《材料力学》压杆稳定习题解

1、第九章压杆稳定习题解习题9-1在§ 9-2中已对两端球形铰支的等截面细长压杆，按图a所示坐标系及挠度曲线兀2ei形状，导出了临界应力公式Pc亍。试分析当分别取图bed所示坐标系及挠曲线形状时，压杆在Fcr作用下的挠曲线微分方程是否与图a情况下的相同,由此所得 Fcr公式又3 / 17是否相同。Sy（町(b)解：挠曲线微分方程与坐标系的XVV（C）(d)y轴正向规定有关，与挠曲线的位置无关。因为（b）图与（a）图具有相同的坐标系，所以它们的挠曲线微分方程相同，都是Elw =-M（x）°（ c）、（d）的坐标系相同，它们具有相同的挠曲线微分方程:Elw =M（x），显然，这微分

2、方程与（a）的微分方程不同。个人收集整理 勿做商业用途兀2eiPer = l。临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关，与坐标系的选取、挠曲线的位置等因素无关。因此，以上四种情形的临界力具有相同的公式，即:个人收集整理勿做商业用途习题9-2图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图 所示杆在中间支承处不能转动）？个人收集整理勿做商业用途-Ji'<1(a)<b)tl6(c)(d)兀2ei2解：压杆能承受的临界压力为：FCr度系数。个人收集整理勿做商业用途（a）H= 1x5 = 5m（b）H= 0.7 X 7 = 4.9m（c）H= 0.5x9

3、= 4.5m（d）H=2 X 2 = 4m（e）= 1x8= 8m（f）H= 0.7x5= 3.5m（下段）；H = 0.5X5故图e所示杆Fcr最小，图f所示杆F cr 最大。-2.5m (上段)2。由这公式可知，对于材料和截面相同的压杆，（比1）2它们能承受的压力与原压相的相当长度円的平方成反比，其中，4为与约束情况有关的长地基上，第二根杆（图b ）的基础放在刚性地基上。试问两杆的临界力是否均为"（2.1）2习题9-3图a,b所示的两细长杆均与基础刚性连接，但第一根杆（图a）的基础放在弹性兀2Elmin个人收集整理勿做商业用途?为什么？并由此判断压杆长因数卩是否可能大于2。I的压

4、杆是否偏于安全？个人收集整螺旋千斤顶（图C）的底座对丝杆（起顶杆）的稳定性有无影响？校核丝杆稳定性时, 把它看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、长度为 理勿做商业用途因为（a）的下支座不同于（b）的下支座，所以它们的4=2，其临界(b)解：临界力与压杆两端的支承情况有关。临界力计算公式不同。（b）为一端固定，一端自由的情况，它的长度因素兀 2EI -力为：巳=?。但是，（a）为一端弹簧支座，一端自由的情况，它的长度因素（2.I）兀2 EI i4 H2，因此，不能用FCr =来计算临界力。个人收集整理勿做商业用途（2.I）且无侧向位移，则:为了考察(a)情况下的临界力，我们不妨设下支座(B)

5、的转动刚度CM=20旦9 l2 。5 / 17Elw =-M(X)= Fcr(6 -W)令E-2，得:w + k2w = k26微分方程的通解为:W = Asin kx + B coskx + 6w = Ak coskx Bk sin kx由边界条件：X=O，w=0, w M_Fcr解得:Ck6 =-Fsi nklCk整理后得到稳定方程:kltank、EI/l=20用试算法得:kl =1.496故得到压杆的临界力:Fcr = (1.496)2 E沢2EI(2.1l)因此，长度因素 卩可以大于2。这与弹性支座的转动刚度 C有关，C越小，则4值越大。 当Ct0时，处。螺旋千斤顶的底座与地面不是刚性

