勾股定理培优题

1、勾股定理、知识要点1、勾股定理勾股定理在西方又被称为毕达哥拉斯定理，它有着悠久的历史，蕴含着丰富的文化价值，勾股定理是数学史上 的一个伟大的定理，在现实生活中有着广泛的应用，被人誉为“千古第一定理”.勾股定理反映了直角三角形（三边分别为a、b、c,其中c为斜边）的三边关系，即a2+b2=c2，它的变形式为c2- a2=b2 或 c2- b2=a2.勾股定理是平面几何中最重要的几何定理之一，在几何图形的计算和论证方面，有着重要的应用，它沟通了形 与数，将几何论证转化为代数计算，是一种重要的数学方法.2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，则这个三角形是以 c为斜边的

2、直角三角形.勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法，这种方法与前面学过的一些判定方法不同，它 是通过代数运算“算”出来的，实际上利用计算证明几何问题在几何里也是很重要的，这是里体现了数学中的重要 思想一一数形结合思想，突破了利用角与角之间的转化计算直角的方法，建立了通过求边与边的关系来判断直角的 新方法，它将数形之间的联系体现得淋漓尽致 .因此也有人称勾股定理的逆定理为“数形结合的第一定理”、基本知识过关测试1.如果直角三角形的两边为3, 4，则第三边a的值是2.如图，图形A是以直角三角形直角边a为直径的半圆，阴影SA=3. 如图，有一个圆柱的高等于 12cm,底面半径3cm,

3、 一只蚂蚁要从下底面上B点处爬至上底与 B点相对的A点处,所需爬行的最短路程是.4.如图.在 ABC 中，CD 丄 AB 于 D, AB=5, CD=273 , / BCD=30 ° ，贝U AC= 5.作长为运，73，苗的线段.6.在下列各组数中5, 12 , 13 : 7, 24, 25; 32, 42, 52;® 3a, 4a, 5a: a2+1, a2-1, 2a(a> 1) ; ®m2-n2, 2mn, m2+n2(m> n> 0)可作直角三角形三边长的有 组.7.如图，四边形 ABCD中，AB=1, BC=2，CD=2, AD=3,

4、AB丄BC,则四边形 ABCD的面积是B第2题图第3题图第4题图第7题图8.如图，在正方形 ABCD中，F为DC中点，E为BC上一点，且 EC = BC，试判断 AEF4三、综合.提高.创新【例11 (1)在三角形纸片 ABC中，/ C=90°,/ A=30°, AC=3，折叠该纸片，使点 A与点B重合，折痕与AB、AC分别相交于点 D和点E (如图)，折痕DE的长是多少?(2)如图，在矩形 ABCD中，AB=8，AD=10,按如图所示折叠，使点D落在BC上的点E处，求折痕 AF的长.(3)如图，正三角形 ABC的边长为2，M是AB边上的中点，P是BC边上任意一点，FA+P

5、M的最大值和最小值分别记作S和T,求S2-?2的值.【练】如图，四边形 ABCD是长方形，把 ACD沿AC折叠到 ACD，AD 与BC交于E,若AD=4, DC=3,求BE.【例 21( 1)如图， ABC 中，/ C=60°, AB=70, AC=30,求 BC 的长.(2)如图，在四边形 ABCD中，AB=2, CD=1 , / A=60°, / B=/ D=90°,求四边形 ABCD的面积.【练】如图， ABC 中，A=150°, AB=2, BC=Ji3，求 AC 的长.【例 3】(1)如图， ABC 中，AB=AC=20, BC=32, D 为

6、 BC 上一点,AD丄AB，求 CD.C(2)如图，在 Rt ABC中，/ C=90°, D、E分别是BC、AC中点,AD=5, BE=2j10，求 AB.【例 4】如图， ABC 中，/ ACB=90°, CD 丄AB 于 D，设 AC=b, BC=a, AB=c, CD=h，求证:(1)a+bv c+h ；以a+b, h和c+h为边的三角形是直角三角形【例5】(1)如图，ABCD为矩形，P为矩形ABCD所在平面上一点，求证：PA2- PB2=PD2 -PC2.P(2)锐角ABC 中，AD 丄 BC 于 D，若/ B=2/ C,求证：AC 2=AB 2+AB - BC.C

