微分几何试题库

1、微分几何一、判断题1、两个向量函数之和的极限等于极限的和（ V）2、二阶微分方程 A（ u, v） du2 2 B（u, v）dudv B（u,v）dv20总表示曲面上两族曲线 . （ ）uuur uuur3、若r（t）和s（t）均在a,b连续，贝U他们的和也在该区间连续（ V ）uuru4、 向量函数s（t）具有固定长的充要条件是对于t的每一个值，uuur uurus（t）的微商与s（t）平行（X ）5、等距变换一定是保角变换 .（）6、 连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一 定是最短的.（）7、 常向量的微商不等于零（X ）8、螺旋线 x=cost,y=sint,z=t 在点（ 1， 0

2、， 0）的切线为 X=Y=Z （ X ）uuur9、对于曲线s=s（t）上一点（t=to），若其微商是零，则这一点为曲线的正常点 （X）10、 曲线上的正常点的切向量是存在的（V ）11、 曲线的法面垂直于过切点的切线（V ）12、单位切向量的模是 1（ V ）13、 每一个保角变换一定是等距变换（ X ）14、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定 .（）15、坐标曲线网是正交网的充要条件是 F 0,这里F是第一基本量.（）二、填空题16、曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线17、螺旋线 x=2cost,y=2sint,z=2t在点(1, 0, 0)的法平面是y+z=0.“b18设给出c1类曲线

3、：r r(t),a tb.则其弧长可表示为a r (t) dt19、已知3.3cos x,sin x,cos 2x, 0 x则 r 丄 3cos x,3sin x, 4，25rsin x,cos x,0，4cos x, 4sin x,53，25sin 2x 25sin2x20、曲面的在曲线，如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向，则称为渐进曲线。21、旋转面r= (t)cos , (t)sin , (t),他的坐标网是否为正交的,22、过点平行于法方向的直线叫做曲面在该点的法线线.23、任何两个向量p,q的数量积p q pqcos(pq)24、 保持曲面上任意曲线的长度不便的变称为等距(保长)

4、变换_.25、 圆柱螺线的曲率和挠率都是常数数(填“常数”或“非常数”).26若曲线(c)用自然参数表示r r(t),则曲线(c)在P(s。)点的密切平面的方程是27. 曲线的基本三棱形由三个基本向量和密切平面、法平面、从切平面28. 杜邦指标线的方程为Lx2 2Mxy Ny2129. 已知曲面r u cosv, usi nv,6v，u 0， 0 v，则它的第一基本形式212为du2 (u2 36)dv2 ，第二基本形式为r-dudv，高斯曲率u 36K 沁7，平均曲率H亠，点(1A0)处沿方向du:dv 2的法曲率孟后，点 (1,0,0)处的两个主曲率分别为6 637,3730、( Coh

5、n-Voeeen定理)两个卵形面之间如果存在一个保长映射，则这个映 射一定是R3中的合同或对称。31、球面上正规闭曲线的全挠率等于零。32、个曲面为可展曲面的充分必要条件为此曲面为单参数平面族的包络三、综合题33. 求曲线x tsint,y tcost,z ier在原点的密切平面，法平面，切线方程。解：r tsin t,tcost,tet,在原点处t 0在原点处切平面的方程为法平面的方程为：即Y Z 0切线方程为34、求曲面z x3y3的渐近曲线。解设 r u,v, u3 v3r r则L 1,0,3u2 ,L 0,1,3v2, n4J=4 3u2,3v2,1|ru rv| V9u4 9v41r

6、Uu0,0,6 u , L0, rw0,0,6vn ruu6uM.9u4 9v4 1 6v.9u4 9v41因渐近曲线的微分方程为即 udu2 vdv2 或 .udu -vdv33渐近曲线为u2/ G或_3(u)135求双曲抛物面r a(u v),b(u v),2uv的第一基本形式解：r a(u v),b(u v),2uv,5 a,b,2v, rv a, b,2u.22222E ru ru a b 4v , F ru rv a b4uv,36.计算球面r (Rcos cos , Rcos sin , Rs in )的第二基本形式 解：由此得到=cos cos , cos sin ,sin ,又

7、由于所以因而得到37.如果曲面的第一基本形式 ds22dv2 2 ,计算第二类克力斯托费尔符(u v c)号.解:因为所以所以1F0,G12 2 ,v c)(u22 vc)21Ev2v2Gu2u122E2 u2 , v c122G2 u2v c1Gu2u2Gv2v222E2 u2v c，222G2 u2v cv(du2dv2)， vE (738、已知曲面的第一基本形式为I0，求坐标曲线的测地曲率。解 E G v，F 0，Gu0，Ev1u-线的测地曲率guE.1 _2E，G 2v . vV-线的测地曲率g -G 0gv 2GVE39、问曲面上曲线 的切向量沿曲线 本身平行移动的充要条件是曲面上的

