备战2019年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题67取球、比赛与闯关问题

1、专题67取球、比赛与闯关问题【热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考概率统计问题，往往以实际问题为背景，围绕比赛、娱乐“闯关”、取球等设计问题，考查概率、统计、离散型随机变量及其数字特征在实际问题中的应用考查数据处理能力以及分析问题解决 问题的能力.本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明（一）取球问题在很多随机变量的题目中，常以“取球”作为故事背景，通过对“取球”提出不同的要求，来考察不同的 模型，常见的模型及处理方式如下：1 1、 独立重复试验模型：关键词“可放回的抽取”，即下一次的取球试验与上一次的相同. .2 2、超几何分布模型：关键词“不放回的抽取”3 3、与条件概率相关

2、：此类问题通常包含一个抽球的规则，并一次次的抽取，要注意前一次的结果对后一步 抽球的影响4 4、古典概型：要注意虽然题目中会说明“相同的”小球，但是为了能使用古典概型（保证基本事件为等可能事件），通常要将“相同的”小球视为“不同的”元素，在利用排列组合知识进行分子分母的计数 5 5、 数字问题：在小球上标注数字，所涉及的问题与数字相关（奇，偶，最大，最小等），在解决此类问题时，要将数字模型转化为“怎样取球”的问题，从而转化为前几个类型进行求解（二）比赛与闯关问题1 1、常见的比赛规则（1）n局m胜制：这种规则的特点为一旦某方获得m次胜利即终止比赛. .所以若比赛提前结束，则一定在最后一次比赛中

3、某方达到m胜. .2例如：甲，乙两队举行排球比赛，比赛采取5 5 局 3 3 胜制，已知甲获胜的概率为，求甲以3:1获胜的概率:3解：本题不能认为“四局中甲赢得三局”，从而p=C32- =32，因为如果前三局连胜，则结束比赛13八3丿81而不会开始第四局，所以若比分为3:1,则第四局甲获胜，前三局的比分为2:1，所以(2丫(2 24I *1 =13丿13丿(3丿81（2）连胜制：规定某方连胜m场即终止比赛，所以若提前结束比赛， 则最后m场连胜且之前没有达到m场连胜 3例如：甲，乙两队举行比赛，比赛共有 7 7 局，若有一方连胜 3 3 局，则比赛立即终止. .已知甲获胜的概率为 -,4求甲在第

4、 5 5 局终止比赛并获胜的概率解：若第 5 5 局比赛结束，根据连胜三局终止比赛的规则，可知甲在第3,4,53,4,5 局获胜，且第二局失败（否则3若第二局获胜，则第四局就达到三连胜），第一局无论胜负不影响获胜结果 所以 1 1- -2714丿14丿256（3 3） 比分差距制：规定某方比对方多m分即终止比赛，此时首先根据比赛局数确定比分，在得分过程中要注意使两方的分差小于m（4 4） “一票否决制”：在比赛的过程中，如果在某一阶段失败，则被淘汰. .此类问题要注意若达到第m阶段, 则意味着前m-1个阶段均能通关2 2、解答此类题目的技巧：（1 1 ）善于引入变量表示事件：可用“字母 + +

5、变量角标”的形式表示事件“第几局胜利” 例如：A A 表示“第i局比赛胜利”，则A表示“第i局比赛失败”. .（2 2 ）善于使用对立事件求概率：若所求事件含情况较多，可以考虑求对立事件的概率，再用P A =1 -P A解出所求事件概率 在处理离散性随机变量分布列时，也可利用概率和为1 1 的特点，先求出包含情况较少的事件的概率，再间接求出包含情况较多的事件概率【经典例题】例 1.1. 20162016 高考北京文数】某学校运动会的立定跳远和3030 秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段F F 表为 1010 名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊学生序号1 12 23 34 45 56 6

6、7 78 89 910101.91.91.91.91.81.81.81.81.71.71.71.71.71.71.71.71.61.61.61.6立定跳远（单位：米）6 62 22 20 08 86 64 42 28 80 03030 秒跳绳（单位：次）6363a75756060636372727070a- -1 1b65658 8 人，同时进入立定跳远决赛和3030 秒跳绳决赛的有 6 6 人，则【答案】B B【解析】在这 1010 名学生中，进入立定跳远决赛的有A.2A.2 号学生进入 3030 秒跳绳决赛B.5B.5号学生进入 3030 秒跳绳决赛C.8C.8 号学生进入 3030 秒跳

