专题14+解析几何大题-冲刺高考最后一个月之2019高考数学(理)名师押题高端精品

1、专题十四解析几何大题(一)命题特点和预测：分析近8年全国新课标文数卷1发现解析几何大题8年8考，每年1题主要以圆、椭圆、抛物线为载体考查圆的定义、性质、直线与圆的位置关系、椭圆与抛物线的定义、几何性质、 直线与椭圆的位置关系，考查定点与定值问题、最值与范围问题、探索性问题、证明问题、弦 长与面积问题，考查设而不求思想及字母运算能力，常为第20题，为难题.2019年解析几何大题仍为必考试题，第1小题主要考查椭圆与抛物线的定义、几何性质，难度为基础题，第2小题主要以直线与圆锥曲线的位置关系考查定点与定值问题或最值与范围问题或证明问题，难度为难题.(二)历年试题比较：年份题目2018年?2C:+ y

2、 = 1【2018 新课标 1,理 19】设椭圆2的右焦点为几过 H 的直线 H 与 D 交于两点，点网的坐标为：厶 0).(1) 当与甘轴垂直时，求直线阿的方程；(2) 设 0为坐标原点，证明：= z.2017年2 2【2017 新课标 1,理 20】已知椭圆 C:笃+每=1(ab0 )，四点 P1(1,1)，P2(0,1)，P3(-，ab)，P4( 1，)中恰有三点在椭圆C 上.2 2(1) 求 C 的方程；(2)设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A，B 两点若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为-1, 证明：1 过定点.2016年【2016 新课标理 1，理 21】设圆+

3、= 0 的圆心为 A，直线 l 过点 B (1,0)且与 x轴不重合，1 交圆 A 于 C, D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E.(I) 证明 EA +|EB 为定值，并写出点 E 的轨迹方程；(II)设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 1 交 C1于 M,N 两点，过 B 且与 1 垂直的直线与圆 A 交 于P,Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围.2015年x2【2015 新课标 1,理 20】在直角坐标系xoy中，曲线 C： y= 与直线y kx + a(a0)交与4M,N 两点，(I)当 k=0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程；(H)y 轴上

4、是否存在点 P,使得当 k 变动时，总有/ OPM=ZOPN?说明理由.2014年JC* 1 * -T亠一T = 1(Q 方A 0)3【2014 课标I,理 20】已知点 A(0, 2)，椭圆E b的离心率为、_ ； F 是椭2圆 E 的右焦点，直线 AF 的斜率为 纽3, O 为坐标原点3(I) 求 E 的方程；(II)设过点 A 的动直线l与 E 相交于 PQ 两点。当AOPQ的面积最大时，求1的直线方程.2013年【2013 课标I,理 20】已知圆 M:+亠厂=1 ,圆 N : QI)亠* = 9 ,动圆P与M外切 并且与圆 N 内切，圆心P 的轨迹为曲线 C.(I)求 C 的方程；(

5、H) l是与圆P,圆M都相切的一条直线，l与曲线 C 交于 A, B 两点，当圆 P 的半径最长时， 求 |AB|.2012年【2012 课标I,理 20】设抛物线C：T =0)的焦点为F,准线为 1 , AEC，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交 1 于B,D两点；(1) 若 NBFD =90*,UBD的面积为4血，求p的值及圆F的方程；(2) 右A,B,F二点在冋一直线 m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个公共点，求坐 标原点到 m ,n 距离的比值.2011年【2011 全国新课标，理 20】在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，- 1) ,B点在直线y 3LiLU

6、iLJ1LU1JLB上,M点满足MB/OA,M.4 .4B-MB BA,M点的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；P为C上的动点，1为C在P点处的切线，求O点到1距离的最小值.【解析与点睛】(2018年)(19)【解析】(1)由已知得世卫 3, I 的方程为 x=1.& J匹;y =- x + “ y=x-卫所以 AM 的方程为 Z或 2.（2）当 I 与 x 轴重合时，-厂 V7 .当 I 与 x 轴垂直时，0M 为 AB 的垂直平分线，所以 厂 JF .当 I 与 x 轴不重合也不垂直时，设 I 的方程为y-K-乳门，匸门金 5；匸 1则匚S+启，直线MA，MB 的斜率之和为X2-22kxtx

