行列式试题库1

1、.判断题（易）1、现1a12ana21a22a2naman2annn阶行列式是由n2个数构成的n行n列的数表（）答案：x（较容易）2、答案：X（较容易）3、答案:（较容易）答案:二.填空题（中等）1.设A答案：0, 0（中等）2.答案：0（较容易）3. 52,0,1 ,则 Dk84.若方阵k2k10k1 k2k8A的各行元素之和为零，则 A 0 （）阶行列式, A31A32A33,A34A35, 求 A11A21A31A41 =D的第2列元素依次为1,1,0,2,1它们对应的余子式分别为一1,3,答案：3（较容易）4.c aa ca cc a答案：02x2yxx y（较容易）5.2x3yx y

2、x2x3yxy答案：2xy(x y)246427327（较容易）6.1014543443 = 342721621答案：2941051 2 31,2,3),（中等）7.已知三阶行列式D 4 5 6，它的元素a”的代数余子式为 入（i 1,2,3, j7 8 9则与aA21bA22 cA23对应的三阶行列式为123答案：abc7893040（中等）8.设行列式D222207005322则第四行各元素余子式之和的值为答案：-28（较容易）9.答案：x2y2x x 0011x11_00 yy111 1 y（中等）10.行列式答案：x4（较容易）时,齐次方程组X1X2X3X1X1X22 x2X3X300

3、有非零解.0答案：1,（较容易）2.设D2 a3 ab2b32 c3 cd2 dd3，则D=答案：（dc)(d b)(da)(cb)(c a)(ba)（较容易）13.已知四阶行列式D的第二行元素分别为3, 1, -1,2,他们对应的余子式分别为 1,2, 2, -1,则行列式D答案：-1（较容易）14.设A是三阶方阵，且| A| 3,则|（2A） 1 | =-1答案：24（容易）15. A为正交矩阵，则|A|答案：1或-1（较容易）16.已知四阶行列式D的第3列元素分别为1,3,-2,2,他们对应的余子式分别为3,-2,1,1,则行列式D=答案:（容易）17.行列式中元素a的代数余子式答案：4

4、（较容易）18.四阶行列式 D的第二行的元素都是2,且第二行元素的代数余子式都是3,则D=答案：0（较容易）19.设A是三阶行列式，且 A 1,则A 2A 答案：512（较容易）20.设五阶矩阵A的行列式A_ 一.一 * *2 ,则其伴随矩阵 A的行列式 A答案：16123则第3行第2列元素的代数余子式（容易）21.已知三阶行列式D 2 01152A32 =答案：7（容易）22.按自然数从小到大为标准顺序，排列4132的逆序数为 .答案：1（容易）23.当i k 时排列1274i 56 k 9为偶排列.答案：8, 3（容易）24.排列1 3（2n 1） 2 4（2n ）的逆序数为 . 答案：n

5、2（容易）25.在五阶行列式中项a13a24a32a41a55前面应冠以 号（填正或负）答案：负（容易）26.四阶行列式中含有因子 a11a23且带负号的项为 答案：a* a23 a32 a44（容易）27.设A为n阶矩阵，且ATA E,则必有|A 答案：1或1._ _*（容易）28.设A为n阶可逆矩阵，如果 A2 ,则A 答案：2n1（容易）29.设A为n阶可逆矩阵，如果 | A|2，则A 答案：（2）n 1（容易）30.设A为n阶矩阵，且AT A E ,则必有 AT 答案：1或1（容易）31.设A是n阶万阵，A为其伴随矩阵，若|A| a,则|A |=答案：an1答案：24（容易）32.若

6、| A4 4 |*则|A |答案：8（容易）33.设D3，则 A31A32A33答案：0（较容易）34.若答案：2a或0（较容易）35.已知3xy 3y , 23z答案：2（较容易）36.设 d2a4a30a20a10D1a102a203a304a4D2（容易）37. D答案：-18（容易）38. D答案：32（较容易）39. D答案：0120034000054004512003 4000 01 3_0 05111110 0 110 0 11_10 0 1，则Mj之间的关系2,那么 3(ATB 1)3*2A Bx y z 0（较容易）40.若齐次线性方程组x 3y z 0有非零解x y 3z

