2019版高考数学大一轮复习第七章不等式第2节基本不等式及其应用学案北师大版

1、第2节基本不等式及其应用最新考纲1. 了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.I基础摻斷知识梳理a亠b1.基本不等式：ab0,b0.等号成立的条件：当且仅当ab时取等号其中=厂称为正数a,b的算术平均数，_ab称为正数a,b的几何平均数2.两个重要的不等式(1)a2+b22ab(a,b R)，当且仅当a=b时取等号.3.利用基本不等式求最值已知x0,y0，贝 U(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时，x+y有最小值是 2p(简记：积定和最小).2如果和x+y是定值s，那么当且仅当x=y时，xy有最大值是专(简记：和定积最大).常用结论与微点提醒b a1.

2、62(a,b同号)，当且仅当a=b时取等号.2 22ta+ba+b3.1 1wabww ； 2(a0,b0)._+1;a b4.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致诊断自测1.思考辨析(在括号内打“V”或“x”)(1)两个不等式a2+b22ab与.ab成立的条件是相同的.()1函数y=x+ -的最小值是 2.()x口归教材、夯靈基础abw辛 (a,b R)，当且仅当a=b时取等号24函数f(x) = sinx+的最小值为 4.()sinxx y(4)x0 且y0 是+丄2 的充要条件.()y x解析不等式a2+b22ab成立的条件是a,b R；不等式 于尹，ab成立的条件是a0,

3、b0.1函数y=x+-值域是(a, 2U2,+s)，没有最小值.x4函数f(x) = sinx+ sinx的最小值为5.x yx0 且y0 是-+ 2 的充分不必要条件.y x答案 (1)X(2)X(3)X(4)X2.设x0,y0,且x+y= 18,则xy的最大值为()A.80B.77C.81D.82解析 当x2 时，x 20,f(x) = (x 2)2 2当x 2 = (x2)，即x= 3 时取等号，即当f(x)取得最小值时，即a= 3.2答案 Cx y4._(2017 山东卷)若直线a+b= 1(a0,b0)过点(1 , 2)，贝 y 2a+b的最小值为 _1 2解析由题设可得一 + =

4、1,Ta0,b0,a b(12 2a+b= (2a+b)a+b= 2(b4a、解析xy2)在x=a处取最小值，则x2a等于()A.1 + 2B.1 +3C.3D.4(x 2)X丄 2+ 2= 4,当且仅x 2ba4a+T+24 +24aT38 当且仅当a= +，即b= 2a时，等号成立.故 2a+b的最小值为 8.答案 85.(教材习题改编)一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m,则这个5411 汶 + 2y2225解析 设矩形的长为xm 宽为ym则x+ 2y= 30,所以S=xy=-x-(2y) =,22k2丿2当且仅当x= 2y，即x= 15,y=弓时取等号答案

5、 1515I考点突破 呀 nl ?,弓讣谆考点一配凑法求最值51【例(1)若X0,则f(x) = 4x-2 +44x- 5-彳、(5-4x)5+3一2+3=1.当且仅当 5-4X=匚士，即x= 1 时，等号成立1故f（X）=4X-2+R 的最大值为1.所以y=t2+1 + 3+1=t7TTT4当t= 0，即x= 1 时，y= 0;当t0，即x 1 时，y= 1 一,t+4+ 1因为t+4 2 4 = 4（当且仅当t= 2 时取等号）,1 1所以y= 4 三 5,t+ - +1即y的最大值为 1（当t= 2,即x= 5 时y取得最大值）.答案(1)1(2)1矩形的m,宽为m 时菜园面积最大.分类

6、讲练.以例求沬5- 4x+ 池 + 3 1,不等式x+x1a恒成立，则实数a入I I的取值范围是x2+ 2函数y=匸 1 (x1)的最小值为I解析 因为函数f(x) =x+1 1 在1 ,+R)上单调递增，所以函数g(x) =x+ 1+土12 在0,+)上单调递增，所以函数g(x)在1 ,+)的最小值为g(1)=，因此对任意x1 1 1 不等式x+1a恒成立，所以awg(x)最小值=2，故实数a的取值范围是2 2x+ 2(x 2x+ 1) + ( 2x 2)+ 3y=x 12(x 1) + 2 (x 1)+ 3x1=(x1)+T +223+2.x1当且仅当x 1 = 1，即x= ,3+ 1 时