7、绳决赛D.9D.9号学生进入 3030 秒跳绳决赛3试題分析：将确定成绩的恥秒跳绳成绩的按从大到小的顺寻排分别是爲6, 7, W, （1, 5并列九 4 其中，4 6, 7进了立定跳远的决黑10号没竝定跳远的决爲 故9号需进30秒跳绳比赛的前呂名， 此时确定的血秒蕊绳比赛决赛的名单为 46, % 10, 9,棒3个编号为的同学进决赛，而（1, 5）与4的成绩仅相隔|b故只能-亦4进30秒跳绳的抉赛，故选氐例 2.2.【20162016 年高考北京理数】袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半. .甲、乙、丙是三个空盒. .每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另

8、一个球放入乙盒，否则就放 入丙盒 重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）A.A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【答案】C C【解析】试题分析：若乙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个均是红球；若乙盒中放入的是黑球，则须保证抽到的两个球是一红一黑，且红球放入甲盒；若丙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个球是一红一黑：且黑球放入甲盒；若丙盒中放入的是黑球，则须保证抽到的两个球都是黑球；A A:由于抽到的两个球是红球和黑球的次数是奇数还是偶数无法确定，故无法判定乙盒和丙盒中异色球的大小关系

9、，而抽到两个红球的 次数与抽到两个黑球的次数应是相等的，故选C.C.例 3.3.【20182018 届浙江省杭州市第二中学仿真考】已知甲盒子中有个红球，个蓝球，乙盒子中有 个红球，卜 T 个蓝球（尬王三占呵，同时从甲乙两个盒子中取出 屮=4可个球进行交换，（a a）交换后，从甲盒 子中取 1 1 个球是红球的概率记为叫（b b）交换后，乙盒子中含有红球的个数记为毋込引. .则（）A A 旳 卩 2 2 月班直）BC C. . pipiD D【答案】A A【解析】分析：首先需要去分析交换后甲盒中的红球的个数，对应的事件有哪些结果，从而得到对应的概 率的大小，再者就是对随机变量的值要分清，对应的概

10、率要算对，利用公式求得其期望 详解：根据题意有，如果交换一个球, 有交换的都是红球、交换的都是蓝球、甲盒的红球换的乙盒的蓝球、甲盒的蓝球交换的乙盒的红球，红球的个数就会出现丽一1期十1三种情况；如果交换的是两个球，有红球换红球、蓝球换蓝球、一蓝一红换一蓝一红、红换蓝、蓝换红、一蓝一红换 两红、一蓝一红换亮蓝,对应的红球的个数就是 阡乙祖- l.nynl.nyn 十 UnUn 十 2|2|五种情况，所以分析可以求得 阿 E E 呵，故选A.A.点睛：该题考查的是有关随机事件的概率以及对应的期望的问题，在解题的过程中，需要对其对应的事件弄明白，对应的概率会算，以及变量的可取值会分析是多少，利用期望

11、公式求得结果例 4 4.【浙江省金华市浦江县 20182018 年高考适应性考试】袋中装有 5 5 个大小相同的球，其中有 2 2 个白球，2 2 个 黑球，1 1 个红球，现从袋中每次取出 1 1 球，去除后不放回，直到渠道有两种不同颜色的球时即终止，用LILI 表示终止取球时所需的取球次数，则随机变量 因的数字期望回是( )R121314A.A. JJ B.B.5 5C.C.5 5D.D.6 6【答案】A A【解析】分析；X的可能取倩为乳3,求出对应的概率由此能求出随机变量X的数字期望E( (X) ).详解：袋中装有5个大小相同的球，其中有2个白球2个黑球1个红球，现从裳中每次取出1球，取

12、后 不放回，直到取SI有两种不同颜色的球时即终止，用X表示终止取球时所需的取球次数，则X的可能取值为2, 3卩0 = 3)=討汕討沪討3=习一卩。=3)二話；-(JO =XZ4-|x3= ABBl变量龙的数字期望E是貴故选止例 5.5.【20172017 江苏，2323】已知一个口袋有 m m 个白球，n n 个黑球( (m,n N*,n 2),),这些球除颜色外全部相同现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,31,2,3，山，m m n n 的抽屉内，其中第 k k 次取出的球放入编号为 k k 的抽屉(k(k= =1,1, 2,32,3 川|,m|,m n).n).1

13、12 23 3.m m +n+n(1)(1)试求编号为 2 2 的抽屉内放的是黑球的概率p; ;(2)(2)随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(X)E(X)是X的数学期望，证(m(m n)(nn)(n _1)_1)(1(1)(2 2)见解析m +nCn-1解：(1)(1) 编号为 2 2 的抽屉内放的是黑球的概率p为：Cm勺(2)(2) 随机变量 X X 的概率分布为X X1 n111 k1明: :E(X)E(X)：【答【解5n +1n +2m + nP PnCncm*Cncm*Cn*cnn _!Ck AcnJmdnndCn4mjcn随机变量 X X 的期望为:1摊幺E (

