高等数学同济第五版第11章答案

1、习题11 11写出下列级数的前五项1 n11 n211n2121 21 2213 1432 1421 51 5211 n2410526637(2)n1 3(2n242n1)1 3(2n 1)1 2427-1 352 4 613572 4 6 81 35 7 92 4 68 101 3(2n 1)2n15481053849453840(1)n15n(1)n11 5n152153154(1)n 11 5n1251125625 3125n!n1 nn!n 1n1112!223!334.44旦55n!1nn2 6244 27 2561203125写出下列级数的一般项(1)13 5解一般项为1un o

2、d2n 12 3 4 5 6(2)解一般项为Un ( 1)n1 n 1nx* 22 4 2 4 6 2 4 68解一般项为unn x2 2n!.23a a(4)35a47解一般项为unn 1 (1)n12h2sinsin n)1262sin -123根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性(、n 1 x n)n 1解因为Sn2 2)卜 4 " 3)( n 1 n)J)(n )所以级数发散小、1(2)-13 35(2n_J1)(2n 1)解因为1' 1 31351 (2n 1)(2n1)2(12(1所以级数收敛3)11(312(5111111(，)2 2n 1 2n 13

3、3 5 5六)1(n2n 112n1).2. 3sin6 sin2T sin36sinn6.nsin623解 sn sin sin sin666cosn-1 )122sin - 123、 (cos cos) 121212cos5-)12(cos*122sin - 12(cos 12cosQ12).因为lim cos2n不存在 n 124判定下列级数的收敛性所以limnsn不存在因而该级数发散8 82 839 92 93解这是个等比级数公比为q.8 |q| 8 1所以此级数收敛91 1(2)-3 613n解此级数是发散的这是因为如此级数收敛1n 1n3(313n也收敛矛盾11；3i331n、3解

4、因为级数的一般项un1n.31n 1 0(n)所以由级数收敛的必要条件可知此级数发散3尤33(4) 2 22 232n解这是一个等比级数 公比q 3 1所以此级数发散1 1叱3)解因为 工和工都是收敛的等比级数所以级数Qn &nn 1 2 n 13工) (1 1) n 12n 3n 2 3(22(93 q3)23(2n 3n)是收敛的习题11 21用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性1315(1)11而级数 1发散故所给级数发散2n 1ni(2n 1)1解因为lim 2n 1n 1n2用比值审敛法判定下列级数的收敛性(2)11 21-221 31321 n1 n2解因

5、为un1 n1 n22 -而级数 1发散n n2n n 1n故所给级数发散113-6(n 1)(n 4)12解因为lim lim 一n 1 而级数 乌收敛n1 n n2 5n 4n 1n2nn2故所给级数收敛(4) sin 2 sin 22sin2sin2n解因为limnsin 2n12nlimnsin2n工收敛2nn 122n故所给级数收敛(5"(a0)解因为limn1 an1anlimnan1 an0121而当a 1时级数收敛 nn 1a当0 a 1时级数去发散 n 1 a所以级数当a 1时收敛n 11 a”0 a 1时发散33233(1) - -3 当1 2 2 22 3 23

6、解级数的一般项为3nn 2n3n育因为lim5nUnlimn(n3n 11) 2n 1n 2n3n所以级数发散2(2)nnn 1 3解因为lim nununlimn(n 1)23n 1矍n2nim3叶）2所以级数收敛解因为lim nun 1unlimn2n 1 (n 1)!(n 1)n 1nn2n in!2 limn(nn_)n 7所以级数收敛(3) ntann 12n 1解因为lim UnnUnlimn(n 1)tan*所以级数收敛n 2n 1213用根值审敛法判定下列级数的收敛性n1(/Z解因为lim n/Unnlimnn2n 1所以级数收敛1(2)!-n 1ln(n 1)n解因为lim

