《面积问题之”水平宽、铅锤高“模型的实战分析》

1、勤奋是一种品质，优秀是一种习惯三角形面积问题之“宽高公式”的实战分析高邮市赞化学校段广猛三角形面积问题之“宽高公式”的两种证明方法一文中，主要介绍了三种情形下 “宽高公式”模型的证明.1如图1、图2、图3所示，S ABC _ OC AD ,其中OC表示日C两点在水平方 向2上的距离，简称这个三角形的“水平宽”；而AD表示点A到边BC在竖直方向上的距离，I简称这个三角形的“铅锤高”.于是三角形的面积S=2 水平宽 铅锤高，这个公式不妨称为“宽高公式”.细心观察上面三种情形，操作方式都是过点A作平行于y轴的直线交边BC所在的直线于点D,则AD就是“铅锤高”；而 B、C两点之间的水平距离，即线段OC

2、就是“水平宽”.在实际应用中，笔者不建议学生固化思维，强记这里的结论而直接使用.一方面，这个公式课本上并没有直接出现，中考时能不能直接使用值得商榷；另一方面，对于图2的 结论，大部分学生普遍可以接受，但是若是不知道这个公式推导的来龙去脉而强行直接使 用，图1及图3的结论，多数学生是很难理解原理而导致不能正确使用更何况，这三种情形下的推导过程也是相辅相成、思想统一的，都采用了 “改斜归正”及“割补法”的思想，而这两种思想方法又是极其重要的解题原理，需要同学们认真 深刻体会的，所以笔者强烈建议学生体会这里的推导原理，以达到灵活使用的目的.其实，掌握了原理，怎么割补三角形都可以，只要过三角形的三个顶

3、点中的任意一点作平行 于坐标轴的直线都可以实现面积处理，仅仅是繁简程度不一而已，下文会一一提及.如图4、图5、图6所示，S abc _1 BD AE ,其中BD表示点B到边AC在水平方2向上的距离，简称这个三角形的“水平宽”；而AE表示A、C两点在竖直方向上的距离，简称这个三角形的“铅锤高”.于是依然有三角形的面积S=2 水平宽铅锤高.这三张图的操作方式都是过点B作平行于x轴的直线交边 AC所在的直线于点 D,则BD就是“水平宽”；而 A、C两点之间的竖直距离，即线段AE就是“铅锤高”.1 A实际上，过点C作平行于坐标轴的直线， 无论是平行于x轴，还是平行于y轴，最终都可 以实现对于此三角形的

4、面积处理 ，有时是“害 即“面积加法”；有时是“补”，即“面积减法”, 由此可以看出，不用强记公式，只要过三角形的 三个顶点中的任意一点作平行于坐标轴的直线 ， 无论是平行于x轴，还是平行于y轴，都可以实 现面积处理.图7提供了一种方式，12 - CD AE.ABC那么问题来了，割补方式千变万化，而且好像都可行，在解题实战中，难道就随意割补吗？非也！理论上是都可行，但计算量绝不相当！我们知道，“在变化中抓不变量”也是一种重要的思想方法，“以不变应万变”.此时再结合这个解题策略，就可以使计算过程“如履平地”.在三角形三个顶点中，一般情况下会有两个定点和一个动点，抓住这两个定点就是关 键所在.如图

5、8或图9所示，点B和点C是两个定点，而点 A是一个动点.这时，我们就应 该过动点A作平行于y轴或者平行于x轴的直线交直线 BC于点D,利用B、C两个定点求 出直线BC的解析式，再设出动点 A的坐标，将横坐标或者纵坐标代入直线 BC的解析式，表示出点D的坐标，进而容易表示出线段 AD.在图9中，SABC S ACD S ABD =_ 1AD CF2! L1!A AD BE 2 AD (CF BE) 2 AD (OE BE) 2 AD OB,因为 BC都是定点，故 OB是常值，而且直线 BC的解析式易求，进而 AD的长度好表示.若是你“不信邪”，偏偏如图10所示那样“割补”，我想说“此路依然行得通

6、”，但与前面的两种方法相比，一烦在“水平宽” BD上，需要求出直线 AC的解析式，理论上肯 定行得通，这条直线的解析式会因为点A是动点而导致含有参数，计算量较大；二烦在“铅锤高” AE上，也是因为点 A是动点而导致含有参数.“罪魁祸首”都在动点A上，而“元凶”就是因为一开始过定点B进行了 “割补”.需要特别说明的是，这种方法并非是错误的，仅仅是计算量较大些，其操作依然是可行的下面以2016年苏州中考压轴题第(2)问为例具体谈谈“宽高公式”的使用 .(2016? 苏州)如图11,直线l : y=-3x+3与x轴、y轴分别相交于 A、B两点，抛物线y=ax2- 2ax+a+4 (av 0)经过点B