7、2-:味（勺 +x2）+ 4lt（叼-2） （叼-2）（2k2+ 1）J?-4k2x +2-2 = 0所以,2kx1x -引f（巧 +x2） +44 则从而也+ *細=0，故忖八，MB的倾斜角互补，所以0MA=zMS.综上伽=LOME点睛： 该题考查的是有关直线与椭圆的问题， 涉及到的知识点有直线方程的两点式、 直线与椭圆相交的综 合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简 单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，在做题的时候需要先将特殊情况说明，一般情况下，涉及 到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的

8、关系来得到角是 相等的结论.（2017年）【解析】（1）由于 LI，两点关于 y 轴对称，故由题设知 C 经过，LI 两点. 1113p+応 Ap+p又由aha仙知，C不经过点卩!，所以点卩2在 C 上.将f代入2片严声讦三认+1（2）设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 ki, k2,如果 I 与 x 轴垂直，设 I：x=t,由题设知回，且叵玄，可得 A ,B 的坐标分别为（J 2（ t2|）.v4-2 /4-tz+ 2k + ” _ _ _ = j则i，2t2t从而可设(4:+ 1)工 + HJtmjf + 4m -4 = 0 由题设可知 (4 以-异+ 1)AU.JrXj + m

9、 - 1kx2+ n - 1=-b- 2kx2卡伽-1)勺 +Jt2)4m - 4(2 +1) ,即m+ 1k =-解得-m + 1r-亍问y-x + my4-当且仅当 FA-1|时，PA0|，欲使|：2，即 所以 I 过定点（2， 设 A（xi，yi）, B（X2，y2），贝 V x 什 x2=由题设itj +l0 即4，当OPQ的面积最大时，I的方程为(2013年)【解析】由已知得圆M的圆心为M(-1 , 0),半径r,=1，圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3.设动圆P的圆心为P(x,y)，半径为 R.由椭圆的定义可知，曲线 C 是以 M N 为左右焦点，场半轴长为 2,短半轴长为、3

10、的椭圆(左顶点除外)，其方x2v二+丄二1(-2)程为1.(n)对于曲线 C 上任意一点P(x,y)，由于 |PM|-|PN|=2R-2 w2,.RW2, 当且仅当圆 P 的圆心为(2, 0)时，R=2.当圆 P 的半径最长时，其方程为 (x-2)a+/=4,k2+时,8*2:-3从而4F+14V+1 74*:-3又点O到直线PQ的距离d =面积.-0)(2)由题设，则 F(0,卫),2+ A,B,F三点在同一直线m上，B(-Xn1p- p-=-ox=3z?:由点A,B关于点F对称得：.时，由图形的对称性可知|AB|=187又AB为圆F的直径，故A,B关于点F对称.76逅X1,2=7如迦=3坐

11、标原点到m,n距离的比值为 (20112011 年)【解析】(1)设 M(x, y)，由已知得 B(x，- 3)，A(0，- 1).TT所以MA= (-X, 1 y),MB= (0,- 3-y),LIL JI 畳LUK再由题意可知.:亠订心皿亠；，即(-x,- 4 2y) X， 2) = 0.所以曲线 C 的方程为 y = 4x2-2.1211设 P(xo,yo)为曲线 C:y x - 2上一点，因为y x，所以 I 的斜率为一x.422因此直线 I 的方程为,即-.则 0 点到 I 的距离 又2H=l(J77+_所以(三)命题专家押题题号试题2 2已知椭圆血b的右顶点为田，左焦点为口，离心率

12、 _ ，过点国的直线与椭圆1s- 3 + 州交于另一个点也，且点因在呂轴上的射影恰好为点 E3,若山叫2 .(1)求椭圆目的标准方程；过圆一 上任意一点日作圆因的切线阴与椭圆交于囲，西两点，以 愛为直径的圆是否过定点，如过定点，求出该定点；若不过定点，请说明理由.切点卩(字,2)直线上I一儿=5AB= (x, - 2).当xo=0 时取等号，所以0 点到 I 距离的最小值为 2.二 + 厶 TQQO) 回_已知椭圆口： 口 哄的离心率为 凶，直线 F 十 y -1 可被圆二截得的弦长为_(1) 求椭圆的方程；(2) 过点回的直线陂椭圆日于也，已两点，在目轴上是否存在定点町，使得匹岡为定值？若存

13、在，求出点卫的坐标和匝逻的值；若不存在，请说明理由43已知平面上一动点巴到定点匡空的距离与它到直线X 3的距离之比为2，记动点日的轨迹为曲线 L.(1) 求曲线|的方程；”-*=訂(2) 设直线斫宓+皿与曲线 F1 交于阿 I 凹两点，円为坐标原点，若丨4|,求|起0 叫面积的最大值.已知抛物线=;pO)的焦点为巴，直线+ b也丨比!相交于亜两点.(1 )记直线阿 P 冏的斜率分别为儿 灿 求证：陶兰勺二网:(2)若抛物线 Q 上异于回的一点户 g 2)(咛心到的准线的距离为 E,且阳=9 昭,问:4.直线是否恒过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.已知曲线 Ek 动点岡与