8、曲线 是测地线吗？为什么？答：曲面上曲线 的切向量沿曲线 本身平行移动的充要条件是曲面上的曲线是测地线事实上，设:ui ui(s) (i 1,2)，则的切向量为r r -du r2-du-ds ds记a1du2，a dsdu2ds，Da1 da11 i. jija dui,j，Da2 da22aiduji,j则曲线的切向量r沿平行移动r r D0Da10, Da20为测地线40. 求证在正螺面上有一族渐近线是直线，另一族是螺旋线.解:因为 r ucosv,us in v, bv,由于L N 0,所以，正螺面的曲纹坐标网是渐进网，则一族渐近线是 这是螺旋线，另一族渐近线是这是直线.41、设空间两

9、条曲线 和C的曲率处处不为零，若曲线 和C可以建立 对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线 和C在对应点的切线夹固定角证设:r(s)，-rr:rr(s)，则由r rrr/ 知从而rr0 r r 0d(r r)r rds r r小0dsdsrrconstant，即.rcos：C这表明曲线和C在对应点的切线夹固定角42、证明r(t)具有固定方向的充要条件是证明必要性 设r(t)(t)e(e为常单位向量)，则所以r(t) r (t)0充分性：r(t) (t)e(t) (e(t)为单位向量函数)，则r (t)(t)e(t)(t)e(t),因为r(t) 0,于是(t)0,当r(t) r (t)0 ,

10、从而有即e(t)/e(t),因为e(t) e(t)(根据e(t)1),因此e(t) 0即e(t)为常向量，所以有固定方向43、给出曲面上一条曲率线，设 上每一点处的副法向量和曲面在该点的rr(u,v)，法向量成定角求证 是一条平面曲线.:u u(s),v v(s)，其中s是的自然参数，记r ,n;，贝U r n cos ，两边求导,由 为曲率线知dn/dr，即迎匕d s d s得r r nr d n rdsr0，,r,rrr rr d nr d r因此nrnr0d sd s若 0，则为平面曲线；r rrr若n0，则因为曲面上的一条曲率线，故dn nd：.而r rr rr44、求圆柱螺线R (t

11、)n 0，所以dn 0,即n为常向量.于是为平面曲线.aCOst，asint，bt在t 3处的切线方程。r(t) a cost, a si nt,bt, r (t) a sin t, a cost, b,3 br3 X巧t 时，有r ( ) 呼记心.3322所以切线的方程为如果用坐标表示，则得切线方程为即45、求双曲螺线r acosht,asi nht,at从t=0起计算的弧长。小 r acosht, as in h t,at,解：r as in ht, a cosht, a从t=0起计算的弧长为,a2 sinh21 a2 cosh21 adtt=01)_dt:cosh21 coshtdt2a

12、s in ht.46、求球面 r Rcos cos , Rcos sin , Rs in 的第一基本形式。r R cos cos , Rcos sin , Rs in ,可得出解：由 rRcossin , Rcoscos,0,rRsincos , Rsinsin, Rcos,由此得到曲面的第一类基本量因而47、曲面上一点(非脐点)的主曲率是曲面在点所有方向在法曲率中的最大值和最小值。证明 设心k2(如果心 K2,可以交换坐标u和v),由欧拉公式知于是因此同样又可以得到由此即这就是说，主曲率k2,k!是kn法曲率的最大值和最小值。48、 曲面的第一基本形式为I E (u )du 2 G (u )

13、dv 2。求证：（1） u-曲线是测地线；（2）v-曲线是测地线，当且仅当Gu（u）0证明：u曲线的方程为dv 0由得到所以代入刘维尔公式得因此得到u曲线是测地线。（2）若u曲线为测地线，由得0,则有2 ds1 lnG .0 0 0 :sin ，WE u即49、R3中全体合同变换构成一个群，称为空间合同变换群。证明：因为（1）空间两个合同变换的组合还是一个空间合同变换；（2）空间三个合同变换的组合满足合里律；（3）恒同变换I : x Xi（i 1,2,3）与空间任何合同变换T的组合I T T I T,因此I对于空间合同变换的组合来说是单位元素；（4）空间任何合同变换一定有逆变换，而且这个逆变换

14、还是空间合同变换。50、沿曲线面上一条曲线平行移动时，保持向量的内积不变。证明：沿曲线（C）给出两个平行的向量场，在曲面上取正交坐标网（u1,u2,则）所以51、 设曲线（C）:r r t是具有周期的闭的正规平面曲线，如果把参数换成 自然参数，则它的周期是L r/t |dt, L的闭曲线的周长.0 I证明s t因为r t所以我们得到s t所以有r s Lt /r t dt0/r t dt0t /L r t dtot /r t dt,r st r s .I正交.52、对于空间简单的、正规闭曲线，至少存在一条切线与给定的方向证明 取I为坐标系的z轴方向.设曲线C的自然参数表示是因而单位切向量为a s xs,ys,zs根据微积分中值定理，存在s0。丄，使得zL zOL