求椭圆离心率范围的常见题型及解析

1、求椭圆离心率范围的常见题型解析解题关键：挖掘题中的隐含条件，构造关于离心率e的不等式、利用曲线的范围，建立不等关系22【例1】已知椭圆 4+4=10 AbA0)右顶为A,点P在椭圆上，O为坐标原点，且 OP垂 a b直于PA,求椭圆的离心率 e的取值范围得ma1 &ajl < r -尹可揭/ r1 < /捋,二点P在以为为百役的圆上.V 0(0.0)tA(o,U), 乙以曰为白径的圆方程为尸 + / - rur =(土业联立产3 涓去皿指I r*卜-心 D f8? - ar) zJ trif1 = (J.设 P (in, h),则722F1(-c,0), F2(c,0)，若

2、椭圆上存在x V【例2】已知椭圆 +J=1(aAbA0)的左、右焦点分别为 a b. 2-1,1 .ac一点P使=，则该椭圆的离心率的取值范围为sin PF1F2 sin PF2F1在中,由正弦定理得;"I _sinZPF风由璐圆的几何性质知：旬 一1则1叩!%in 2 PFia e则由已知得；,|PF2| IMIq(e 1)> -o,e(e+ 1)整理得e22e-l>0T 解得:即：aPFl = cPF2设点（旬，跖）由傍点半径公式.< -/2- 1 或 孩 一 1,又得：PFt = a-exPF2位。ee (0,1),则 a(o-F ero) = c(a a (

3、c d) e (c + a)解得:珈exa)a(c 1)e(e+ 1)故椭圆的离心率：咋故答案为：只二、利用曲线的平面几何性质，建立不等关系【例3】已知F、F2是椭圆的两个焦点，满足 夺好=将 的点P总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）1A. (0,1) B. (0,一2三、利用点与 椭圆的位置关系，建立不等关系22x V【例4】已知AABC的顶点B为椭圆 r +土 = 1 (a A b A 0)短轴的一个端点，另两个顶点也在 a b椭圆上，若 AABC的重心恰好为椭圆的一个焦点F(c,0),求椭圆离心率的范围M诚岫(Q仿可7四、利用函数的值域，建立不等关系22【例51隋圆二十 J=1(

4、aAb>0)与直线x + y -1 =0相交于a、b两点，且OA QB = 0 (O a bx代乂广为原点)，若椭圆长轴长的取值范围为底,J6】，求椭圆离心率的范围怯成:*8出伫孕气人【目令眼志2-甘一北：。一 W)二D、：ufJ%、，近三&Xs'g,产 Q6*另 孝代空产界申充L五、利用均值不等式，建立不等关系【例6】已知Fi、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，/ FiPF2 = 60°.求椭圆离心率的范围;22x V解 设椭圆万程为 + t2= 1 (a>b>0) , |PFi|= m, |PF2|= n,贝U m+ n = 2a.a b在

5、PF1F2中，由余弦定理可知,4c2 = m2+ n2 2mncos 60 °= (m + n)2 3mn4a2 3mn > 4a2 3 -m+ n= 4a2 3a2 = a2< 2 7c2 11（当且仅当 m= n时取等亏）.故< e < 12七、利用实数性质，建立不等关系解析 3 :设 P（x,y ）,由 PF1 _LPF2 得 = 1 ,即 y2 =c2 x2 ,代入x c x 一 c4，即e>2一 一1又0<e<1 ,e的取值范围是 2，1 .22x V【例7】 已知F1、 F2是椭圆二+ % = 1（a a b0）的两个焦点，椭圆上

6、一点P使 a bNF1PF2 =90°,求椭圆离心率e的取值范围解析 1 ：令 pF1 = m, PF2 = n，贝U m +n = 2a 由 PF1 _L PF22-m2 n2 = 4c2 . 4c2 = m2 n2 _ n = 2a22又 0 ： e ： 1._ e ： 12六、利用焦点三角形面积最大位置，建立不等关系解析2 :不妨设短轴一端点为B221一，则 S击 pf2 =b tan45 =b < S击bf2 = 乂 2c x b = ben b < c = b2 < c2 n a2 - c2 < c2 n e2 = % > 2 x2 a2 匕

7、b2=1 得 x2a2 c2 -b22，ca22rr 222c 应 22即 c >a -c ,，二 e =一芝又e < 1< e< 1a 22八、利用曲线之间位置关系，建立不等关系解析4 : / PF1 _L PF2P点在以F1 F2为直径的圆上又P在椭圆上，222.二P为圆x + y = c与22土七二1b2的公共点.由图可知22.22a -c s c : a222说明：椭圆上一点距中心距离最小值为短半轴长b 史 c ： a = b 至 c : a九、利用ZF1PF2最大位置，建立不等关系22解析4：椭圆 与十。=1 (a Ab A 0)当P与短轴端点重合时/F1PF2最大a b无妨