7、，等号成立.O,2(2)23+ 2答案考点二常数代换或消元法求最值(易错警示)【例 2】(1)( 一题多解)若正数x,y满足x+ 3y= 5xy，则 3x+ 4y的最小值为(2)( 题多解)已知x0,y 0,x+ 3y+xy= 9,贝 Ux+ 3y的最小值为13解析法一由x+ 3y= 5xy可得可+去=1,(13、 3x4y=(3x4y)5y+晟=5+5+5-+呼A齐1=5(当且仅当希=螟即 x=1,y=2 时，等号成立), 3x+ 4y的最小值是 5.3y法二 由x+ 3y= 5xy，得x=5y 11OO，267由已知得心帛.法一(消元法)因为x 0,y 0，所以 0vyv3,9 - 3y所

8、以x+3y=帀+3y12 12iry+3(y+1)62可3(y+112口3(y+1)，即y= 1,x= 3 时，(x+ 3y)min= 6.法二/x 0,y 0,11做+ 3y*9-(x+ 3y) =xy= (3y) 0，贝 yt+ 12t 1080, (t 6)(t+ 18) 0,又 Tt0,.t6.故当x= 3,y= 1 时，(x+ 3y)min= 6.答案(1)5(2)6规律方法条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是对条

9、件使用基本不等式, 建立所求目标函数的不等式求解 .易错警示(1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致 x0,y0,.y5 3x + 4y =9y5y- 1卜 4y=139卜4y=亏+ 5 当且仅当y= *时等号成立,(3x+ 4y)min= 5.-6= 6,当且仅当81 1 1【训练2】已知x,y均为正实数，且忌+不=6 则x+y的最小值为()I:ax+byab= 0(a0,b0)经过点(2 , 3)，贝 Ua+b的最小值为_ .1 1 1解析 x,y均为正实数，且x2+yT2=6则x+y= (x+ 2 +y

10、+ 2) 4=6土+忌(x+2+y+2)42 +宰+空4y+ 2x+ 2y+ 2 -4= 20,当且仅当x=y= 10 时取等号 x + y 的最小值为 20.故选 C.因为直线I经过点(2 , 3)，所以 2a+ 3bab= 0，所以匕=羊0，所以a 30,所以a a 32a6/厂 口， 6+b=a+=a 3+ 55+ 2(a 3)=5 + 2 6，当且仅当a 3 =.a 3a3la 3a 3即a= 3 +寸 6,b= 2+6 时等号成立.答案(1)C(2)5 + 2 6考点三基本不等式在实际问题中的应用【例 3】运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶 130 千米，按交通法规限制 50Wxw

11、100(单上2位：千米/时).假设汽油的价格是每升 2 元，而汽车每小时耗油2 + 360 升，司机的工资是每小时 14 元.(1) 求这次行车总费用y关于x的表达式；(2) 当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值130解设所用时间为t=(h),x130 x2130y=-x2x2+360+14 乂丁,x50,100.130X182X130所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y=-+x,x 50, 100 x300A.24B.32C.20D.28(2018 石家庄质检)已知直线9130X182X130ly = -x + 右x2610,即x= 18 10 时等号成立故当x= 18

12、 10 千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26 10 元.规律方法1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数2. 根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值3. 在求函数的最值时， 一定要在定义域（使实际问题有意义的自变量的取值范围）求解【训练 3 2016年 11 月 3 日 20 点 43 分我国长征五号运载火箭在海南文昌发射中心成功发射，它被公认为我国已从航天大国向航天强国迈进的重要标志.长征五号运载火箭的设计生产采用了很多新技术新材料，甲工厂承担了某种材料的生产，并以x千克/时的速度匀速生产（为保证质量要求 Kx 1 000X2 .9= 6

13、 000,x/当且仅当x=9即卩x= 3 时，等号成立，且x3 1 , 10.故工厂应选取 3 千克/时的生产速度，消耗的A材料最少，最少为 6 000 千克.分层训练、提升能力101.下列不等式一定成立的是（）11Agx2+1lgx(x0)1B. sinx+2(x*kn ,kZ)sinx2C.x+ 12|x|(x R)1D.rV1(xR)x +1)解析 当x0 时，x2+1 2 x 1 =x,所以 lg jx2+ Igx(x0)，故选项 A 不正确；4 24/运用基本不等式时需保证一正”二定三相等”，当x*kn,k Z 时，sinx的正1负不定，故选项 B 不正确；显然选项 C 正确；当x=

