多维离散型随机变量及其分布列

1、概率论与数理统计概率论与数理统计第第 三三 章章多维多维 随随 机机 变变 量量概率论与数理统计概率论与数理统计主要内容一、二维离散型随机变量分布函数一、二维离散型随机变量分布函数二、联合分布函数的性质二、联合分布函数的性质3.2 二维离散型随机变量二维离散型随机变量概率论与数理统计一、二维随机变量的定义及其分布一、二维随机变量的定义及其分布 设 是定义在同一概率空间上的两个随机变量，则称向量 为二维随机变量二维随机变量。, 若 只取有限个或可列个向量值，则称向量 为二维离散型随机变量（向量）。( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1设 是二维离散型随机变量，它们的一切可能取值为 ,

2、 (i, j=1,2,)注意 。称 i, j=1,2,为二维随机变量 的联合分布列，简称为分布列。( ,)ija bijjipbaP),(,)()()ijijabab(,)ijijpPab( , ) ( , ) 定义定义1 概率论与数理统计 2为直观起见，二维离散型随机变量的分布列也可以表示成如下表格的形式：此表也称为概率分布表。概率论与数理统计 说明：1.若 为二维r.v.，且 同为离散型rv 为二维离散型r.v.。 ( , ) ,( , ) ( , ) 2. 关于二维离散型r.v. ，主要讨论两方面的问题。 （1） 取值范围； （2） 以多大概率取值。( , ) ( , ) 概率论与数理统

3、计二维离散型随机变量的联合分布具有下面的性质： 1) 非负性： 2) 规范性： , ,i j0,ijp i,j=1,2， 1.ijijp .1(),iijijPapp.1().jijjiPbpp 3)(,)ijijpPxy的求法 利用古典概型直接求； 利用乘法公式() () .ijijipPa Pbx概率论与数理统计(00)P，1,9231 例1 将两个球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中。令 表示放入1号盒子中的球数， 表示放入2号盒子中的球数，试求： 的联合分布律。解 , 的可能取值分别为0,1,2， ( , ) 2,9232(01)P，(12)P， P0,(02)P，2311,9(

4、10)P，2322,9(11)P，2322,9(20)P，2311,9(22)P， P0.(21)P， P0,概率论与数理统计由此得 的联合分布律为( , ) 概率论与数理统计边际分布（边缘分布）边际分布（边缘分布）.1(),iiijjPapp.1().jjijiPbpp 二维随机变量 作为一个整体，它具有概率分布（联合分布列），而它的每一个分量 ， 也是随机变量，因此自身也具有概率分布（ 分布列），它们分别称为 关于的 ， 边际（边缘）分布，记为 与 。 若 的联合分布为 ，i,j=1，2则( , ) ( , ) .)(iipaPjjpbP)(ijjipbaP),( , ) 用表格表示如下：

5、概率论与数理统计概率论与数理统计例2.设把三个相同的球等可能地放入编号为1.2.3的三个盒子中，记落入第1号盒子中球的个数为 ,落入第2号盒子中球的个数为 ,求 ),(的联合分布列及,的边际分布列.解:,. 30),()(),(jijPjiPjiPpij的可能取值为0,1,2,3.因为.30,)32()31(3)(3jjjPjj概率论与数理统计.30,)!3(!3271)32()31(3)21(333jijijijijpjjjij3ij. 30 ,)21(3)21()21(3)(33 jiijijjiPjiji于是在 或 时, .0ij0ijp概率论与数理统计 0 1 2 3 Pi. 0 1

6、2 3 1/27 1/9 1/9 1/27 1/9 2/9 1/9 0 1/9 1/9 0 0 1/27 0 0 08/27 4/9 2/91/27 p.j 8/27 4/9 2/9 1/27表3.1概率论与数理统计 例3 设 的分布列如下表, 求 及2, 1P1P( , ) .解2223243233341,20.5,Ppppppp1112131410.2.Ppppp概率论与数理统计二、离散型随机变量的独立性二、离散型随机变量的独立性 定义定义 设随机变量 的可能取值为 , 的可能取值为 ,如果对任意的 有： 成立,则称随机变量 与 相互独立。 )2 . 1 (ia)2 . 1(jbijiba

7、 ,)(),(iijibPaPbaP 注: 1、两个随机变量 与 相互独立，也就意味 与 的取值之间互不影响， 2、随机变量的独立性可以推广到多个离散型随机变量的场合。概率论与数理统计 定义 设 是n个离散型随机变量， 的可能取值为 ,如果对任意的一组 恒有成立，则 称是相互独立的。12,n i(1,2, ;1,2,)ikain k11(,),nknkaa)()()(),(21221111nnnknkknknkaPaPaPaaP 12,n 概率论与数理统计例4 的联合分布列为( , ) 1 2 3 12161911813试问： ， 为何值时， 相互独立？, 1 2 31216191181313

8、131219118解概率论与数理统计11111,691831,3111(),93921,9991,92, 故 当 时， 相互独立。所以概率论与数理统计例5.),(, -1 1 0 1 2 1/15 p q 1/5 1/5 3/10的联合分布如下表,则 =( )时,相互独立.a.(1/5,1/15), b.(1/15,1/5), c.(1/10,2/15), d.(2/15,1/10). ipjp(c)( , )p q概率论与数理统计例6.掷骰子两次,得到偶数点的次数记为,.,得到3点或6点的次数记为求的联合分布与边际分布.解.,的可能取值都为0,1,2.显然,相互独立,且.4163)2(,21