7、0答案:（容易）41.行列式A中元素aj的代数余子式 Aij与余子式答案：Aj（1）ijMij（较容易）42.若n阶方阵A的秩为n-1,在A 答案：0（较容易）43.设A,B是两个三阶的方阵，且A 1, |B27答案：278（容易）44.设三阶方阵A的不同特征值为-1,2,4 ,则A答案:-8、一 、一一一 1（较容易）45.若A,B为n阶万阵，且A -, B 3,则答案：（1）n 1（容易）为三阶方阵，A2,则入 1答案：.4（较容易）47.设行列式,则 2A41 4A42 6A43 8A44答案：0（较容易）x y z4133 0 22,则x 1 y 1 z1 1111148.若答案：2（

8、较容易）827641254916252345111149.答案：12a11a12a13an3a12a13（较容易）50.如果Da21a22a233,则2 a216a222a23a31a32a33a313a32a33答案：-18（较容易）51.a11a12a132a112a122a13a21a22a233,则2 a212a222 a23a31a32a332 a312 a322 a33如果D答案：24（容易）52.已知三阶方阵A的三个特征值为1, - 2, 3答案：6（容易）53.Dn答案：（1)n1n!（容易）54.答案：0（容易）55.已知答案：（容易）A23abacaebdcddebfcfe

9、f56.答案：4abcdef（较容易）57.答案：1选择题1b10011 b1b20011 b2b30011 1D2001021001201002（较容易）行列式答案：9（k 1）x1 2x2 0（容易）1.如果仅有零解，则（）.2x1 （k 1）x2 0A. k 1 , B.答案：Dk 1或 k3, C. k 3, D.k 1 且k 3.（较容易）2.,分别表示行列式 D的三个列，则 D （）A.C.B.D.答案：D（较容易）3.四阶行列式D=b4a2 b30b2b10的值等于（）A. aa2a3a4 b1b2b3b4B.a30a，叫贴4C. (aa2 b1b2)(a3a4 b3b4)D.(

10、a2a3 b2b3)(a1a4 6b，)答案：Da11a12a132a112a122 a13（容易）4.如果a21a22a232,则2 a212a222a23a31a32a332a312 a322a33A. 2 B. 4 C. 12 D. 16答案:D（较容易）5.已知4阶方阵A其第三列元素分别为1, 3, 2, 2,它们的余子式的值分别为3,-2,1,1则行列式 A （）A. 5 B. -5 C. -3 D. 3答案：A（中等）6.设f（x）111111111148x2x3x，则方程f （x） 0的三个根分别为（）A. 1,-1,2 B. 1,1,4 C. 1,-1,8 D. 2,4,8答案

11、：Aa1ba1c1（较容易）7.行列式 a2ba2c1=()A. 0 B.b c C.(c b)(a2 a1) D.b(a2 a1)答案:C（容易）8.行列式D（容易）9.行列式D132520中元素a32的代数余子式为（）103A. 0 B. -10 C. 10 D. 3答案:B213012中元素a32的代数余子式为（）201A. 4 B. -4 C. 0 D. 2答案:Aa11金a13（较容易）10.若a21a22a23a31a32a33A. -5 B. 6 C.-1D. 1答案：Ba31a32a331则2a212 a222a23()3aii3a123a13（较容易）11.设f （x）11x

12、2 4 ,则方程f（x） 0的根分别为（）7 x2 23A. 1,1,3,3 B. -1,-1,3,3 C. -1,-1,-3,-3 D. 1,-1,3,-3答案：Da11a12a133a313a323a3312.已知a21a22a23d,则行列式a11a12a13()a31a32a332a21 3an 2 a22 3a12 2a23 3ai3（较容易）A. 6d B.6d C.3d D. 3d答案：Aa1（较容易）13. 3b1C1a2a3b2b3c2c3()3ala2a33al3a23a33al3a23a3A.b13b2b3B.3bl3b23b3C.bib2b3clc23c33cl3c23

13、c3c1c2c3ai3a2a3D.D3b2b3ci3c2C3答案:D00 03000100（较容易）14.行列式D020 00()100 0000 002A. -12 B. 12 C. -6 D. 6答案：A0的充分必要条件是（）(较容易)15.设 Dn det(aj),则 DnA. Dn中有两行（歹U）元素对应成比例B. Dn中有一行（歹U）的元素均为零C. ai1Aj1ai 2 Aj 2anAjn0(i j)D.ai1Aj1 ai2 Aj2ainAjn 0(i j)（中等）16.f(x)10是（）次多项式A. 4 B. 3 C. 2 D. 1答案：C（较容易）17.四阶行列式D的某行元素依

