百分数知识点整理和单位一巧用

1、数学中单位1”的巧用笔者在几年小学毕业班数学教学实践中，深刻认识到：分数、百 分数、工程问题，是小学生最难理解和难于掌握的内容，而这三种内 容的应用题又是小学生更难的，而又必须掌握的知识之一。而单位“1 好比是解答这难题的一把金钥匙，利用得当可帮助学生理解题意、掌 握解题思路、发展思维，提高学生解题能力和技巧，可起到事半功倍 的作用。因此，教师在教学中引导学生掌握单位 “1 的”运用方法很有 必要。首先要让学生认清单位“1， ”它不同于自然数中的“1， ”它可表示 数字“1，”更重要的是它在分数、百分数、比类 ,工程问题应用题中表 示“一个单位、一个整体”，这在教学中就叫单位“1 或”“整体

2、1”。故单 位“1 可”表示“一个总量、一个部分、一项工程的总量、一批物件 ”等。所有单位“1 的”量叫标准量，与它相比的叫比较量，在解答应用题时， 如单位“1 的”量已知，就用单位“1 的”量乘以所求量对应的分率；如求 单位“1 的”量，就用已知量除以已知量的对应分率。由于用单位 “1 计” 算方法固定，故只要选好单位“1，”就可知计算方法，这就解决了学 生不知用什么方法计算这一难题。而选择单位 “1 一”般以“总量、不变 量、两者相比的后项、几分之几的对象”为单位“1。”下面谈谈单位“1 的运用。一、单位“1”在分数应用题中的运用这类应用题一般把总量看作单位 “1。”例(1)：一堆煤有 5

3、0 吨，用去 3/5 后，还剩多少吨？ 分析：本题应把总量一堆煤看作单位 “1，”用去的单位 “1 的” 3/ 5，剩下的占单位 “1 的”( 1-3/5)(剩下量对应分率)，由于单位 “1 量已知而用乘法，求剩下量列式为：50X(1-3/5 )。例( 2)：一堆煤，第一次运走总吨数的 1/3，第二次运走总吨数 的 1/4，还剩 65 吨没运，求这堆煤有多少吨？分析：本题与例(1)一样把总量看作单位 “ 1 ，”剩下的占单位 “1 的(1-1/3-1/4)，但这题求单位“ 1 的量而用除法，列式为：65+( 1- 1/3-1/4)=156 吨。由上两例可知：当总量变化时，单位 “ 1 在”解题

4、过程中起了关键 作用。但当总量不变， 总量里的几种部分量都变化时又怎样解呢？ 例(3) ：甲乙两粮仓，甲仓存量吨数是乙仓的 5 倍，如从甲仓运 出 628 吨粮存入乙仓，则乙仓存粮是甲的 5 倍，甲仓原有存粮多少吨？ 分析：这题应把两仓总存粮数看作单位 “ 1 ，”由于甲乙两仓存粮 数前后发生变化，原来甲占两仓总量的 5/(15)，后来甲占两仓总量的 1/(15)，则原甲比后甲多的 628吨的对应分率是( 5/6-1/6)。故总量 是 628+( 5/6-1/6)，而原甲仓存粮为628- (5/6-1/6)X5/6。因此， 当总量不变，而分量都变化，还是用单位“ 1 ，”解题可起简便思路的 作

5、用。如总量变，分量里有种变、有种不变的题呢？同样可用单位 “1 法求解例（ 4）：甲乙两人共储蓄人民币 315 元，甲储蓄的钱数占两人 总数的 7/8，甲取出一部分存款支援 “希望工程 ”后，这时甲占两人总 储量的 5/11，这时甲乙两人储蓄总量是多少元？分析：本题与上题比，仍把总量看作单位 “1，”但原来和现在 “1 表”示的量是不同的，而乙在总量变化时自身不变，故应以乙占前后单位“1 的”差，求出后来两人总量。原来甲占 7/8,乙占（1-7/8）,乙有钱 315X（1-7/8）; 后来甲占 5/11，乙占（ 1-5/11），即后来两人储蓄总量的（ 1-5/11），是 315X（1-7/8）

6、 -（1-5/11）。于是可见，总量变化，同样可用单位“ 1” 来求解,同样单位 “1 起”了解题中的桥梁作用。二、单位 “1”在“比类”应用题中的运用这类应用题,一般先弄清是 “谁比谁” ,把“后者”看作单位“ 1 ” 的量。1、 “份数比”类应用题 例（ 1） ：某工厂四月份烧煤 120 吨,比原计划节约了 1/9,四月份原计划烧煤多少吨？ 分析：本题是实际烧煤量与计划量相比,故应把计划烧煤 量看作单位 “1,”则实际烧煤量相当于计划量的 （ 11/9） ,求计 划量可列式为 120- （ 1- 1/9） = 135（吨） ，因此，单位“ 1 在份 数比类应用题中起关键作用。2、“差比”类