7、n/un-nlimn1ln(n 1)01所以级数收敛)2ni3n 1解因为2n 1limnunlim ( n )n limtn，nn 、3n 1 n(3 -) nn132 e3所以级数收敛(4)()n 其中an a(n ) an b a均为正数n 1 an解 因为 lim n/un- lim bn - nana所以当b a时级数收敛 当b a时级数发散4判定下列级数的收敛性 4 2(3)2 3(4)3.n 1 3 limn n 4所以级数收敛14 24 (2) ()1! 2!解这里un34nl3!n!4n-因为 n!.Un i . (n 1)4 n! .1 n 1、3nim 二nim m7 m

8、 nim ； (t)所以级数收敛n 1in(n 2)n 1解 因为lim n(n 2) lim -n1 1 而级数 发散 n 1 n n 2n 1n故所给级数发散2nsin 了3解因为limn2n bin评2nsi啰limn2n2n所以级数收敛后需解因为limnunlimn所以级数发散(6)a b 2ab1na(a 0,b0)解因为unna b而级数 1发散n 1n故所给级数发散5判定下列级数是否收敛？如果是收敛的 条件收敛？是绝对收敛还是(1)1古士土解这是个交错级数(1)nn 11un1)n1+其中匕+% n工n因为显然Un un+1 并且 lim unn所以此级数是收敛的又因为n1( 1

9、)n 1Un|1心是pn 1 ' n1的p级数是发散的所以原级数是条件收敛的(2)n(1)1n 1 n3n 1I(1)nn13n 1因为lim3一-1所以级数目是收敛的n n 3n 13n 1河从而原级数收敛并且绝对收敛-1 1A3 2 3 221 13 231 13 24解这是交错级数(1)n ?!n 13 2并且1(1广；林|n 13 2n 13 2nn 1因为级数 1工是收敛的所以原级数也收敛并且绝对收敛n 13 2n1ln2J 1ln3 In41In5解这是交错级数 (1)n 1un n 1(仗1其中 Unn 1ln(n 1)1ln(n 1)因为 Un Un+1 并且lim U

10、n n0所以此级数是收敛的又因为1ln(n 1)而级数发散n 1n 1故级数 |( 1)n1Un|-1一发散从而原级数是条件收敛的n 1n 1ln( n 1)(5)n1)n12n2n!解级数的一般项为un1)因为 lim |Un| lim2n2n!limnn 1理n!(2n)2n2n 2n2n2n2n-limn!n nn 1n 232 1所以级数发散习题11 31求下列哥级数的收敛域x 2x2 3x3n nx解lim 1a| lim n1 1故收敛半径为 R 1 nann n因为当x 1时哥级数成为n是发散的n 1当x 1时哥级数成为1)nn也是发散的所以收敛域为（11）(2)1 Xx222解

11、limn1竽limn1(n 1)21茂limnn2(n 1)21故收敛半径为R1因为当x 1时哥级数成为 （1）n2 n 2n2是收敛的, 1,当x 1时哥级数成为1-2也n 1n2x32 4 62 4(2n)limnan 1anlimn2n n!2n 1 (n 1)!1lim J八0故收敛半径为 Rn 2（n 1）收敛域为（是收敛的所以收敛域为11xn)x x2 x3xn(4) - 2 3n1 3 2 32 3 33 n 3n解 lim |曳|lim -n 3nl lim 一.,11,也是收敛的所以收敛域为本夕n-1故收敛半径为 R 3n ann (n 1) 3n1n3n 13一， 1因为当

12、x 3时 哥级数成为 - 是发散的 n 1n1当x 3时 哥级数成为（1）n1 也是收n 1 n敛的所以收敛域为3 3）(5)fxo2x2523一x102n n2-xn1解nim1中nim (n 1)2 12nn2 12 lim n J 2故收敛半径为 n (n 1)2 1因为当x 1时哥级数成为r2mn2 1是收敛的 当x 1时哥级数成为m( 1)nnx2n 1(6)( 1)nf -n 12n 1解这里级数的一般项为Un2n 1(1)n2n-l因为nim2n 3?| nim 第绘| x2由比值审敛法当x21即|x| x1时哥级数绝对收敛当X2即|x| 1时哥级数发散故收敛半径为因为当1时哥级