14、次为-1,0,k,6,它们的代数余子式分别为3,4,-2,0,A. 0 B. 3C. 1D.-1a11a12a13a134a11a125a11（较容易）18.若a21a22 a231,则a234a21a225a21a31a32 a33a334a31a325a31A. 5 B. -5 C.20 D. -20答案：B(答案:A（容易）19.abacA. abcB.ab b2acbcbc2cC. 0D.2, 2a b答案：C（较容易）20.设A*, A 1分别为n阶方阵A的伴随矩阵和逆矩阵，则A AA.B.n 1n 2n 3A C. A D. A答案:C（较容易）21.已知A为三阶矩阵，其第三行元素

15、分别为1,3,-2,它们的余子式分别为3,-2,1,A. 5B. -5 C. 7 D. -7答案：CA. 8 B.（较容易）24.行列式D4的值为（）a11ai2a134a112a113a12a13（较容易）22.如果a21a22a231,则4 a212a213a22a23a31a32a334 a312 a313a32a33-12 C. 24 D.-24()答案：B103 100 204（较容易）23.行列式199 200 395()301 300 600A. 1000 B. -1000 C. 2000答案：CA. -12 B. -24 C. -36 D. -72答案：D（较容易）25.设A为

16、n阶方阵，且AA.A中必有两行（列）的对应元素成比例；B.A中任意一行（列）向量是其余行（列）向量的线性组合C.A中必有一行（列）向量是其余行（列）向量的线性组合D.A中至少有一行（列）向量为零向量答案：C（较容易）26.已知三阶矩阵A的特征值为1,2, 3,则行列式A2 =()A. 0 B. 1C.D. 36答案：Da11a12a133a 313a323a 33a21a22a23m，Di3a 213a223a 23a31a32a333ali3a123a13（较容易）27.如果D那么D1A. 3m; B. 3m; C. 9m; D.答案：DA. 1 B. -1 C.00010001000100

17、01000000001(1)n(n 1)2 D.(n 1)(n1)22)（较容易）28.已知,则DD答案：D29.行列式D非零的充要条件是（）的所有元素都不为零至少有n2 n个元素不为零的任意两列元素之间不成比例D.以D为系数行列式的线性方程组有惟一解答案：D四.解答题1ali1L1111(a 0,i 1,2,L,n)M 11 1 an11a21L（较难）1.111 a3 LMMM111L解:1al 11 L 1111 a21 L 11111 a3 L 11M M M M 111 L 1 1 an1ali 1 L 11aa20L00a0a3L00M M M M M Ma00L0an1 a11a

18、1a20aai（较难）2.解:a12 aiana20Ma3Man=(1=(1)n=(1)nn(n2a2 0n)1 n(n 1)2a3L(1n -)1 ai啜（1）nn(n21)-(1)n 1( 1)n( 1)n 1L3 n 2(1) n1)(n 1)(n(1)2n(n21)4 n(n 1)2（较难）3-DnLLLLL解：Dn=(x a)Dnx0L0由递推关系有Dn（较难）4.Dn解:Dn1)(1)n1)(1)n1(1)n(1)(1)n1(1)n(2 n n(xn a)LLLL1)1)n1L(xn a)0 0 L0(xa)Dn1a(x a)n 1nL011)3(0L01LLLLnL01nn21)

19、一5n 42 (n1)n 11)n1(=(1)2(n1)( 1) 2 (n 1)n 1(1)2(n1)n12315097508（中等）5.写出四阶行列式值.解:1)2 3中元素a231,a334的代数余子式，并求其3410296.3A33( 1)2)(1)2(2)1020.D 0a23 A23a33 A339620)176.（中等）6.计算行列式2412301023641030345219435237327235705解:101310000551 ( 1)1（中等）191013231013235(69) 5 62 310.7.计算n（n2）阶行列式解：按第一行展开，得 D a再将上式等号右边的

20、第二个行列式按第一列展开，则可得到D an 1 1 n 1 n 1 1 an2（中等）8 .计算行列式D解：Da (n 1)b=a (n 1)b2 3 150 97 5084378 968（较容易）9.计算行列式 D解:11（较容易）10.4311(47896812)11(83)16176.k取何值时，下列齐次线性方程组有非零解:X1X2kx3X1X1X2kx2,2x.X30,0, 0.解：方程组有非零解的必要条件是系数行列式等于零-十伏+1)(k1)(k1)(k1)(4 k).即(k1)(4k)0.所以当k4时,齐次线性方程组可能有非零解(中等)11.计算行列式解：D5)1016211011