7、应用题也可用单位 “1 求”解例（1）:甲数是 40,乙数是 80。求甲比乙多几分之几？求 乙比甲比少几分之几？ 这类应用题可用公式 “相差量-标准量”,但上题、问的标准量发生变化，而计算结果不同。（80 - 40）0= 1/2;（80 40）泊 0= 1。由上可知，单位“ 1 在 差比”类分数 应用题解答中起了关键性的作用。3、 “倍比”类分数应用题同样可用单位 “1 求”解例（ 1 ）：某校 54 人参加奥林匹克学校数学班学习，非录取学生 人数比录取学生数的 5/2 倍还多 12 人，问这所学校有几个被录取？分析： 本题应把被录取人数看作单位 “1， ”如非录取学生人数减 少 12人，则非

8、录取人数刚好是录取人数的 5/2 倍，则总人数少 12 人 后的人数对应的分率是 15/2,求录取学生人数列式为：（54-（1 5/2）。这类应用题关键是把 “比类”转换成 “一量是另一量的倍数 ”，再 利用单位 “1求”解。因此，单位 “1 在”“倍比”类应用题解答中起了简便 思路和计算过程的关键作用。三、 单位 “1”在百分数应用题中的运用 单位“1 在”百分数就用题与分数应用题中方法一样。因为把百分数转换成分数，就成了分数应用题。四、 单位 “1”在“工程问题 ”中的运用 分数工程应用题同整数工程问题一样，都可以工作总量作单位“ 1。”工作总量可以是 “一段路，一件工程，一块地，一批物件

9、 ”等。例（1） ：一段公路，甲队单独修要 12 天，乙队单独修要 15 天。 甲队先单独修 3 天后，再两队合修要几天？ 分析：本题应把这段 路工作总看作单位 “ 1 ，”甲队每天完成单位 “1 的” 1/12，乙每天完成单 位“ 1的 1/15。甲先修 3 天，则已修 1/12 為，这时剩下这段路的 1-1/ 12X3。两队合修一天可完成这段路的（1/121/15），合修天数为：（1-1/12 旳 r 1/121/15）= 5 （天），解这题时，把这段路看作单位“ 1起了关键作用。 如用整数工程问题求解， 由于不知工作总量而不能求 解。例（2） ：有大小两只木船，大船可以载重 6.3 吨，

10、小船的载 重量是大船的 2/7，大船 8 次运完的货物，小船几次才能运完？本题用整数、小数应用题方法解可列式为： 6.3 為 r 6.3 2/7） = 28（次）。如用单位 “ 1 法”求解，则把大船 8 次运的货物看作单位 “ 1， ”大船每次运单位“ 1 的 1/8,小船每次运单位“ 1 的 1/8 2/7，故小船运 完这批货的次数为：1 + （ 1/8 2/7）= 28 （次）。当以大船每次载重 量看作单位 “1 时”，则这批货物总量有 8 个单位“1。”小船每次载重量 是单位“1 的”2/7， 求小船运的次数就是 8 里面有多少个 2/7， 列式为：8+2/7=28（次）。由上可知，用

11、单位 “ 1 的”方法求解比整数、小数法 简便些。由上面的论证可知，单位 “1 在”小学分数、百分数、工 程问题的应用题解答过程中，起了既简便运算方法、过程，又便于学 生掌握解题思路的关键作用。因此，教学时，教会学生熟练利用单位“ 1，”对加强学生解题能力和技巧，提高教学质量，可起事半功倍的 作用。分数、百分数应用题解题公式 分数（百分数）应用题是小学数学应用题的主要内容之一，它是整、小数倍数关 系应用题的继续和深化， 是研究数量之间份数关系的典型应用题。 分数应用题涉 及的知识面广，题目变化的形式多，解题的思路宽，既有独特的思维模式，又有 基本的解题思路。小学即将毕业阶段，如何通过分数（百分