6、连接，即不是固定的。它们之间是靠摩擦力来维持相 对的静止。当轴向压力不是很大，或地面较滑时，底座与地面之间有相对滑动，此时，不能 看作固定端；当轴向压力很大，或地面很粗糙时，底座与地面之间无相对滑动，此时，可以 看作是固定端。因此，校核丝杆稳定性时，把它看作上端自由，下端为具有一定转动刚度的 弹性支座较合适。这种情况，4 > 2，算出来的临界力比"把它看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、长度为I的压杆”算出来的临界力要小。譬如，设转动刚度C = M = 20旦®l则：巳個端Pcr弹簧看作下端固定个人收集整理勿做商业用途二辛=1.1025，Pcr固端=1.1025P

7、cr,弹簧。（固定于底座上）、上端自由、长度为I的压杆不是偏于安全， 而是偏于危险。因此，校核丝杆稳定性时，把它习题9-4试推导两端固定、弯曲刚度为EI，长度为I的等截面中心受压直杆的临界应力Pcr的欧拉公式。解:设压杆向右弯曲。压杆处于临界状态时，两端的竖向反力为Per，水平反力为0,约束反力偶矩两端相等，用M e表示,下标e表示端部end的意思。若取下截离体为研究对象,转向为逆转。 个人收集整理 勿做商业用途M(X)=Pcrv(X)-MeElv=M(X)= Me-Pcrv(X)则Me的Elv+ Pcrv(X)=Mev +eiPcr v(xM，令 kEl=虫，则ElJ PT" El

8、13 / 17v"+k2v=k2MPcr上述微分方程的通解为:v = Asin kx + B coskx +皿Pcrv =AkcoskxBksin kx边界条件： x=0 ； v=0 : 0=As in0 + Bcos0+Me ； B = -Me。PerPer x=0 v=0 : 0 = Akcos0- Bksin0 ； A = 0。把A、B的值代入（a）得:v =叫（1 -coskx） vPcr MksinkxPcr边界条件：=L ； V =0 :0 =2（1 coskL），FCr1 coskL = 0以上两式均要求:=0 V =0 :0 = k sin kLPcrsin kL =

9、 0kL = 2n兀，（n = 0,1,3,=虫，因此:EI2兀2其最小解是：kL =2兀，或k =。故有：k =2L（0.5L）2PcV。习题9-5长5m的10号工字钢，在温度为00C时安装在两个固定支座之间，这时杆不受力。已知钢的线膨胀系数 W =125x10r0C），E=210G Pa。试问当温度升高至多少 度时，杆将丧失稳定性？个人收集整理 勿做商业用途b二尿丄二A习题9-6两根直径为d的立柱，上、下端分别与强劲的顶、底块刚性连接，如图所示。 试根据杆端的约束条件， 分析在总压力F作用下，立柱可能产生的几种失稳形态下的挠曲线Per的形状，分别写出对应的总压力F之临界值的算式(按细长杆考

10、虑)，确定最小临界力算式。个人收集整理勿做商业用途解：在总压力F作用下，立柱微弯时可能有下列三种情况:(a)每根立柱作为两端固定的压杆分别失稳:FS!F _2严咖 (0歼0 125卩(b )两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在自身平面内失稳失稳时整体在面内弯曲，则 1，2两杆组成一组合截面。(£2+4/)(C )两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在面外失稳71 x2 X3 n j4F 二 J 加邮)一 尸"12SP3匚.4故面外失稳时Pcr最小：PCr =兀Ed2。12 8l习题9-7图示结构ABCD由三根直径均为d的圆截面钢杆组成， 在B点铰支，而在A点和 丄

11、=10兀。若结构由于杆件在平面dD处的荷载F的临界值。个人收集整理C点固定，D为铰接点,力，试确定作用于结点3=1,杆DA及 DC为一端铰支一端固定，选取“二0.7。此结构为超静定结构， 当杆DB失稳时结构仍能继续承载，直到杆 AD及 也失稳时整个结构才丧失承载能力， 故个人收集整理 做商业用途解：杆DB为两端铰支DC勿ABCD内弹性失稳而丧失承载能臨二用叩）| + 2如2严$ 30勿做商业用途FDA3浪士cos 30"尸2x1.535/71 羽 3.65 Tt= 5.7WxlO"'=36.024 El2习题9-8图示铰接杆系 ABC由两根具有相同截面和同样材料的细

