平面向量数量积的坐标表示典型例题

1、平面向量数量积的坐标表示坐标法是用代数方法研究几何问题的一个重要思想方法.用坐标来研究向量的数量积是 本节的基本内容.本节内容的重点是平而向量数量积的坐标表示以及由此推得的长度、角度、垂直关系的 坐标表示.难点是用坐标法处理长度、角度.垂直等问题.1. 平面向呈数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.设 a=(及，yi)> b=(血必),则 a b=XiXZ+yiy22. 向量垂直的坐标表示的充要条件两个非零向量垂直的充要条件是它们的数量积为0即&丄6<=>及北+w=03. 向量长度公式的坐标表示设 &= (x,刃，贝lJ|a|5=Y4-y

2、=,因此，=JF + )，.4. 两向量夹角公式的坐标表示已知非零向量a = 5 , yi ) , b = ( xz y处)，夹角为"，贝lj cos 0 ="b _尤“2+'*2皿7?+用厶2 +旳2学习本课时.我们弄淸楚下而的问题：平面向量数量积用坐标表示的基础和意义是怎样的？数虽积的坐标表示的基础是：向量的坐标表示和数量积的运算律设Y、/分别是和X 轴、y轴同向的单位向量，则 K=l, j 尸、i j=J* 1=0.设尸(力), b=(龙， 必)，贝lja b=(x+yj) Xzi+yzj=xixzi j+xzyii J+yiytj=%疋+必北数虽积坐标表示的

3、意义在于能使数量积的计算代数化，为用向量来处理几何问题，特别 是解析几何问题提供了便利条件.【学习方法指导】怎样用向量的坐标形式求解向量积的问题？例1已知厶=(L 2), b= (2, 0)>求同时满足条件a e=4, b c= 0的向量解：设。=(x, y),贝ljii c=4x - 2 v = 4由”c=0得2x + 0y = 0Ax=0, y=2, 所求向M c= (0, 2)怎样求向量的投影？例2求向M a= (b 2)在向S b= (2, -2)方向上的投影.分析：本题考査向量的数量积的几何意义.要求向量的投影，需先求两向疑的夹角，而 这可根据数量积的性质求得.解：设向量a与5

4、的夹角为"，则ab =lx2 + 2x(2)= _迥cos 心Elbl 712+22x722 x(-22) 1° '怎样把一个已知向量转化为单位向量? 例3设尸(as y) H0,则=7?77(x,)，)=(7?77J，+b即得到一个单位向咼怎样利用向量的几种形式解答问题？例4已知厲、b是两个非零向虽，且a b ab ,求a 1J ab的夹角 分析：由于向量的表示形式不同，有下而三种解法：解法一：由a = b，有az=bz又由 b = ab，得 b =a '2a b+ b '£a b= 2 a '而 d+2> '= I

5、 a+2d 6+ b *=3 a "d+b = a设&与a+b的夹角为，则lai2 +-l«l2 R2 _、“(a + b)cos"E" + I u-y/3u2.g=30。.解法二 设向量 4= (m yi), b= (r, /): a = b、/ -Vi*+=Xz + yz由b£得弘上+必必=2 (xf+yf)£由 ab 5=2 (xj + yf) +2 2 (為：+ 疔)=3 (xf+yj)得 a+b设&与ab的夹角为，则a(a + b)(时+用)+ *(衬+川)品cos =la|-|a + bl JxJ+昇 J.

6、JxJ+yJ 2 = 30°解法三：由向量加法的几何意义，可作图5-7-1如下：在平而内任取一点0,作砥 f 而=b,以丽、页为邻边作平行四边形少饴.OA = OB ,/. OACB为菱形，0Q平分ZAOB.而 a = b = a-bgp I 04 I = I = ba:仏AOB为正三角形，则ZAOB=60° ,于是 ZA0C=3Q°即&与a-b的夹角为30°点评：用向量的坐标形式入手容易.但计算量较大.用向虽:的几何形式简捷且直观，但 不易入手.怎样用平面向量的坐标形式解证几何问题？例5已知/i(5, -1), B (-b 7), <7(

7、1, 2),求庞中ZE的平分线初的长.y0图5-7-2解：初=J(T-5)，+(7 + 1)2 =10,必=J。- 5)'+(2 + 1)2 =5设。分所成的比为人,BD_ABa = DCAC=2.设点 D(Ao，yo)> 贝U-1 + 2x1 _ 1_7 + 2x2_ll又刃OB =OAcos ( a 0 ) =cos ( a 0 )【知识拓展】用向量方法可以解证三角和不等式方面的问题.例 6用向量法证明 cos ( a 0 ) =cos cos 0 + sin a sin 0 (要求 a B W 0, 刀)证明：在单位圆上取两动点乂 5设以Qk防为终边的角分别为S 0则 A (cos > sin o )t B (cos y sin P )fi于是=cos oc