9、63333) 1(,4163)0(22222PPP.9162)2(,9464224) 1(,9464)0(22222PPP从而得联合分布表如下:概率论与数理统计 ipjp 0 1 2 0 1 2 1/9 1/9 1/36 2/9 2/9 1/18 1/9 1/9 1/36 1/4 1/2 1/4 4/9 4/9 1/9概率论与数理统计 例7 把一枚均匀硬币掷三次，设 表示头两次掷出正面的次数，表示这三次投掷中出现正面的总次数，试求 的分布列。 ( , ) 解 的可能取值为0,1,2， 的可能取值为0,1,2,3 如 (“头两次掷出1个正面，这三次共掷出2个正面”) (“头两次掷出1个正面，第三

10、次掷出正面”) 再如 (“头两次掷出的正面数为0，这三次共掷出2个正面”) PP2, 1P4121212112 CPP2, 00.P 概率论与数理统计则得分布表为 概率论与数理统计 例8 一批产品共8件，其中一等品2件，二等品2件，三等品4件，从中任取3件，令 为取到的一等品件数， 为取到的二等品件数，试求 的分布列。( , ) 解 , 的可能取值为0,1,2，且 则3,0,1,2,i j 03. 且322438,ijijC C CPijC 114314114314271281141280001212概率论与数理统计( , ) 例9 袋中装有2只红球和3只绿球，从中有放回地取两次，每次取1球，

11、记 为第一次取出的红球数，为第二次取出的红球数，问 是否独立?解 的联合分布列及边际 对任意的有 ，所以 相互独立。ji,jiijppp., 分布列如下表：概率论与数理统计例9（续）若采用无放回方式取球，问 是否独立？, 对任意的有 ，所以 不相互独立。ji,.ijijppp( , ) 解 的联合分布列及边际分布列如下表：概率论与数理统计( , ) 0,1,2,k 设 是一个二维离散型随机变量，f (x , y)是实变量x和y的单值函数，这时 仍是一个离散型随机变量。),(f设 , , 的可能取值为:,( , ,1.2.)ijka b c i j k 令 (i, j, k=1,2,) ,则有

12、特别地，当 , 独立，且取非负整数值时，我们有kikiikiPikiPkP00, ikPiPki0,上式常称为离散卷积公式。 三、二维随机变量函数的分布三、二维随机变量函数的分布kjijikcbafbaC),(| ),(),()(kkCPcPkjiCbajibaP,),(概率论与数理统计例例10 设二维r.v 的概率分布为 0 1 2-1 1求 的概率分布。( , ) 136112161410 121,2,12PP 111,1,6PP 101,01,0,2PPP 111,1,4PP21,20.PP解 的可能取值为-2，-1，0，1，2，P-2 -1 0 1 21216112410 概率论与数理

13、统计例例11 设二维r.v 的概率分布为-1 1 2-1 04161418112181求, 的概率分布。( , ) 解解 根据 的联合分布可得如下表格：P 4141618181121 +-/(-1,-1) (-1,0) (1,-1) (1,0) (2,-1) (2,0)-2 -1 0 1 1 2 0 -1 2 1 3 2 1 0 -1 0 -2 0 1 0 -1 0 -1/2 0( , ) ( , ) 概率论与数理统计故得P-2 -1 0 1 241414161121P-1 0 1 2 34141418181P-2 -1 0 1 6141812411P-1 -1/2 0/p>

14、 +-/概率论与数理统计具有可加性的两个离散分布q 设 B (k；n1, p), B (k；n2, p), 且 , 独立， 则 B ( n1+n2, p)q 设 P (1), P (2), 且 , 独立，则 P(1+ 2) 概率论与数理统计)()(kPkP)()(ikPiPki0iknikikninikiinqpCqpC22110kiikninknnkCCqp02121., ,.212102121nnkqpCnnkknnkiikiP0),(二项分布可加性的证明二项分布可加性的证明证证:设则).,;(),;(21pnkBpnkB.:21210nn ，所有可能取值为nkqpCkPknkkn, 2

15、, 1 , 0,),;(pnkB概率论与数理统计设 P(1), P(2), 则的可能取值为 0,1,2, , 0()(,),kiPkPiki12120!()!ik ikieeiki12120!()!kik iiekki ki 0,1,2,k Poisson分布可加性的证明分布可加性的证明 P,0,1,2,!kPkekk，)(!)(2121ekk)()(ikPiPki012120! kiik ikieCk12P概率论与数理统计, 解 例12 设 为独立分布的离散型随机变量，其分布列为 n1,2, 1()(),2nPnPn11()(,)kiPkPiki111122kik iik, 求 的分布列.11() ()kiPi pki1,2kk 概率论与数理统计补充内容定义1 设 ( ) 是二维离散型随机变量. 若对固定的 , , 则称为在 条件下随机变量 的条件分布律.类似地, 若对固定的 , , 则称为在 条件下随机变量 的条件分布律.0jjpP YyjYy,|ijijijjjP Xx Y