12、数）应用题方法的复 习，让孩子们掌握一些基本解题方法， 感悟数学的基本思想， 从而达到培养初步 的逻辑思维能力和运用所学知识解决实际问题能力之目的， 笔者根据长期的教学 实践和体会，总结出以下一些典型方法，以飨读者。一、数形结合思想数形结合是研究数学问题的重要思想，画线段图能将题目中抽象的数量关 系，直观形象地表示出来，进行分析、推理和计算，从而降低解题难度。画线段 图常常与其它解题方法结合使用，可以说，它是学生弄清分数（百分数）应用题 题意、分析其数量关系的基本方法。1【例1】一桶油第一次用去-，第二次比第一次多用去20千克，还剩下225千克。原来这桶油有多少千克？分析与解1加千克剩下羞千克

13、第一次用去第二次用去11 从图中可以清楚地看出：这桶油的千克数X（1）=20+225511则这桶油的千克数为：（20+22）十（1-）=70（千克）55【例2】一堆煤，第一次用去这堆煤的20%,第二次用去290千克，这时剩下的煤比原来这堆煤的一半还多10千克，求原来这堆煤共有多少千克？20%.29呼克山千克50%剩下的煤分析与解显然，这堆煤的千克数X（1-20%50%）=290+10则这堆煤的千克数为：（290+10）-（120%50%）=1000（千克）二、对应思想量率对应是解答分数应用题的根本思想，量率对应是通过题中具体数量与抽 象分率之间的对应关系来分析问题和解决问题的思想。 （量率对应

14、常常和画线段 图结合使用，效果极佳。）【例3】缝纫机厂女职工占全厂职工人数的，比男职工少144人，缝纫20机厂共有职工多少人?分析与解13733男职工少占全厂职工人数的方-习冷，也就是144人与全厂人数的兀相对应。全厂的人数为:-44宁（1 2 2。-）=48。（人）1【例4】菜农张大伯卖一批大白菜，第一天卖出这批大白菜的丄，第二天卖32出余下的-，这时还剩下240千克大白菜未卖，这批大白菜共有多少千克?51同理400千克的对应分率为这批大白菜的（1-）,则这批大白菜的千克3数为：1400-（1- - ）=600（千克）3第一天卖出-j剩下240千克分析与解从线段图上可以清楚地看出240千克的

15、对应分率是第一天卖出（-2 *）。则第一天卖出后余下的大白菜千克数为:1-后余下的3，女职工比解题的关键是找到与具体数量144人的相对应的分率。三、转化思想转化是解决数学问题的重要手段，可以这样说，任何一个解题过程都离不开 转化。它是把某一个数学问题，通过适当的变化转化成另一个数学问题来进行思 考、求解，从而实现从繁到简、由难到易的转化。复杂的分数应用题，常常含有 几个不同的单位“1”根据题目的具体情况，将不同的单位“1”转化成统一的 单位“1”使隐蔽的数量关系明朗化。1、 从分数的意义出发，把分数变成份数进行“率”的转化【例5】男生人数是女生人数的-，男生人数是学生总人数的几分之几？5分析与

16、解男生人数是女生的3，是将女生人数看作单位“1”平均分成5份，男生是5这样的4份，学生总人数为这样的（4+5）份，求男生人数是学生总人数的几分 之几？就是求4份是（4+5）份的几分之几？/、44-（4+5）=-9【例6】兄弟两人各有人民币若干元，其中弟的钱数是兄的-，若弟给兄45元，则弟的钱数是兄的-，求兄弟两人原来各有多少元？3分析与解兄弟两人的总钱数是不变量，把它看作单位“1”原来弟的钱数占两人总钱 数的丄，后来弟的钱数占两人总钱数的，则两人的总钱数为：4+52+3分析与解244 2甲是乙的2,乙是丙的-,求甲是丙的的几分之几？就是求 -的-是多少？355 3324-（- ）=90（兀）4

17、+52+34弟原来的钱数为：90X=40（元）4+5兄原来的钱数为：90-40=50（元）2、直接运用分率计算进行“率”的转化24【例7】甲是乙的-，乙是丙的-，甲是丙的的几分之几？354 % 2=85315【例8】某工厂计划一月份生产一批零件，由于改进生产工艺，结果上半月31生产了计划的-，下半月比上半月多生产了丄，这样全月实际生产了1980个零55件，一月份计划生产多少个？分析与解11丄是以上半月的产量为“1”，下半月比上半月多生产丄，即下半月生产了55计划的4X(1 +1)=巴。则计划的(-+18)为1980个，计划生产个数为：55255253 311980-+X(1+ )=1500(个