13、数成为 （1）n一 n 1 2n是收敛的当x 1时哥级数成为1)n2n 1也是收敛的所以收敛域为12n 1 2n 2x2n|x|解这里级数的一般项为Un因为 lim |un| lim |n Un n(2n2n 1 2n 2fX2n1)x2n 1我时哥级数绝对收敛 当1x22因为当xJ2时哥级数成为n2n(2n 1)x2n 21x2由比值审敛法21即|x| J2时是发散的1 2哥级数发散故收敛半径为R衣所以收敛域为（、2,、2）(8)(x5)n n 1 %n解 lim |an-A| n an、n lim :1故收敛半径为Rn 、n 11即当1x51时级数收敛当|x 5| 1时级数发散因为当x 5

14、 1即x 4时 哥级数成为（） 是收敛的 当x5 1即x 6时 哥级数n 1 x n1成为r是发散的所以收敛域为4 6）n 1n2利用逐项求导或逐项积分求下列级数的和函数 nxn 1n 1解设和函数为S(x)S(x)4n 1(2)n 14n 1即 S(x)x0 s(x)dxxn11解设和函数为S(x) S(0)提示S(x)n 1 nxn 1nxn 1dx1即 S(x)x0 s(x)dxx n10nx1dx(1x4n 1 x14n 1x0n1)x4n 1-dx 14n 1x4ndx1x。(111n14 x1 x1)dxx0(1,arctanx2x(1)x由 0 s (x)dxx3 x535设和函

15、数为s(x)S(x)x2n 1 xn 12nS(x)S(0)提示由S(x) S(0)得 S(x)2n 1 x2n 1即x33x55S(0)x2n 1 x2n 1x0 s(x)dxX 10 1 x2dx 11n2x0x2n 1-dx12n 11 x(11)x0 S (x)dxx2n 2dx1x0 s (x)dx S(x) S(0)得 S(x)S(0)x0 S (x)dx习题11 41求函数f(x) cos x的泰勒级数并验证它在整个数轴上收敛于这函数(ax a)解 f(n)(x) cos(x n 2) (n 1 2)f(n)(X0) cos(X0 n -) (n 1 2从而得f(x)在X0处的泰

16、勒公式f (x) COSX0 cos(x0 2)(x x0)COS(X0)2!(x Xo)2cos(x0n!)(X X0)n Rn(x)cos% (x Xo)因为 |Rn(X)| |(n 1)!亡 J(xX0)n11|x M1(n 1)!(01)因此|1n 1|x X0|总是收敛的故lim(n 1)!nn 1|X Xo|(n 1)!从而limn|Rn(X)| 0f (x) COSX0 cos(x0 2)(x x0)cos(x0 2!)(X X0)2COS(X0n!7(x X0)n2将下列函数展开成X的哥级数 并求展开式成立的区间shX解因为exx2n!所以 e x1)n!故 shx22 nxn

17、0 n!(1)噂n01(优冷2n 1Xn 0(2n 1)!(2)ln( a X)(a0)解因为ln(a x)lna(1 -) Inaaln(15ln(1 x)n 1nJ 1)nE (2 (2n)! ,x、2n(n！)2 (2)所以 ln(a x)In a1)n(尹1In a(3)ax解因为exxn n!所以 axxlna eex(xln a)n n o n!(ln a)n!n-xn(4)sin2x解因为sin22 cos2xcosx1)n-2n- x (2n)!'(1)nxn 1o(n所以 sin2x12n1)n (2x)2n(2n)!1)<)2n n 21 2nx(2n)!所以