21、5)115)31155（中等）12.计算行列式Dnri“2解:Dnrn)x(n（中等）13.解:x(n 1)a(x计算行列式的值（难）4.计算1 11111a xa0 x a0x (n 1)aa ax00xax1)a1naa)1719n阶行列式的值382111057815121017(9口530 .00253 .00025 .00 0 0. .0 . .5.3000 .25Dn解 按第一行展开，得:Dn 5Dn1按第一列展开5Dn1 6Dn 2得到递推式:写作Dn写作Dn而D1DnDn（中等）15.Dn2Dn13Dn15, D22Dn3Dn计算解按照第一列展开5Dn16Dn 23( Dn2(

22、Dn3n2n2Dn 2)Dn2Dn13n 2(D2D。3Dn J ,可得19解之得阶行列式3n 1(1)1Dn2n3Dn2n 23Di)(1)(1)nny（较容易）16.问x y 0 0 0 00 x y 0 0 00 0 x y 0 0 0000 xyy 0 0 0 0 X0y 0 00x y 00/ 八n 1 y ( 1)0 x y Xn 1 0001的值Dy Dn取何值时，齐次线性方程组解：齐次方程组有非零解的必要条件是系数行列式等于零，故X1X1X1X2X22 x2X30X30有非零解X3011(1)10即 0或1齐次线性方程组有非零解。(1 )x1 2x2 4x3 0（较容易）17.

23、问取何值时，齐次线性方程组2x1 (3)x2 x3 0有非零解X1 x2 (1)x3 0-203 4 (1)0 11 2111(2)(3)=0解：124231111即 0,2或3.（较容易）18.已知齐次线性方程组11解 D 11（2）（11x1 x2x30x1x2x30有非零解，求x1x2x30 1)21 2310151203 416 0,故 1或 21 215031612一 310(中等)19.计算行列式D=1224解：D200121204410411001 101 2120 4410 0500 0010211121(较难)20.计算行列式D1122 11 . 111 1 . 11 2 1

24、 . 11 2 1 . 1解：D1 1 2 . 1(n 1)11 2 . 1n 1.111.2.111.2（较难）21.设D是一个3阶行列式，1, 2, 3分别是其第1,2,3歹U.已知D = 2,求3 22 3, 1解：D 1, 2, 32则有3 22 3, 1, 2 22 3, 1, 2（中等）23.用克拉默法则解下列方程组XX2X3X45X12X2X34X422x13x2X35x423x1X22X311x4043,1 ,241 ,2 ,351112214231GJ01211142, D1142 ,1111121 423153 12 11151111511214D31224d2284222

25、1523253021131011426D41123112131125220142D1.D2X11, X2DDX4D4D（中等）24.计算行列式4 12 412 0 210 5 2 00 117解:10（较容易）25.计算行列式解:ab 1110a10010 50 178545a100001 d0 ab 11b0100001d(ab 1)r2a (ab 1)c ab 1=abcd ad ab cd 1（较难）26.计算n（n2）阶行列式Dnxy2，丫2LnX2%2乂2丫2LnLLLXnM2Xny2Ln1XYn11Xnyn%VnL解：将Dn按第一列拆成两个行列式的和，即12xy2Lnx*XN2xy

26、?LnX1yn12乂2丫2LnX2%X2%2X2y2LnX2ynLLLLLLLL12xny2Lnxnyn巾2Xny2LnXnVnDn再将上式等号右端的第一个行列式第i列（i 2, 3,，n）减去第一列的i倍；第二个行列式提出第一列的公因子y1,则可得到1X1V2LX1VnX12X1V2LnX1Vn1X2V2LX2VnV1X22X2V2LnX2VnLLLLLLLL1XnV2LXnVnXn2Xn V2LnXnVnDn1X1LX1X12Ln1X2LX2V1X22LnLLLLLLLL1XnLXnXn2Ln0V2L Vn当n 3时，Dn当n 2时，D2X2 Xi y2 2Vl.（较难）27.已知方程15

27、3 X153 X123 X0,求X解：由行列式的加法性质，原方程可化为1 11 21 11 X11484 1523X X1 11 20 21 X11485 1223X X1111112 43 92X X18273 X11111 23X21 49X2_31 8 27 X(2 1)(3 1)(3 2)(x 1)(x 2)( x 3) 0得 x 1,2,3（中等）28.计算行列式D112313 3795204213571464410102231321431541解：D 1120 010200210023102415 32211231020 410010202 153002 221-12-31430