18、)5 553、通过恒等变形，进行“率”的转化【例9】甲的-等于乙的-，甲是乙的几分之几？57分析与解由条件可得等式：甲Xf方法1：443 4等式两边同除以 得：甲X=乙乂 -557 5甲NX1825男生人数：女生人数=4:5就是男生人数是女生人数的-。5444方法2:根据比例的基本性质得：甲：乙=-:-75化简得：甲：乙=15:28即甲是乙的 。25【例10】五(2)班有学生54人，男生人数的75%和女生人数的80%都参加 了课外兴趣小组，而未参加课外兴趣小组的男、女生人数刚好相等，这个班男、 女生各有多少人?分析与解由条件可得等式：男生人数X(1-75%)=女生人数X(1-80%)女生人数：

19、54*（1+）=30（人）5男生人数：54-30=24（人）四、变中求定的解题思想分数（百分数）应用题中有许多数量前后发生变化的题型，一个数量的变化， 往往引起另一个数量的变化，但总存在着不变量。解题时要善于抓住不变量为单 位“1”问题就会迎刃而解。1、部分量不变9【例11】有两种糖放在一起，其中软糖占 ，再放入16块硬糖以后，软糖20占两种糖总数的-，求软糖有多少块？4分析与解根据题意，硬糖块数、两种糖的总块数都发生变化，但软糖块数不变，可以99 11确定软糖块数为单位“1”则原来硬糖块数是软糖块数的（1-卫）*=11倍。202 9加入16块硬糖以后，后来硬糖块数是软糖块数的（11） *丄=

20、3倍，这样164411 16块硬糖相当于软糖的3二兰倍，从而求出软糖的块数。99119916*（1） *- （1） * 一=9（块）4420202、和不变1【例12】小明看一本课外读物，读了几天后，已读的页数是剩下页数的-，81后来他又读了20页，这时已读的页数是剩下页数的丄，这本课外读物共有多少6页？分析与解根据题意，已读页数和未读页数都发生了变化，但这本书的总页数不变，可1把总页数看作单位“1”原来已读页数占总页数的，又读了20页后，这时1+81 1 1已读页数占总页数的，这20页占这本书总页数的（ -L），则这本1+61+6 1+8课外读物的页数为：11 120（）=630（页）1+6

21、1+8【例13】兄弟三人合买一台彩电，老大出的钱是其他两人出钱总数的-，老21二出的钱是其他两人出钱总数的-，老三比老二多出400元。问这台彩电多少3钱？分析与解1 1从字面上看-和-的单位“1”都是其他两人出钱的总数，但含义是不同的，2311-是以老二和老三出钱的总数为单位“T,-是以老大和老三出钱的总数为单23位“1”。但三人出钱的总数（彩电价格）是不变的，把它确定为单位“1”，老大1 1出的钱数相当于彩电价格的 ，老二出的钱相当于彩电价格的 ，老三出1+21+31155的钱数相当于彩电价格的1 丄一丄=卫，400元相当于彩电价格的-1+21+3 12121=1。这台彩电的价格为：13 6

22、1 1 1400*（1）=2400（兀）1+21+31+3五、假设思想假设思想是一种重要的数学思想，常用有推测性假设法和冲突式假设法。1、推测性假设法推测性假设法是通过假定，再按照题的条件进行推理，然后调整设定内容，从而得到正确答案。3【例14】一条公路修了1000米后，剩下部分比全长的-少200米，这条公路5全长多少米？分析与解由题意知，假设少修200米，也就是修1000- 200=800 （米），那么剩下部分33正好是全长的3，因此已修的800米占全长的（13），所以这条公路全长为：553（1000- 200）*（1 ）=2000（米）512、冲突式假设法冲突式假设法是解应用题中常用的一种

23、思维方法。通过对某种量的大胆假 设，再依照已知条件进行推算，根据数量上出现的矛盾冲突，进行比较，作适当 调整，从而找到正确答案的方法。11【例15】甲、乙两班共有96人，选出甲班人数的和乙班人数的-，组成4522人的数学兴趣小组，问甲、乙两班原来各有多少人？分析与解11假设两班都选出丄，则选出96X丄=24（人），假设比实际多选出24-22=244（人）。调整：这是因为把选出乙班人数的1假设为选出1,多算了 -丄=丄，由5445 20此可先算出乙班原来的人数。11 1（96X 22）*（ ）=40（人）44 5甲班原来的人数：9640=56（人）【例16】某书店出售一种挂历，每售出1本可得18元利润。售出一部分后 每本减价10元出售，全部售完。已知减价出售的挂历本数是减价前出售挂历本 数的-。书店售完这种挂历共获利润2870元。书店共售出这种挂历多少本？3分析与解2根据减价出