18、(1 x)ln(1(6)x)因为ln(1 x)(1 x)ln(1 x)x1 x21)nn1)a(1nxn 11)nxn 1x)n1)(1)1)n- nnxn 2n1)n n1)n1xn 1n(11)nn 11£n1-xn(1)n 1n(n1xn1)(1x1)因为所以x1x2)1/2(1)nn 1(2n 1)!v2n x(2n)!1 x 1)1)n(2n 1)! 2n 1(2n)! x1(优1(1x1)3将下列函数展开成(x 1)的哥级数并求展开式成立的区间解因为m . m(m 1) 2(1 x) 1 mx 2! x3所以,x3 1 (x 1)23(3 1)32(2 1)21 3(x

19、1) 2-2(x 1)2m(m 1) (m n 1)n!3,3321 1)(2n!xn (1x1)n 1)(x 1)n(1 x 1 1)即x3 1 2(x 1)瑞!(x 1)231( 1) ( 3) 2n n!®_2D(x 1)n(0 x 2)上术级数当x 0和x 2时都是收敛的所以展开式成立的区间是0 2(2)lg x解lgxln xln10看1n1 (x 1)品01(1)"一(1 x1 1)lgx1( 1)n 1(x 1)n1n10n ?n2)4将函数f(x) cos x展开成(x §)的哥级数解 cosxcos(x -) 3 cos(x -)cos- sin

20、(x -)sin3sin(x )cos(x ) 3Y1( 1)n 2n 、3( 1)n (、:、2n 1_ J(x )一(x )2n 0(2n)!'3，2 n 0(2n 1)!3， 2n 0(1)1焉(x 3)20 /(x 3)20 1( x5将函数f (x)3)的哥级数解 13-yi31n 丫(。号” 一 ,1展开成(x x1)x 3x3 31 x 3 n 0331(1)n(3)n(0x 6)6将函数因此f(x)1x2f(x)1 一一，、 一 一 一f(X)-21 展开成(x 4)的哥级数X 3X 21x2 3x 213 (x 4)1311x""213n(x 4)

21、n 0 3n 112 (x 4)(x 4)non 1n 0 21x2 3x(二 n 0(2n13n 1x 1)(x1_ x 4 "I"12n)n(l2)4)n(x4)non 1 n 0 3)(x 4)n(0 2n 12)习题11 51利用函数的哥级数展开式求下列各数的近似值(1)ln3(误差不超过0 0001)in13x31x5x52nLx2nx)(1x 1)因而取ln3|rnll5|In122(x121 ±3 23±252n 1122n 1(2n 1) 22n 1(2n 3) 22n 32 O J1 (2n 1)22n 1(2n 1) 22n 1(2n

22、3) 22n(2n 1) 22n 1(2n 5) 22n 52 (2n 1)21 311 2 此时2n 1 (112212413(2n 1)22n 20.00012l03132100.0000311111 in 3 2(3 二百2 3 23 5 2511 111 11 +) 1.098611 217 27 9 29（2）je （误差不超过0 00i）ex由于因此取rn(n 1)!占11n!2nix22!x1 12f 2212n 1(n1 2* (1 1n! 2nj1_-2)! 27T1(n 2) (n 1)1"143 n!2n 21224 3 523n 4得0.0003%e 1111

23、1112 2! 223! 23 4!241.648 9 522 (误差不超过0 00001)解(1 x)m 1m(m 1) 2 mx x2!m(m 1) (m n 1) n xn!(1x1)9 5222(12110、1/929)1 10 _8_9 29 92 2!8 1732 30.002170 言!0.000019故 9 5222(1 0.002170 0.000019) 2.00430(4)cos 2 (误差不超过 0 0001)cosx2n(1)n( x )(2n)!由于cos2cos 1901 ()2 2! (90)6 10 41 ( )22! '90，1(_) 4! (90)