28、2 0 4 -152 300-10 -2 001-1200 2 2 -21123 1030 41001020 0010000 261123 1020 41001020 0010000 061 2 11612（较难）29.计算n 1阶行列式Dnn 12a1blnn 1a2a2 b2LLn n 1jan 1an 1bn 1n 22.a1blLn 22a2b2LL Lan 12bn 1 Ln 1na1blb1n 1na2b2b2LLan 1bn 1bnn1其中 a1a2 L an 1 0 .解：这个行列式的每一行元素的形状都是ain kbk , k 0, 1, 2,，n.即向按降哥排列，b按升塞排列

29、，且次数之和都是 n,又因ai0,若在第1,2,-n）提出公因子则D可化为一个转置的范德蒙行列式,b1b1bia1a1a1nn D a a2 Lnan 11<j i<n 1（较容易）30.b2a2La2Lb2a2Lbn 1bn 1bn 1anan计算行列式a1a1a?a2anana1a?an解：从第n行开始，后行减去前行:riri1(in, n1,其中i2,1)得bi = n 1 ai0, (ibaj1,2, ,n).a11a2a3an 1an12000ci02300i 1,2,nD000n 10000n 1nCl (C2aa 2 a3an 1 an1 一 一 一-123n 1n1

30、10000110012n0001000011Cn)111 2 n (1ai1 a2 2（较难）31.计算D2nbbi o-ba-b 0 a* x j4bONabcdNO；dd解:D2n(1)1;0ID2(n 1)；，0ni ) n bb ,|iHr，00 ； d(1)12nb1）0 i -, D2(n 1)0， / hi ¥! aan,c 00(2n 1)(2n 1) (2 n 1)(2n 1) 1(1)ad D2(n 1)( 1)( 1)bC D2(n 1)n 1 、(ad bc)D2(n 1) (ad bc) D2 a bD2ad bc2 c dD2n (ad bc)n1i1II

31、1；2 2；II（较难）32.计算Dn11033IIIIM' M M O O 'II1 ： 0 0 L n 1 ： n 11，0 0 L 0 ' n 解：DnnDn 1 ( 1)n 1(n 1)!（中等）n (nn(nn(nD2Dn33.解法解法（较难）(n!)1)Dn 2(1)Dn2 (1) 3 D21)(n 1) 1(n1 1)!(1)n1(n1)!1)n*1)2(1)2( 1)3因为D1D1与D的第(1)n1 里1)nn!n 11)n1- n1)3(1)43(1)n1n,求 A11A21A31 A41 -列元素的代数余子式相同所以将D1按第1列展开可得An2： 因

32、为D的第3列元素与D的第为0,即所以34.计算Dn解：采用加边法.A21A31A411列元素的代数余子式相乘求和3A113 A213 A31A11A21A31A413A410a2a2b2anan(bi0)a2anbnDn1 a1 a20 aibia20 aia2b2 Ii0 a1 a2ananananbn1 * aia2an彳7bl- 0 一 一01，0b20BS1 ； 00bn,a1a2b1b2 L bn 1-b1b2（中等）35.计算行列式 D.a1a2 , an I.1 L 1al a2 L an b1b2 bn ；1 H"r V 'Ml * -一T F =«

33、 T0b10L00i0b2L0M ' M M MI0i 00 Lbnbn1312153402115133131215340211513313120846021101627131202110846016271312021100250010152151040（较难）36.计算行列式Db22 cd21 2 a1/12 c11（已知 abcd 1）1111021102解：Dabcd（较难）37.2 c2 ab2d21a1/1 c1不a 1 b 1n阶行列式为Dn1-2 a1b21c1不a 1 b 10.,求第一行各元素的代数余子式之和2xyz0A11A12L解:第一行各元素的代数余子式之和可以

34、表示成A11A2 LA1nn!（中等）38.用克莱姆法则求解线性方程组X1X22x453x12x2x32x464x13x2x3x402x1x30解：系数行列式(L按第三列展开1)1)42同样可以计算所以(2尸D1（较容易）39.按第三列 展开（1)1)10,D215,D3x1试问D1D2,X2D2D203,X11111111210101100为何值时,方程组X1X11解：系数行列式D当D 0时有唯一解1原非齐次方程组有唯一解kXX3X22x2X2（较容易）40.试问k为何值时，方程组y kyD4D3DX3X3X34,X4D4D2512有唯一解0仅有零解解:k系数行列式D 12k 2003 k 1 0211D (k 2)(k 1),当且仅当D0时仅有零解k2且k1时原