7、变式：如图,AM 是 ABC 的 BC 边上的中线，求证： AB 2+AC 2=2( AM 2+BM 2).(3)如图， ABC中，AB=AC, P为线段BC上一动点，试猜想 AB 2, AP2, PB, PC有何关系，并加以证明变式：若点P在BC的延长线上，如图，（3）中结论是否仍然成立？并证明P点位置变化时，s与2CP2的大小（4）在等腰RtA ABC的斜边AB所在的直线上取点 P并设s =AP2+BP2,试探求 关系，并证明.变式：若点P在BA的延长线上，如图中，（4）中结论是否仍然成立？并证明B【例6】（1）如图，F，且 BE2+FC2=EF2,ABC中，D为BC边上的中点，以 D为顶

8、点作/ EDF=90°, DE、DF分别交 AB、AC于E、 求证：/ BAC=90° .（2）在 RtA ABC 中,的关系，并证明./ BAC=90°, AB=AC, E, F 分别是 BC 上两点，若/ EAF=45°，试推断 BE, CF, EF 之间变式一：将（2）中 AEF旋转至如图所示，上述结论是否仍然成立？试证明变式二：如图， AEF 中/ EAF=45°, AG 丄 EF 于 G,且 GF=2, GE=3，求 Sa aef.【例 71 (1 )在 ABC 中，/ ACB=90°, AC=BC, P 为 ABC 内一点

9、，且 FA=3, PB=1 ,PC=2,求/ BPC的度数.(2)如图，在四边形 ABCD 中，/ ABC=30°,/ ADC=60° , AD=CD，求证 BD2=AB2+BC2.【例8】在等腰 ABC中，AB=AC，边AB绕点A逆时针旋转角度 m,得到线段AD.(1)如图1,若/ BAC=30°, 30°v mv 80°，连接 BD，请用含 m的式子表示/ DBC;D(2)如图2,若/ BAC=90°, 0°v mv 360 °,射线AD与直线BC相交于点E，是否存在旋转角度 m,使 竺-J2 ,BE &quo

10、t;若存在，求出所有符合条件的 m的值；若不存在，请说明理由【例9】(1)已知点P在一、三象限的角平分线上，且点P到点A ( 3, 6)的距离为PA=15，求点P的坐标;(2)已知直角坐标平面内的 ABC三个顶点的坐标分别为 A(-1，4)，B(-4，-2)，C(2，-2)，试判断 ABC 的形状；(3)求代数式dX +1 + J(3 -X)+4的最小值;(4)已知a> 0, b> 0，求以Ja2 + b2 , Ja+b2 , J4a2+ b2为三边长的三角形的面积自我归纳:四、课后练习1.如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西30°，货轮以每小时20海

11、里的速度航行，1小时后到达B处，测得灯塔 M在北偏西45°，问该货轮到达灯塔正东方向D处时，货轮与灯塔 M的距离是多少？DBA2.在 ABC 中，A=30°, B=45°, BC=10cm，求 AB, AC 及 ABC 的面积.3. (1)如图，把长方形沿 ABCD对角线折叠，重合部分为 EBD.1)求证和： EBD为等腰三角形;2）若 AB=2, BC=8，求 AE.DC(2)如图，折叠长方形 ABCD的一边 AD，使点D落在BC边上，已知 AB=8cm, CE=4cm,求AD.4.如图， ABC是等腰三角形，/ BAC=90°, AB=AC,.是BC

12、上的两点，且/ DAE=45°,若BD=6, EC=8，求 DE的长.CDE 丄 DF.5.如图，在等腰三角形中，AB=AC, D是斜边BC的中点，E、F分别为AB, AC边上的点，且(1)求证：BE2+CF2=EF2;(2)若 BE=12, CF=5，试求 DEF 的面积.C6.如图，等腰 Rt ABC 中，/ A=90°, P 为 ABC 内一点，PA=1 , PB=3, PC=J7，求/ CPA.7. (1)如图1，已知点P是矩形ABCD内一点，求证：PA2+PC2=PB2+PD2C(2)如果点P移动到矩形的一边或顶点时，如图2，( 1)中结论仍成立;DC如果点P移动到矩形ABCD的外部时，如图3, (1)中结论仍成立.请在以上两个结论中任选一个并给出证明DC归纳结论:8如图， ABC中，AD是BC边的中点，AE是BC边上的高，求证：AB2- AC2=2BC - DE.9.求代数式Jx2 +1 + (9-x)2+4 的最小值.10.试判断,11.已知a,三边长分别为2n2+2n,