24、1 ( )4 1 ()64! '90，6! '90，4 10 8cos2 1J(90)21 0.0006 0.99942利用被积函数的哥级数展开式求下列定积分的近似值0.5 1c)dx(误差不超过0 0001)0 1 x4因为所以因为所以所以因此(2)0.5(x1x41-x5dx1250.51 ;9x1 19 291 0.00625250.51dx4dx0.5arctanxarctanx1 x41 13x1131312139 29812x x0.5)|00.0002811112 5 25 9dx（误差不超过1 : 3x0.5arctanx . dx3 1x550.51(x1 1

25、9 23(1)nx4ndx1 1_13 2130.000009290.49400 0001)(1)n12n1x2nx 1)3x21x4 5(1)n12nH2n xdx1x3x91 19 2325x51250.01390.5arctanx . dx149x725 4912725 25)0.50.001349 270.0002将函数excos x展开成x1 /_ixixcosx 2 (e e )23 25 25的哥级数0.4871 i)ex(1xx 1 ix ixe cosx e 2(e e )i)2 n n3xnxn!3xnxn 0 n!1 2n(1i)n(1n!Dnxnx因为1 i 2ei(1

26、 i)n (1i)nxexcosxn .22e,.neRcosnLxn(n22(2cos)22 1cosx)习题11 7)上的表1下列周期函数f(x)的周期为2 试将f(x)展开成傅里叶级数如果f(x)在达式为(1)f(x) 3x2 1( x )解因为a0 1 f (x)dx -(3x2 1)dx 2( 2 1)1anf (x)cosn dx-(3x2 1)cosn dx ( 1)n1j (n 1 2)n,1bnf (x)sinn dx(3x2 1)sinn dx 0 (n 1 2)所以f(x)的傅里叶级数展开式为2( 1)nf (x)1 12' 2 cosnx ( x )n 1 n(

27、2)f(x) e2x(x )解因为a0 1 f(x)dx - e2xdx e2 2e 21anf (x)cosn dxe2xcosn dx2( 1)n(e2e2)(n2 4)(n 1 2,1bnf (x)sinn dx1_2x _e sin n dxn( 1)n(e2 e 2 )(n2 4)(n 1 2所以f(x)的傅里叶级数展开式为f(x)e2e2 14(1)n,c(2cosnx mn2 4nsin nx)(x (2n 1) n 0 1 2)bx x 0f(x) ax 0 x (ab为常数且ab0)解因为1 0.1a0 一 bxdx 0 axdx (a b)1 01an 一 bxcosnxd

28、x - 0 axcosnxdx91(1)n(n12)bn1 0一bxsinnxdxaxsinnxdx(1)n 1 a b(n 1 2)n所以f(x)的傅里叶级数展开式为1 ( 1)n(b a) ( 1)n 1(a b).f (x) (a b) -_-/cosnx -L -sin nx4n1n2n(x (2n 1) n 0 1 2)2将下列函数f(x)展开成傅里叶级数x(1) f(x) 2sin-(x )3解将f(x)拓广为周期函数F(x)则F(x)在()中连续 在x 间断 且1F() F( ) f( ) ：F( ) F( ) f()故F(x)的傅里叶级数在()中收敛于f(x)而在x 处F(x)

29、的傅里叶级数不收敛于f(x)计算傅氏系数如下因为2sin3( x )是奇函数 所以an 0(n 0n)xcos(13n)xdx.2 x .2bn 2sin-sinnxdx 一030Ong/i)所以f(x)18, 31)n1 nsin nx9n2(2) f(x)ex x 010 x解将f(x)拓广为周期函数F(x)则F(x)在()中连续 在x 间断 且1F() F( ) f( ) "2尸()F( ) f()故F(x)的傅里叶级数在()中收敛于f(x)而在x处F(x)的傅里叶级数不收敛于 f(x)计算傅氏系数如下a0 0exdx 0 dx 1eanoexcosnxdxcosnxdx o1