14、定点圧的距离和它到定直线 22|的距离的比是常数叵.若过卩(的动直线&与曲线 13 相交于回两点.(1) 判断曲线的名称并写出它的标准方程；WPA(2) 是否存在与点 巴不同的定点凰，使得I円训恒成立？若存在，求出点 啊的坐标；若不存在， 请说明理由双曲线 0：的左右顶点分别为 囤，囤，动直线 0 垂直恆的实轴，且交忸于不同的两点回,2.3.5.直线巴!与直线空 I 的交点为口(1) 求点的轨迹的方程；(2)过点-1作 I 的两条互相垂直的弦 P；，证明：过两弦 ，冲点的直线恒过定点 已知呵呵，鬥是动点，以阿为直径的圆与圆円：F+宀可内切(1 )求的轨迹的方程；(2)设问是圆円与 n 轴的交点

15、，过点|例的直线与网交于呵两点，直线 呵交直线戸 q 于点円, 求证：厂丁三点共线.，其右焦点 与抛物线.I 的焦点重合，过且垂直于(1 )求椭圆的方程;(2)若直线 I 与中椭圆相交于旳凹两点，直线凹 fl,四的斜率分别为冏 00 (其中旦 I),且凰巴弘等比数列；设西回的面积为 E1,以四、四为直径的圆的面积分别为旦囤求月 I 的 取值范围C: + = l(a60)岡 _已知椭圆 口 b的左顶点为田，离心率为 ，点匝在椭圆也上.9(1)求椭圆伽勺方程；(2)若直线壮伙老)与椭圆也交于 E1,日两点，直线 固，画分别与回轴交于点网，阿，求证：在 E轴上存在点日，使得无论非零实数 忸怎样变化，

16、总有空画为直角，并求出点 蚪的坐标2 2 2如图，已知抛物线 C： y =2px ( p 0), G 为圆 H : (x+2) +y =1 上一动点，由 G 向 C 引切线，切 点分别为 E, F,当 G 点坐标为(-1, 0)时， GEF 的面积为 4.(I)求 C 的方程；10_(H)当点 G 在圆 H :(x+2)2+y2=1 上运动时，记 k1, k2分别为切线 GE, GF 的斜率，求 R1|的取值范围.抛物线对称轴的直线与椭圆交于二、两点，与抛物线交于_两点.【详细解析】1.【解析】（1 ）厂可卩=血|, 亘ivI设，代人椭圆方程得：l-ol -=巩1+、2)J 二.：- -.；?

17、b2= 6-?412.-、椭圆口的标准方程为 河* &1.（2）当直线卩的斜率不存在时，以阿叫为直径的圆的圆心为禺 UJ或-NO）,半径为 2, 以聖为直径的圆的标准方程为：5 + 2 尸+ h 二 4 或（工-2）口尸三 4 ,因为两圆都过坐标原点，以1_1 为直径的圆过坐标原点，当直线 FI 的斜率存在时，设其方程为 /叫帆帀必儿卩旳， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线：的距离，姑U = 2化简得：(2/c:+ l)x2-t-Akmx-t-12 = 0=+ (kx+ 猷)曲勺 +m)=(1 +疋)工% +S(jt + x2) + m2(l + /fZ)(2m2-12)伽呼2k2+1 2tz

18、+ 1+4 +Ak2) - 12k2-122tz+ 1以厂-为直径的圆过坐标原点，综上，以 L_为直径的圆恒过坐标原点.直线卩+八旦被圆 f+h1 截得的弦长为2柑-护=2=誚_,- - y 1解得旦，故匕 7 田，.椭圆日的方程为卩（2）设巫四，叵匹,片（力兀）当直线 9 与 El 轴不重合时，设 15 的方程：呷+1.讥焉, .-2m?用+|0 + 0-1|品n + y2=b的圆心到直线r + y- 1 = 0的距离为卫3m2-i2k2-122.【解析】椭圆 LI 的离心率为A(4Jt2- 5)4m+ 4km ( 8hn)+ 4m2= 0闷PR=(Xt-偶)区-tFy2) =xtx2-t(