7、. (1)求该抛物线的函数表达式；第5页共7页勤奋是一种品质，优秀是一种习惯(2)已知点M是抛物线上的一个动点，并且点 M在第一象限 内，连接AM BM设点M的横坐标为 m, ABM的面积为S,求S 与m的函数表达式，并求出 S的最大值.对于第(1)小问，易知该抛物线的函数表达式为：y=-x2+2x+3;对于第(2)小问，这是一个“两定一动型”三角形面积 问题，“死咬” A、B两定点“不松口”，过动点 M作平行于坐标轴的直线进行“割补”即可，这里提供两种方式方式一：如图12所示，过动点 M作平行于y轴的直线交边 AB1所在的直线于点 N,则S ABM S MNB S MNA =IMN OG J

8、 2_MN AG MN (OG AG) MN OA.设M (t , -t 2+2t+3 ),其中t的取值范围是 0 vt <3,则N (t ,-3t+3 ),从而 MN： yMyN= (-t 2+2t+3 ) - (-3t+3 ) =-t 2+5t,而OA=1 故2228S= (-t 2+5t ) =-t (t-5 ),当 t=时，S 有最后直为.值得一提的是，上面的操作过程可总结如下：第一步：抓住两个定点 A和B,它们之间在水平方向上的距离OA作为4ABM的“水平宽”；第二步：过动点 M作平行于y轴的直线交边 AB所在的直线于点N,则MN乍为4ABM的“铅锤高”；第三步：将面积“往 竖

9、直线MN±靠"，通过面积“减法”，2得到所求三角形的面积为S ABM MN OA.方式二：如图13所示，过动点 M作平行于x轴 的直线交边AB所在的直线于点N交y _LJ_22第#页共7页勤奋是一种品质，优秀是一种习惯轴于点G,则S ABM S MNBS MNA=1MNBG MN OG1 MN (BG OG)2MN OB .设M (t , -t 2+2t+3 ),其中t的取值范围是 0vtv3,则t2 _2t 2 t2 2t _t2 5tN(，-1 +2t+3 )，从而 MN= XMXN t- =, 333而 OB=3,故 S=_1_t2 _5t 3=- _1 t (t-5

10、 )，当 t= _5 时，S有2 32225最大值为.上面的操作过程可总结如下:第一步：抓住两个定点 A和B,它们之间在竖直方向上的距离 OB作为4ABM的“铅锤 高”；第二步：过动点 M作平行于x轴的直线交边 AB所在的直线于点 N,则MN乍为4ABM 的“水平宽”；第三步：将面积“往水平线 MN±靠"，通过面积“加法”，得到所求三角形的面积为_S ABM MN OB .至此，这个“两定两动型”三角形面积问题，利用“宽高公式”得到了比较完美的解 答.当然，关于面积处理，绝不仅仅只有“宽高公式”，还有很多其他的路可走，如“框图 法”（亦可称“矩形大法”）、其他的割补法（如上

11、题中连接 OM&是一种很好的分割处理 手段）等等，但大多体现出来的思想方法都是“大同小异”的，即想方设法将所求“斜面 积” “改斜归正”，使问题得以解决.后面若有机会，会专门成文，敬请期待！通过前面的模型证明及本文的实战分析，笔者认为根本不用记忆所谓的“宽高公式”，只要在处理面积的问题中，狠抓不动点不放手，过动点作平行于坐标轴的直线交 这不动边所在的直线于一点，将三角形的面积进行“害或"补”，即面积“加”或“减”，然后平移其中一条高线，即可转化为高线的“加”或“减”，就能够得出所谓的 “宽高公式”！这道苏州中考真题中有一个限制条件“点M在第一象限内”，很明显是为了简化起见.若是将这个条件去掉，即“点M是抛物线上任意一动点”，那么 ABM的面积为S关于m的函数表达式又如何求解呢？我想其他的方法就未必恰当了，这时“宽高法”的作用会更 明显.图14及图15给出了两种情形，前者可看出此时方法过程跟原题一模一样；而后者可 看出唯一的区别就是点 N位于了点M的上方，此时 MN= yN yM,其他都没变化也就是这时候要分类了，分类的标准就是M N “谁高谁低”，可分三类，也可分两类.甚至于，结合本人作品巧用绝对值避