12、长杆所组成。若由于杆件在平面ABC内失稳而引起毁坏，试确定荷载F为最大时的e角（假设0吒0 < -）。个人2收集整理勿做商业用途解：要使设计合理，必使 AB杆与BC杆同时失稳,即:Per, AB兀2EI"Iab2=F cos日Per, BC兀2EI"Ibc2F列吃=tanTF COS0叱)2326 =arcta n( cotP)习题9-9下端固定、示，并符合钢结构设计规范中实腹式强度许用应力cr=170MPa ,试求压杆的许可荷载。 业用途上端铰支、长 I =4m的压杆，由两根10号槽钢焊接而成，如图所 b类截面中心受压杆的要求。已知杆的材料为 Q235钢,个人收集整

13、理勿做商解：查型钢表得:4 = 2x198.3x10-® =396,6xl0-®m*厶二 2x(25.6x10- + 12.74x10x32,8 xl0)= 325.3x1001 = 4d= 0 301x170= 5L2MPa【只"0L = 2x12.74x10"x51.2x10*5 二 130x10 N = 130kN习题9-10如果杆分别由下列材料制成:(1 )比例极限cTp = 220MPa ,弹性模量E =190GPa的钢;(2) CTP =490MPa，E =215GPa，含镍 3.5%的镍钢;(3) CT P =20MPa，E=11G Pa

14、的松木。试求可用欧拉公式计算临界力的压杆的最小柔度。解：(1)厝=酥-3习题9-11两端铰支、强度等级为 TC13的木柱，截面为150mm< 150mm勺正方形，长度 I =3.5m，强度许用应力6 =10MPa。试求木柱的许可荷载。 个人收集整理勿做商业用途解:由公式（9-12a ）:单=:=0.3935' = <2jjl=0393xlOxlO®xl5010=8S.4xlON = 83.4kNCT =10MPa。BC杆的稳定性。 个人收集整理 勿做商业用途习题9-12图示结构由钢曲杆 AB和强度等级为TC13的木杆BC组成。已知结构所有的连 接均为铰连接，在 B

15、点处承受竖直荷载 F =1.3kN，木材的强度许用应力 试校核解：把BC杆切断，代之以轴力 N,则Ma =01.3“ 一NcosCxi-NsinC" = 01.3N =sin C +cosCsin C = f 0.8cosC = 二=0622十1.521.3N=E"929(kN)bh31花咒亦40133334)匸尹=11m)V A V 40 X 403k|1X2.5X103k = =216.591i 11.547由公式（9 12b）得:-2800 =280597A216.52bst =®b =0.0597咒10 =0.597M Pa一929N 2=0.581M P

16、aA 40 X 40mm因为b <st，所以压杆BC稳定。习题9-13 一支柱由4根80mmx80mmx 6mm的角钢组成（如图）， 并符合钢结构设计 规范中实腹式b类截面中心受压杆的要求。支柱的两端为铰支，柱长I =6m，压力为解：Fg-.44,4x9397x10450kN。若材料为Q235钢，强度许用应力b =170MPa，试求支柱横截面边长 a的尺寸。 个人收集整理勿做商业用途(查表：血=9?97xlZni2, =5735xl0m450 X1" 二 119.* L Pa 二 119.7MPa£_ = 1112 = 0.704B 170，查表得：2二7乃lAe=

17、4卯2 = 4x9.397 xlOx 0.0774' = 0.2253x10 卅7二4仏+如I - 2L9)TOJG-厶)x12J(-57,35)x10 xlO*A =翻.9+l± = 2辺9+)=章 mmb 材料为Q235钢，ct =170MPa。若按两个人收集整理勿做商业用途习题9-14某桁架的受压弦杆长 4m,由缀板焊成一体，并符合钢结构设计规范中实腹式 类截面中心受压杆的要求，截面形式如图所示，端铰支考虑，试求杆所能承受的许可压力。17 / 17CL_L_kl 17 Ia!Zg沪I ?2-L125X 125 X 1010LP2 - L 135 X 135 X la解：