30、 ( 1)ne(1(n 1 2)oexsinnxdx0 sinnxdx所以因为函数n1 ( 1)ne1 n21 ef(x)设周期函数1 2an 0h 1 2bn 0证明我们知道a laf(x) cos从而an1 ( 1);- (n 1 2 n1 ( 1)ne1 n2cosnx n ( 1)nne1 n21 ( 1)nsin nx nf(x)的周期为2f (x)cosnxdx(nf (x)sinnxdx(n证明f(x)的傅里叶系数为若f(x)是以l为周期的连续函数f(x)dx的值与a无关且alf (x)dxnx sin nx均为以2为周期的函数 所以1 f (x) cosnxdx 一则i0f(x

31、)dxf(x)cos nx f(x)sin nx均为以2为周期的2f (x)cosnxdxf (x)cosnxdx(n 1同理bnf (x)sinnxdx(n 14将函数f(x) cosx2( x )展开成傅里叶级数解因为f(x) cos"!为偶函数故bn 0(n 1 2)而1 an n)xdxx . cos- cosnxdx21、0cos(2 n)x2 cosx cosnxdx 02(1广"("2 )由于f(x) cos2在上连续 所以x )cos- ( 1)n 12cosnx (2 n4n2 15设f(x)的周期为2的周期函数 它在)上的表达式这(1)n2 n

32、-2sin n2:2-(n 1又f(x)的间断点为x (2n 1) n 0 1 2所以f(x)n(11)n 1n2 n2sinnx ( x (2n 1) n 02 f(x) x将f(x)展开成傅里叶级数解 因为f(x)为奇函数 故an 0(n 0 1 2)而sinnxdx22.bn 2 0f (x)sinnxdx 2 xsinnxdx6将函数f(x) 2”(0 x )展开成正弦级数解作奇延拓得F(x)f(x)0 xF(x) 0 x 0f( x) x 0再周期延拓5(刈到()则当x (0 时F(x) f(x) F(0) 0 - f(0)因为an 0(n 0 1 2)而,2 x .1 .一、bn

33、一 sinnxdx (n 1 2)n 0 2n1 .故 f (x) sin nx (0 x )n 1n级数在x 0处收敛于07将函数f(x) 2x2(0 x )分另别展开成正弦级数和余弦级数解对f(x)作奇延拓 则an 0(n 0 1 2)而bn 2 2x2sin nxdx -( 1)n(-23 ) 1(n 1 2)0n3 nn3故正弦级数为4222f(x)，1( 1勺-) n3sinnx(0x )级数在X 0处收敛于0对f(x)作偶延拓 则bn 0(n 1 2)而ao 2 0 2x2dx 3 2an 0 2x2cosnxdx ( 1)n-2- (n 1 2)故余弦级数为f(x) 2 2 8(

34、 11 cosnx(0 x )3 n 1 n28设周期函数f(x)的周期为2 证明(1)如果 f(x ) f(x)则 f(x)的傅里叶系数 ao 0 a2k 0 b2k 0(k 1 2解因为1令 t x 1 2a0 f (x)dx 一0 f (t )dx所以a0 0因为1. .、 一 .令 t x 1 2 a2kf(x)cos2kxdx 0 f (t1 20 f (t) cos2ktdta2k1 21 0 f(t)dta。)cos2k(t )dx解因为f(x) 1 x2为偶函数所以bn 0(n 1 2)而所以a2k 0同理 b2k 0(k 1 2)(2)如果 f(x ) f(x)则 f(x)的

35、傅里叶系数 a2k 1 0 b2k 1 0(k 1 2)解因为a2k 1 f (x) cos(2k 1)xdx令 tx 1 2)dx1 0 f(t )cos(2k 1)(tf (t)cos(2k 1)tdta2k 1所以 a2k 1 0(k 1 2)同理 b2k 1 0(k 1 2)习题11 81将下列各周期函数展开成傅里叶级数(下面给出函数在一个周期内的表达式) f(x) 1 x2( 2 x 1)a021/2102(1 x2)dx 4102(1 x2)dx116an21/2(1 x2) cos1/2-dx由于f(x)在(2)而在(1 02(12、x )cos2n xdx(1)n 1n2(n

