圆.当 = 0时，射线/与Cr C?交点的直角坐标分别为(1,0),(匕0),因为这两点间的距离为2,且a>0.所以a = 3.当"訓，射线/与S G交点的直角坐标分别为(W(W因为这两点重合,所以b = .(II)

23、 C1, C2的普通方程分别为x2÷y2 = 1和-+y2=.当a = 时，射线/与G交点儿的横坐标为x = ,与C?交点色的横坐标为10当送时，射线“G，G的两个交点,场分别与八$关于龙轴对称，因此 四边形AI A2B2B1为等腰梯形.故四边形AI A2B2Bi的面积为(2V + 2-V)( V - V)- 212 (1)由已知可得A 2cos = ,2sin=),B 2cos(彳+ f,2sin(彳+ #C 2cos - + L2sin + 13 丿 13任+3T2cos+2sin即 A(l,),(-3,1),C(-1,-3),D(3-1)设 P(2cos0,3sin0),令S

24、= IPAI2 +PB2 +PC2 +|加|则S= 16cos2 0 + 36sin' + 6 =32 + 20sin2 因为Osin>l,所以S的取值范围是32,52.13(1)圆G的极坐标方程为0 = 2；圆C2的极坐标方程为Q = 4c°s0;(P = 2p = 28 =旦联立方程组S = 4cosB,解得Q -3 .故圆C2的交点极坐标为(2.£),(2,-£)X = QCOS 0 及b = Qs加&得33Z 、 I p = 2,e = ±-（2）由3圆G, °2的交点直角坐标为(i,Q),(i-3).(呼故圆q,

25、 C2的公共弦的参数方程为J" = ,(-33). yt14 (1)由题意知，M, N的平面直角坐标分别为(2，°),又点P为线段MN的中点，从而点P的平面直角坐标为故直线OP的平面直角坐标方程为(呼(2)因为直线/上两点M, N的平面直角坐标分别为(2,0),所以直线/的平面直角坐标方程为3x÷3y-23=0. 又圆C的圆心坐标为(2,-馆)，半径r = 2,l23-33-23l3d = -<r圆心到直线/的距离为咛 2,.直线/和圆C相交.15T圆Q圆心为直线h与极轴的交点,psin - j2中令&二0,得Q = L圆Q的圆心坐标为（1, 0）.

26、圆C经过点Pw）圆C的半径为2÷P-2×1×2cosJ=1圆Q经过极点，圆C的极坐标方程为Q=2cosO.16【答案】（I）依題意有2（28$加.2$油巾）因此M (COS a + cos 2«. si0÷sin2).（为參敷 OVaV2兀）.M的轨迹的参效方程为(JfaeO + c°s(y = sn+ sn 2,（H ） M点到坐标Si点的距离rf = xj *y2 =72+ 2CoSa (0< <2)当=时.d = o故M的轨迹过坐标頂点.17【答案】(I "関G的标科勿於+(y-2)2 = 4 il CZ

27、的苴角 k 方 M 为 + y-4 = 0.p2 + (y-2y4.r1 = 0.I X2 = 2.(r + y - 4 = 0Yi = 4"2 = 2.Cl ½G.,'的极H"刃M.*),位近E楼坐标系卜止的&4期(Il MlI ( I 丿叫传，P ,. ,J<.Wil,ITkHIlZJ (0.2). (1.3). 故, PQ 的BII (HM>j；/»7 XJi-V ÷ 2 = <),b 07I l¾ j f,rfi!i y = 7 A 一 T /J7= 1/ t f j(4 = - I.= 2.

28、-+ 1 = 2 *18【答案】解：(I )由点A(2,-)在直线QCOS(&-冬)=。上，可得a = 244所以直线的方程可化为QCoS&+ QsinO = 2从而直线的直角坐标方程为x+y-2 = 0(II)由已知得圆C的直角坐标方程为(X-I)2+y2=l所以圆心为(1,0),半径r = l以为圆心到直线的距离6； = <1,所以直线与圆相交2X = 4 + 5 COS t19【答案】将T消去参数化为普通方程(4)2+(y-5)2 =25.>,= 5 + 5sin/C O“X= pcos r J即 CI : f +厂 一8X-IOy+ 16 = 0 将 <

29、;代入 ' +>r - 8x-IOy+ 16 = 0y = QSin 0得.p2 -8PCOS-IOPSin+ 16 = 0 ,/. CI 的极坐标方程为 PL -8?COS-IOpsin +16 = O ；(II)C2的普通方程为 + r-2y = 0,x2 +y2 -8x-10y + 16 = 0x = l,解得或VJr +)L _2y = 0U = I由V = O G与C,的交点的极坐标分 y = 2别为(>/2, ), (2,).乙20【解析L(I)曲线C的参数方程为：直线1的普通方程为：2x+y-6 = 0X = 2 cos = 3sin. (O 为参数(II)

30、(2)在曲线C上任意取一点P (2cosC3sinO)到1的距离为= y-14cos + 3sin-6,则開岛sin(0 + )-64 ?,其中&为锐角且tan =-.3当sin(<9÷) = 一1时，I PAl取得最大值，最大值为空了；当sin(0+)= 1时，IPAI取得最小值,最小值为10分(1> C的骨通方壮为(r-D, d 7 (0 ,vi).可徇C的参数方程为 "¥嗨 WHHs 0kK21I Il 14Anr)i. Ill < I > JrttrU；(L ul心 l 力, LPUMClTAftm,/ - F*Wfl*t&

31、lt;/) J啲*i F梅阿22 (1)曲线C的参数方程：x = cos, y = 2sin, 0, (2)设曲线C上的点P(cos,2sin8)在直线上，贝cos + 2sin-2 = 0, 解得sin(8 + t)二1即&二0,或£所以，A(l,0)"(02),AB中点()422垂直AB的中垂线方程是V-I = -(-)BP4v-3 = 2%2 2所以所求直线的极坐标方S2cos-4sin + 3 = 023解:(1)直线/的普通方程为2xy2e=0,圆C的普通方程为÷y = 16.(2)因为直线/与圆C有公共点，故圆C的圆心到直线/的距离解得一 25a25.24【解析】试题分析：(I )将圆的参数方程通过移项平方消去参数得x-1 2+ y + 2 2 =9 ,利用X = PCOs , y = psn将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；(1【)利用点到直线距离 公式求解.试题解析：(1)消去参数一得到圆的普通方程为X-I 2+ y + 2 2 =9,由 >5PSin（0 一扌）=m,得QSinCOSo-m = O .所以直线1的直角坐标方程为x-y-z = 0.(II)依題意，圆心C到直线1的距离等