14、-!)!(*-)!般輕 十苕占蒿T扁石苕爲為（加+耳X和_1）E（X）-（/+旳）（刃_1）例 6.6.甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局21数多者赢得比赛 假设每局甲获胜的概率为 -，乙获胜的概率为-，各局比赛结果相互独立 33（1 1）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（2 2）记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和期望 S1) )CA2M4-M+C+c 二爲-(C1+ cAT) )C：*2）)(2)X234552108P998181224期望224 81【解析】思踣：依题意可扣茯胜的要求是连胜2 2场，所以可分2 2局，3

15、 3局，4 4局三种情况，通过后两场 连胜嬴得比寒其余各场按邂员交昔进行排列 解：设4为和甲在第/局获胜3事件/为“甲在斗局臥内（含4局）赢得比蜜/. P(J) =P441)+HH)221 2 2 2 1 2 256XX X+ * X X X =3333333332,3,4,5，若提前结束比赛，则按（1 1）的想法，除了最后两解：X可取的值为2,3,4,5P X = 2 = P A)A2PA(A2 =3二P瓦AAP几瓦瓦3 13丿3 13丿381=5AAA3A4P A1A2A3A4=-1 2 1 1 23333333381-X的分布列为:X2345P5210_8998181EX=253 - 4

16、 5 22499818181例 7.7.袋中装有若干个质地均匀大小相同的红球和白球,【答案】 （1 1）568181（2 2）思路：首先依题意能确定 X X 可取的值为场要连胜（或连败），其余各场应“胜负交替”. .在每个事件中要分甲获胜和乙获胜两种情况进行讨论白球数量是红球数量的两倍，每次从袋中摸出一个球，然后放回，若累计 3 3 次摸到红球则停止摸球，否则继续摸球直到第5 5 次摸球后结束（1 1 ）求摸球四次就停止的事件发生的概率（2 2）记摸到红球的次数为 ，求随机变量的分布列及其期望4【答案】（1 1）工；（2 2）9012332808017P24324324381131期望空.81

17、【解析】思路：本题为有放回摸球，可理解为独立重复试验，如果摸球四就停止说明在这四次中 一共摸到爼次红球，且前三次有两次摸到红球，第四次又摸到红球通过红白球数量关系可知一坎摸球中摸 到红球的概率为$然后可按照分折列式并求出槪率*解：设事件/为，濮球四次即停止摸球解：依题意可得：在一次摸球中，摸到红球的祗率为13P A =C（2 2）思路：可知可取的值为0,1,2,3，当.=0,1,2时，摸球是通过完成5 5 次后停止，所以可利用独立重复试验模型计算概率；当=3=3 时，按照规则有可能摸球提前结束，所以要按摸球的次数（3 3 次，4 4 次，5 5次）分类讨论后再汇总解:可取的值为0,1,2,3P

18、 =0 =322438024380243122 1C：33 343332438113八3丿9.的分布列为:0123P328080172432432438132243808017 131123 -2432438181例 8.8.已知甲盒内有大小相同的1 1 个红球和 3 3 个黑球，乙盒内有大小相同的3 3 个红球和 3 3 个黑球，现从甲,乙两个盒内各任取 2 2 个球(1(1 )求取出的 4 4 个球中没有红球的概率(2(2)求取出的 4 4 个球中恰有 1 1 个红球的概率(3(3)设为取出的 4 4 个球中红球的个数，求的分布列和数学期望01231221P10551012【答案】(1 1

19、)；( 2 2)；( 3 3)10532【解析】思路：本题这三问的关键在于所取球中红球的个数，考虑红球个数来自于两个盒内拿出红球个数的总和，所以可将红球总数进行分配，从而得到每个盒中出红球的情况，进而计算出概率(1 1)设事件Ai为“甲盒中取出i个红球”，事件Bj为“乙盒中取出j个红球”则尸=誓巩町)=彎设事件/为詔个球中没有红球则P(A)=P(4)-尸(禺)=-W-阳C4q 6 1510(R 设事件月为 5 个球中恰有1个红球厂2厂1厂1厂1厂1厂褐厂2二fW =十尸罟诗十罟*罟3 93 36 156 15(3)可取的值为0,1,2,311.的分布列为:01231221P1055101221

20、3=0123105510 2例 9.9.【20162016 高考山东文数】某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动 图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数y. .奖励规则如下:1若xy乞3，则奖励玩具一个;2若xy _8，则奖励水杯一个；3其余情况奖励饮料一瓶 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀 小亮准备参加此项活动(I I )求小亮获得玩具的概率；(IIII )请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由指针P =2 = P A0B2 i亠P ABi =C42C3C3 Ci1c3C2C2C6C4C3C02y JCFP(J3)=P(AB2)=晋3C3