36、1 2)内连续所以f(x)f(x)ananbnf(x)11121-2n 1(1)n 1n2cos2 n1 x 0xif (x)dx01xdx102dx11 dx2f(x)cosn12 2n2xdx1 ( 1)n1f (x)sinn2cosn0xcosn xdx112cosn0xdx11 cosn xdx2xdxsinn20xsinn1(n 1(n 1xdx)上f(x)的间断点为x11 ( 1)nn2 22k2k1 ,sinn 0xdx1sinn xdx2(x2kx 2kf(x)2x 112sinn 9 , 2A cosn n1 2cos2-sinn x n解ao1310313 f(x)dx13

37、(2x1)dx0dx33bn 0(n 1 2)an1 33 f (x)cosn卢x 3(2x 1)cosn3x dx3cos0dx31 ( 1)n(n 1 2)n13 _ n x 10_ n x 3 n xb f (x)sin dx (2x 1)sin dx sin dx3333 3303(1)n(n 1 2)n而在()上f(x)的间断点为x 3(2k 1) k 0 1 2f(x)昌1n 1 n(1)ncosn-x ( 3(x 3(2k 1) k 0 12)2将下列函数分别展开成正弦级数和余弦级数 f(x)l解正弦级数对f(x)进行奇延拓a0 0(n 0 1 2则函数的傅氏系数为 )n x .

38、jdx11(12n x . i x)sin jdx故 f(x) 得-12sin nsin nx x 0 12 n 1n221余弦级数对f(x)进行偶延拓 则函数的傅氏系数为11a。202xdx1(1x)dxJ1 229 11an 2 02 xcosn-x dx 1 (1 x) cosn-x dx11212-2cosn2- 1 ( 1)n (n 1 2)f(x)-马-422cos 1 ( 1)ncos" x 0 l4'2、 l(2)f(x) x2(0 x 2)解正弦级数对f(x)进行奇延拓则函数的傅氏系数为ao 0(n 0 1 2)2 2 2 n xn 1 816 n a-ib

39、n x sindx ( 1) o( 1) 1n 2 o 2n (n )3f(x) n1( 1)n1n816(nT(1)n1sin8 A 1)n 1-n1 一2MRsin3 xn3 220 2)余弦级数对f(x)进行偶延拓则函数的傅氏系数为2 2 2 .8a。 - x dx -0 2 032 2 2 n x n 16 ,an - x cosT- dx ( 1) 2 (n 1 2n 2 02(n )2bn 0(n 1 2)f(x) 4 3(1)n16(n )2cos4 16012n x2 9 cos x 0 23 2 n 1 n22 L J总习题十一1填空条件对级数un flim Un 0是它收敛

40、的 条件 不是它收敛的n 1 n解必要充分(2)部分和数列 sn有界是正项级数Un收敛的 条件n 1解充分必要则级数(3)若级数 Un绝对收敛则级数 Un必定 若级数 Un条件收敛n 1n 1n 1| Un |必定 n 1解收敛发散2判定下列级数的收敛性(1)n1n1n解因为limn_1_n 一 n n1nlimnn1n 1而调和级数发散1n故由比较审敛法知级数发散(n!)2(2)n1导解因为un 1 lim n unlimn(n 1)!2 2n22(n 1)2 (n!)2lim n2n故由比值审敛法知级数发散2 n ncos / n 12解因为2nnim n 2n2 nncos 3所以由根值审敛法二收敛n 12n由比较审敛法2 n ncos - 3-收敛2nn1忠解因为lim unn 1limnnln10n而调和级数1发散n 1n故由比较审敛法知原级数发散提示 limxXln10xlimx11r lim10ln9x