19、xt+ tz+yy2- +t+ 1m2+ 2当直线与 LJ 轴重合且 I_j?/-7PA PR=- -H16.2S _7-2 -116 16*时，円-两的值与网无关，此时 巳时，弘叽也询卜屁討卜存在点为定值，使得皿两%1 JF屮JS ilx.J 1，则J2，化简得扌+心3.【解析】（1）设汪回曲线丄的方程为(2 )设联广，得(1 +斗以)JT2+ Rtfnjr +- 4 = 0依题意，暑曲耳申/ 门八，yy2=(妬 +個)=k2xyx，则 L，即好仍二张円，4/r2+ 1亦 +1即 *-+(4以一5)(mz- 1)-Ufc2rn2+ mz(4irz+1) = 0化简得:，ED 原点冏到直线 B

20、 的距离山+ /4.【解析】(1 )设，可得阁宀心圧也 L 弋必,九疋=2y*|-+-x0=2b5卄抑吨K沁)+1)ik2+ 1 =设6A- t 65门20 k2-204i_i_s- ! + y2) +y1y2= O,即 8Ak 2b k2-4/J+ fc2= 0,b=-2k+ 2 或匡迢王匸 当 f * 时，亍=严； 即汽=：狂|,此时过点 _:，与点重合，不合题意,当匸时 /.:-；即歹*；H-，此时过点7 述丨综上所述直线过定点 I（_2, 4）5.【解析】（i）设动点凹的坐标匹辺， 点凹到直线的距离为回,依题意可知所以如阳卷吓（2当直线_与轴垂直时，由椭圆的对称性可知iWTWi又因为血

21、卫生所以曲线 LI 的名称是椭圆，它的标准方程为PA =p/?lMF _J2卫，即两边平方后化简得2则 IQ 川=IQ 叫所以点LI必在I轴上.当直线 p 与目轴垂直时，则他月(0厂洞，由可设Q(OM)*I)空| _屮州詁九网_磴-1由 IQB| |PB|忸+厲0恒成立设i绍)，、心对疥4Jt7 =齐*宀设点岡关于附由对称的点坐标 肛一孔吒)x y4 + 2二消夫Fl整理得+ 1)F + 4 备一 2 = 0,y =则 所以三点匹也共线,QA QAl*ilPA故所以存在点|_满足题意.因为直线LJ的斜率同理得直线斜率因此6.【解析】（1）因为：，因为动直线 W 交双曲线于不同的两点 呵，所以

22、Fo#2|且存壬耳y2=: X - 4)区得% _4把代入上式得+L=i（xr2）所以点日的轨迹日的方程为 4（2）依题意得直线 L_与直线斜率均存在且不为0，设直线 L的方程为厂八（-，则直线fx = my+t联立13J2+ 4/=12 得+4y+6rny-9 = 0则 A = 36m!+ 36(3mz+ 4)= 144(mz+ l)0|，设班勺小)心汕 J， +七二世（儿+匕）+2二_ ：3m+ 4?4- 3mR(r-” 5所以匹 I 的中点3m +43m+4同理凹的中点 4m2+ 3 4m2+ 3，x =-y+ 1西的方程为m3m*所以直线的斜率为设Pgy）,时 （大 （?儿） -则叭-

23、儿）且4,因为直线囲的方程为,y = x+ 2）直线凹的方程为兀 2,化简得-6m3 沪爲韦所以直线的方程为：,7m 4y =一整理得7.-【解析】（1 ）设,因为圆 LI 与圆 LI 内切，点 LI 在圆 LI 内,整理得专片-W -丁一厶 设 F(-ie)|，则 |PF|+ |P| = 4,即的轨迹是以 LI,匚为焦点，长轴长为4 的椭圆.（2）设匪函 3,.因为阿是圆何与科轴的交点，不妨设片（-训|，陀可，则曲=也-2ty2）.y =-* （jf + 2）因为直线西的方程为即过两弦丄中点的直线恒过定点0G2IP門所以直线恒过定点则丄的中点 LI 的坐标为所以由_，所以 LI 的方程为因为直线=习过 LI，斜率不为 0,1x = my + -故可设其方程为2|伽旳丹_】弓M+山）x1+ 2故也三点共线.（2）设直线的方程为，l/y = /ex + m 1由叫+宀可得（1 + 4 均护+晡恥+帕八_i）=o消去 LJ并整理因为45川严4丽丙8.【解析】 （1 ）由抛物线方程得X V2+ 1= 1 0)椭圆方程为口b过 F 垂直于抛物线对称轴的直2b2MN