14、 0 时，有-7- = 1,选项 D 不正确.x十 I答案 C2.若 2x十 2y= 1，则x十y的取值范围是()B. 2, 0C.2，十)D.(a, 21解析 2.2 十0，不等式x2彳乂十wa恒成立，则实数a的取值范围为()x111解析 由x0,得乂:十3x十=1 w-1= 5，当且仅当x= 1 时，等号成立,X十x十32、/x -+ 31 则a？5答案 A4.若a0,b0,且a+b= 4,则下列不等式恒成立的是()1 1A w -ab41 1B.-十w1a bC.ab22 2D.a+b8A.0 , 2十8D.1，十 71512解析 4=a+b2ab(当且仅当a=b时，等号成立)，即.ab

15、w2,abw4,a1，选项A,1311a+b4o ooC 不成立；-匚=匚1，选项 B 不成立；a+b= (a+b) 2ab= 16 2ab8,选项a b ab abD 成立答案 DA.7答案 C6.若正数x,y满足4X2+9y2+ 3xy= 30，则xy的最大值是（）4A.35 B.-3C.25 D.-4解析22由x0,y 0，得 4x+ 9y+ 3xy2 - (2x)-（3y） + 3xy（当且仅当 2x= 3y时等号成立），12xy+3xyw30,即xyw2,.- xy的最大值为2.答案C7.已知x0,y0 且 4xy-x- 2y= 4, 则xy的最小值为（）A亚A. 2B.2 2C.

16、,2D.2解析/x0,y0,x+ 2y2xy, 4xy-(x+2y)w4xy-2 2xy,4w4xy- 2 2xy,则(2xy- 2)(2xy+ 1) 0,2xy 2 ,xy 2.答案 D1 18. (2018 郑州质检)已知a,b (0 ,+)，且a+b+ + = 5，则a+b的取值范围是()a bA.1,4B.2,+s)C.(2,4)D.(4,+R)11f 1、5解析 因为a+b+-+ 二=(a+b) i1 +匚=5，又a,b (0 ,+)，所以a+b=0C.9D.10b= 9,当且仅当14答案 A二、填空题9.正数a，b满足ab=a+b+ 3,贝U ab的取值范围是 _ 解析 /a,b是

17、正数，ab=a+b+32abl3,解得ab3,即ab9.答案 9,+R)解析/a,bR, ab0,4422a+4b+14a b111abOh=4ab+-r 2abababa2= 2b2,i 14ab=ab,答案 451+alb当且仅当a=b时，等号成立，即2(a+b) 5(alb) + 4 0,解得 Ka+b0,则a4+ 4b4+ 1ab的最小值为当且仅当时取得等号M ab=4,1511.已知函数f(x)=2x+ax+ 11x+ 1(aR)，若xNk,f(x)3恒成立，则a的取值解析对任意x N+,f(x) 3,2即x+ 13 恒成立，即ajX+- + 3. k x/88厂设g(x) =x+

18、一，x N+，贝 Ug(x) =x+ 一42,xx17当x= 2 2 时等号成立，又g(2) = 6,g(3)=孑,g(4) = 6.88x+一+3W ;, x3，17g(2)g(3)，-g(x)min= 38 一 8a 3,故a的取值范围是3,8-km3，十答案 I- 8，+m12. (2018 成都诊断)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为16千米时，运费为 20 万元，仓储费为 5 万元，当工厂和仓库之间的距离为nncos(n2,n N+)得，as+ 比=3,a4+as= 0,a5+a4=

19、 5,千米时,运费与仓储费之和最小，最小为万元解析 设工厂和仓库之间的距离为x千米，运费为y1万元，仓储费为y2万元，则y1=ky（匕k2丰o),y2=-(k2 o),工厂和仓库之间的距离为 4 千米时，运费为 20 万元，仓储费用为 5 万元,ki= 5,k2= 20,.运费与仓储费之和为20 一5x + 万元,20 万元.X20= 20,当且仅当 5x=20即x= 2 时，运费与仓储费之和最小，为xx答案 220能力提升题组（建议用时：15 分钟）13. (2018 西安模拟）若厶ABC的内角满足 sin 2sinB= 2sin C,贝 U cosC的最小值是A垂-迈A. 4CJ6-灵C. 2解析由正弦定222 ,2 2a+ba+b c所以 cosC=2ab2ab3a2+ 2b2 2；2ab、2?6ab 2 ,2ab8ab8ab6 ,24当且仅当所以 cos3a2= 2b2，即 3a= 2b时，等号成立.C的最小值为6“答案 A14. (2018 安徽江南十校联考nn)已知数列an满足an+1+an= (n+1) cos-(n2,n N+),S 是数列an的前n项和，若1 1S2 017+哙1 010，且吨则节m勺最小值为（）A.2B. 2C.2 2D.2+2解析 由an