例析纯电阻电路中求等效电阻的常用方法

1、第3页共9页例析纯电阻电路中求等效电阻的几种方法计算一个电路的电阻， 通常要分析电路的串并联关系， 运用欧姆定律求解。实际电路中， 电阻的连接千变万化， 需要应用相应的方法， 通过等效变换将复杂电路转换成简单直观的串 并联电路。本文介绍几种常用的计算复杂电路等效电阻的方法。一、“基本单元”法找出电路中的“基本单元”，再利用电阻的串并联关系求解。1、片状导体求等效电阻【例1】如图1所示，ABCD为一块均匀的半圆形薄电阻合金片，当A、B接入电路时电阻为R,试求当C、D接入电路时电阻为。【解析】设“基本单元”为沿对称轴AB切开的1圆，由于A、B间电阻为R （可视为4两个并联的“基本单元”），所以，“

2、基本单元”的电阻为 2R,当C、D接入电路时，相当于 两个“基本单元”串联，等效电阻为4 Ro图1【例2】如图2甲所示，一材质均匀的正方形薄片导体的阻值为R,若在其正中挖去一一，.一1小正方形，挖去的正方形边长为原边长的-,则剩余部分的电阻为 。3【解析】设挖去的小正方形为“基本单元”，由于原来的电阻为 R （3个并联的“基本单元”，串3个并联的“基本单元”，再串3个并联的“基本单元”），所以“基本单元”的电 阻也为R;挖去后，如图2乙所示，电路相当于 3个并联的R、串2个并联的R,再串3个 并联的R,等效电阻为-R R =殳.32362、一维有限网络求等效电阻【例3】如图3甲所示，已知 R1

3、=R2=R3= - = Rn = Rn+1 = Rm= Rm+1 = R/2 ,则A、B间的电阻Rab =RmR 尺 m+loB【解析】如图3乙所示，找出“基本单元”（虚线方框内电路）进行递归，发现“基本单元”重现，容易得到Rab=R23、一维无限网络求等效电阻 （1）单边形【例4】如图所示的电路是一个单边的线型无限网络，每个电阻的阻值都是r,则A、B之间的等效电阻Rab=。【解析】因为是电路是“无限”的，所以增减一个“基本单元”不影响其等效电阻。图4乙虚线方框为一个个“基本单元”。设去掉最左侧那个“基本单元”后剩余电路的电阻为 R余，则:R余r 厂Rab =2r + 一，且 R余=RabR余

4、r解得：rab =(73 +1) r【例5】如图5甲所示的电路是一个单 边的线型无限网络，每个电阻的阻值都是 r,则A、B之间的等效电阻 Rab =【解析】图5乙虚线方框为一个个 “基本 单元”（注意与例4不同），设去掉最左侧那个“基 本单元”后剩余电路的电阻为 R余，则：（R余 2r）r 门Rab =（R余 +2）+ R余=Rab图5乙解得：Rab =（、.3-1） r（2）双边形【例6】一两端无穷的电路如图 6甲所示，其中每个电阻均为 r,则a、b两点之间的电阻 R ab =【解析】此电路属于两端无穷网络， 整个电路 可以看作是由三个部分组成的， 等效电路如图6乙 所示，则：Rab=(2R

5、x r)r(2Rx r) rRx= ( V3-1) r.(参照J例5）解得：Rab=（6 3）r6、“等势点断路或短路”法RxRx电压是形成电流的原因，所以等势点之间的电阻没有电流通过，在计算等效电阻时可以把该电阻去掉，这种方法称之为“等势点断路”法；同样，等势点之间也可以用导线连接起 来缩成一点，即短路，这种方法称之为“等势点短路”法。【例7】如图7甲所示电路，由12根阻值都为Ro的电阻丝连接而成，则 A、D间的电 阻 Rad =。【解析】将A、D两端接入电源，假设电阻丝 BG和CG交于Gi （G1与G靠近而不连 接），电阻丝FG和EG交于G2 （G2与G靠近而不连接）。这样，电路中 G1、