18、由型钢表查得 125x125x10 角钢:订=4.85xl0"m得2 =牛諾扫曲p = ?(0.572 X170 X 2X 24.37 X10 557 kN习题9-15图示结构中，BC为圆截面杆，其直径d =80mm ； AC边长a = 70mm的正方形截面杆。已知该结构的约束情况为A端固定，B、C为球形铰。两杆的材料均为 Q235钢，弹性模量E =210G Pa，可各自独立发生弯曲互不影响。若结构的稳定安全系数nst =2.5，试求所能承受的许可压力。个人收集整理勿做商业用途解：BC段为两端铰支，4 =1,nd4I =641丄 x3.14x804 =2009600(mm4)6431

19、42 X 210x 103 N / mm2 X 2009600mm420002mm2=1040227N =1040.227kNF BC nstPer10咤“2.5AB杆为一端固定，一端铰支， 卩=0.7a41."茜h70 =2000833(mm)兀2EI（叮3.心 210“03N/mm=2000833mm4 =939400.621n =939.4kN2 1 002mm2Facnst939 4=375.76 俺 376(kN)2.5故F= 376kN图示一简单托架，其撑杆 AB为圆截面木杆，强度等级为 TC15O若架上受集度0二 11 MPa ,皿 in 3"2.4=5X，2

20、£习题9-16为（7=50kN/m的均布荷载作用，ab两端为柱形铰，材料的强度许用应力 试求撑杆所需的直径 do个人收集整理勿做商业用途解：取m-m以上部分为分离体，由 2% °，有F曲= 214kN0=0.683,务= 0.683x a=7.513MPa21 / 17护二36一267X沪，d = (U9m刊。2心等化礙求出的0与所设0基本相符，故撑杆直径选用d二0.19n。习题9-17图示结构中杆 AC与CD均由Q235钢制成，C, D两处均为球铰。已知 d 二 20 mmi = 100mm 方二 180mm £ = 2OOGP3, q = 23jMPj 仇=

21、4Q0Mh；强度安全 因数n = 2.0，稳定安全因数 g = 3.Q。试确定该结构的许可荷载。 个人收集整理勿做商业用途解：（1）杆CD受压力Fcd_F-3梁BC中最大弯矩 M B2F31園丄?抡(2)梁BC中财3 2fx67 二W 需朋壯空冬235価俪X附卅=951754 95.2kN4«4x2.0(3)杆 CD(Q235钢的 心=100)左EI兀护 _tA200x1x20UW 川八了"八64 "= 15.5xlON-15.5kN（由梁力矩平衡得）故，由（2）、（ 3）可知，F =15.5kN习题9-18图示结构中，钢梁 AB及立柱CD分别由16号工字钢和连成

22、一体的两根63mm咒63mm咒5mm角钢组成，杆 CD符合钢结构设计规范中实腹式b类截面中心受压杆的要求。均布荷载集度 q =48kN /m。梁及柱的材料均为 Q235钢，b =170MPa，个人收集整理勿做商业用途E =210G Pa。试验算梁和立柱是否安全。解：（1）求多余约束力Fcd把CD杆去掉，代之以约束反力Fcd。由变形协调条件可知,2 m単川I屮川|川,Wc =AIcdWCq +WcFcD45qlAB384EIFcdIAb48EIF CD1CDEA45qlAB384IFcdIAb48IF CD1CDA查型钢表得：16号工字钢的lz=1130cm4，W 141cm32463mmX63mmx5mmL形角钢的面积：A = 6.143cm ,lz=23.17cm , i 1.94cm5 X 48kN/100cm X 4004cm4FC 4003cm348 X 1130cm4384 X 1130cm4Fcd X 200cm212