6、G、G2三点分 别处电流流径的对称点上（即三条电流路径的中位），所以它们是等势点。现将Gi、G、G2用导线连接时不会有电流在这三点之间通过，将等势点拆下后，等效电路如图7乙所示。据图容易求得 Rad = 0.8 Ro0【例8】在图8甲所示的电路中,Ri = 1 q , R2 = 4 a , R3 = 3 a , R4 = 12 q , R5 = 10 a则A、B两端的等效电阻 Rab=【解析】将 A、B两端接入电源，假设没有电流通过，可将 R5去掉，等效电路为图R5不存在，C、D两点的电势相等，所以 R5中_ .一158乙所小。据图谷勿求信 Rab = Q o （事实4上，只要满足 国=R3的

7、关系，电路即为平衡的桥式电路。）R2 R4图8甲图8乙【例9】如图9所示，正方体每条边的电阻为r,则A、C间的等效电阻Rac=过，根据“等势点断路”法，容易求得RAC=3r【解析】将A、C两端接入电源，假设棱 BBi和棱DDi断开, B、Bi, D、Di分别处电流流径的对称点上（即四条电流路径的中 位），所以它们是等电势点，因此原电路中BBi、DDi上无电流通【例10】如图10甲所示，某电路有 n个节点 每两个节点之间都连有一个阻值为r的电阻，则任意两节点之间的等效电阻为 。【解析】假设电源加在图中的 1、2两点，假设余下的 n2个节点（3, 4, 5n）间的 电阻断开（图中虚线所示），这n

8、2个节点分别处电流流径的对称点上（即 n 2条电流路 径的中位），所以这些节点为等势点，它们之间的电阻上没有电流流过。根据“等势点断路”法，等效电路如图10乙所示。11111n=+ + + =.R r 2r 2r2r 2r图10甲图10乙、/【例11如图11所示的网状电路中含有四个六边形，已知六边形每边的电阻都是r,则A、H间的等效电阻 Rah=【解析】将A、H两端接入电源，由于电路关于 ACFH的直线为对称的，所以各对称电 路段上分布的电流应相等（如AB段和AD段上的电流相等，BC段和DC段上的电流相等），因此，B、D为等势点；同理E、G也为等势点。根据“等势点短路”法，等效电 路如图11乙

9、、丙所示。这样 AH间的电阻可以看成 BD左侧、EG右侧以及BD和EG之间 三个部分串联而成，容易求得R左=R& =r ；中间是上、中、下三部分并联，可求得 =更。Rah= R左+ R右+ R中20r7三、“电流分布”法根据电流分流思想和电路中任意两点间不同路径等电压的思想，建立以电流为未知量的方程组，解出各电阻中电流的关系， 然后选择电流的某一路径计算出总电压U,再由R=U,即可求出等效电阻。【例12】如图12甲所示，正方体每条边的电阻为r,则 A、Ci间的等效电阻Raci =。【解析】如图12乙所示，设有一电流I从A流向根据电路的对称性可知，从 A点 流向三条棱上的电流都为 L,从

10、ArB、D流向后面两条棱上的电流都为 -,汇聚到C1的 36第5页共9页口 - C口71三条棱上电流都为U” +31。设 ACi间电压为 U ,任选一条电流路径可计算出3IrIr5IrU5r一+ 一二一,所以 Raci=.636I6图12甲图12乙【例13如图13所示，Ri=R2=R3=R4=2Q, R5=4Q,则电路总电阻为 Qo【解析】假设R3不存在，可判断其下端点的电势较高，所以R3上的电流由下而上流过。设R1、R2、R3上的电流分别为11、 12、I3,则：R4的电流为I1+I3； R5上电流为I2- I3U = I2 R2+ ( I2 I 3) R5= I2 R2+ I3 R3+ (

11、I1+I3)R4= I1R1+ (I1+I3)R4整理：6 I24 I3=2 I1 + 2 12+ 4 I36 I2- 4 13=4 I1 + 2 13解得：I1=6 I3； I2= 5I3I5= I2- I3 =4 I3,U UoUq 5I o2 4I o426选择电流流过R2、R5这条路径可求得R=U=U2U532 4I34=£C.I I11I311(注：此电路即为非平衡的桥式电路。 )【例14】每边的电阻为框架由三个正方形组成，正方形图14甲是由均匀电阻丝焊接成的框架电路, r,则框架A、E两点间的电阻为°苫甲沙铲步嚏a/ H 田（i Si图14甲图14乙【解析】如图

12、14乙所示，假设电流I从A点流入，E点流出，设AH、HG、GF上的电 流分别为 小 目、0,则流经 HC、GD、BC、CD、DE的电流分别为(a削、(3-切、(1 刈、(1-削、(1- 0)I,根据电路的对称性， AH和DE中的电流对应相等， HG和CD中的电流对应相等。uahc=Uabc 4 a芹2一513联立上式的解得：0=5 出13828u hg UgeI:Ir -Ir 2dr 15r一 I -V第11页共9页【解析】如图称性，有L电流由4点后流出，同样有L电流经A点流到B点。这样，AB段的电流便由两个 ,叠加而成,4R _ U AB _ r RABI 21rUab,2图15甲图15乙四

13、、“电流叠加”法电路中有多个电源，通过电路中任一支路的电流等于每个电源单独存在时在该支路上产 生电流的代数和。【例15】图15甲是一个无穷方格电阻丝网络的一部分，其中每一小段电阻丝的阻值都是r,则两个结点A、B之间的等效电阻Rab=15乙所示，假设电流I从A点流入，向四面八方流到无穷远处，根据对A点流到B点；假设电流I经过无限长时间稳定后再由四面八方汇集到NaCI晶体结构模型图16（上述解答基于这样的前提：从A点流入电流的对称性不会因B点有电流流出而破坏，同样，从B点流出电流的对称性也不会因 A点有电流流入而破坏。这一结论可以通过基尔霍 夫方程组得到证明。）可以通过简单的直线无限电阻丝，用相同

14、的思路求A、B之间的等效电阻来验证。A B【例16如图16有一个无限大NaCl晶格，每一个键电阻为 r,求相 邻的Na原子和Cl原子间的电阻。【解析】假设电流I从Na原子流入，根据对称性，有L电流流向相邻6的Cl原子；假设电流I从相邻的Cl原子流出，同样有 1电流从相邻的Na6原子流入。根据电流叠加原理可知，每一个键电阻上的电流为-。3I 一 r 3，I - 316所示。【例17有一无限平面导体网络，它有大小相同的正六边型网眼组成，如图所有正六边型每边的电阻均为Ro,则间位结点a、b间的电阻【解析】假设有电流I自a电流入，向四面八方流到无穷远处，根据对称性，有电流由c流向b;再假设有电流出，那

15、么必有-电流由c流向3根据电流叠加原理可知I I II ac= 二.3 6 2-电流由a流向c,有-36I由四面八方汇集b点流 b,有；电流由a流向c。 ,由a流向c的电流O13f6图17Rab=9b87由c流向b的电流Icb=-+-=Rab=5bIIacR0IcbRo=Ro.五、不变部分电阻“重复代用”法【例18】三个完全相同的金属环两两正交，并把正交点焊接，成为球形骨架, 所示。若每个四分之一圆周金属丝电阻为R时，测得A、B间电阻为Rab。如图今将A、B18间一R 段金属丝改换成另一个阻值为R的一段四分之一圆周的金属丝，则 A、B间的电阻2R'=o【解析】设去掉A、B间那段四分之一

16、圆周的金属丝后剩余部分电阻为RxRRxRab =R RxRRabR-Rab更换电阻后,A、BR一 ' Rx间的电阻r' = NR DRx2R RabRRab【例19】图电阻丝的阻值都是19是个无穷方格电阻丝网络的一部分，已知电阻r,则A、B之间的电阻Rab=【解析】设拆除 Ro后的剩余部分的电阻为R余Rab=Ro/R余，根据例15的结论，可求得 R余=r. R 3r r 3rRAB-.3r r 4六、“再造电路对称”法【例20如图20所示，正方体每条边的电阻为 r,则A、B之间的等效电阻【解析】将距AB最远端的电阻GH等效成两个2r的并联，G1、G2 和Hi、”分别处电流流径的对称点上，它们是等电势点。根据 “等势点断路”法，把它们拆下，分别并入两边的电路，其等效电路如图20乙所示。Rab =据图容易求出RAB=7r12图20乙图20甲七、“等势点断路+基本单元”法【例21】在图21甲所示的三维无限网络中，每两个节点之间的导体电阻均为R,试求A、B两点间的等效电阻 Rab =2R/3图21乙图