21、0C1510【解析】. .参加活动的儿童需转动如. .设两次记录的数分别为x，13试题分析：用数对x, y表示儿童参加活动先后记录的数，写出基本事件空间“与点集S=$x,y |xN,yN,1乞x乞4,1乞y辽4?一一对应 得到基本事件总数 (一.)利用列举法，确定事件A包含的基本事件，计算即得 (二)记“xy _ 8” 为事件B，“3：xy :：: 8” 为事件C. .确定事件B包含的基本事件共有6个，事件C包含的基本事件共有5个，计算得到P B、P C，比较即知. .试题解析：用数对(工J) )表示儿童參加活动先后记录的数，则基本事件空间 C 与点集s-仪j)I施MjE M1S兰43 兰4对

22、应.因为S中元素个数是4X4-16,所叹基本事件总 数为 =16.(I)记“马3”为事件丄则事件A包含的基本事件共有5个，即(11):(1;2):(13):(2,1)=(3:1),所叽 卩(旳二二即彳瀆茯得玩具的枫率为16 16(二)记“xy _ 8” 为事件B，“3：xy :：: 8” 为事件C. .则事件B包含的基本事件共有6个，即2,4 , 3,3 , 3,4 4,2 , 4,3 , 4,4 ,所以，P B=-.16 8则事件C包含的基本事件共有5个，即1,4 , 2,2 , 2,3 , 3,2 , 4,1 ,5所以，P C =2.16因为3,8 16所以，小亮获得水杯的概率大于获得饮料

23、的概率例 10.10.【20162016 高考山东理数】甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3 3 分；如果只有一个人猜对，则“星队”得 1 1 分；如果两32人都没猜对，则“星队”得 0 0 分. .已知甲每轮猜对的概率是 -，乙每轮猜对的概率是 -;每轮活动中甲、乙43猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响 假设“星队”参加两轮活动，求：(1)“星队”至少猜对 3 3 个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和为 X X 的分布列和数学期望 EX.EX.223【答案】(1 1)2(2 2)分布列见解析，EX=2336【解

24、析】试题分析：(“找岀疔星队至少猜对3个成语所包含的基本事件，由独立事件的概率公式和互斥事件的 概率加法公式求解；(2) )由题鼠 随机变量X的可能取值为5 h 2, 3,4,乳由事件的独立性与互斥性，得到 汎的分布列，根据期望公式求解*试题解析：(I)记事件A:“甲第一轮猜对笃记事件B：“乙第一轮猜对3记事件C :“甲第二轮猜对二记事件D:乙第二轮猜对3记事件 E E: 星队至少猜对 3 3 个成语”. .由题意，E =ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD .由事件的独立性与互斥性，P E i=P ABCD P ABCD P ABCD P ABCD P ABCDPAPBPCPD

25、PAPBPCPD PAPBPCPDPAPBPCPD PAPBPCPD13 2x x X 3 4 32_3.2所以“星队”至少猜对3 3 个成语的概率为2. .3( (n) )由题意，随机变量 X X 的可能取值为 0,123,4,6.0,123,4,6.由事件的独立性与互斥性，得1144P X =2 =31313 1 1 21 231.121243434343434343432 2 - -3 33 3 - -4 431111211p(X=2Kxxx - +xx-!-x-!-14 3434343；10144572112251441532111132P X =3 =43434343了3 2 3 1

26、3 2 12P X = 4 =2(4 3 4 3 4 3 4 3丿144 12可得随机变量 X X 的分布列为X X0 01 12 23 34 46 6P P15251511447214412124所以数学期望EX=O 1 2互3 4 6丄二23. .14472144121246【精选精练】1 1 .一袋中有 6 6 个黑球，4 4 个白球（1 1）不放回地依次取出 3 3 个球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率（2 2）有放回地依次取出 3 3 个球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率（3 3）有放回的依次取出 3 3 个球，求取到白球个数X的分布列，期望和方差22

27、23【答案】（1 1）2（ 2 2）2（ 3 3）分布列见解析，EX工23336【解析】1）思路：因为罡不放回的取球，所以后面取球的情况受到前面的毙响要使用条件概率相关公式进行计算第一次已经取到白球，所以剩下6个黑球，3个白球：若第二次取到黑球贝憚三次取到黑球的概率为鼎,若第二次取到白球,则第三次取到黑球的W衲討,从而能够得到第三次取到黑球的概率 解：设事件/为“不放回取球，第一次取出白球时，第三次取到黑球48 _ 272_S（2 2）思路：因为是有放回的取球，所以每次取球的结果互不影响，属于独立重复试验模型，所以第三次取 球时依然是 6 6 个黑球，3 3 个白球，取得黑球的概率为 -9解：

28、设事件B为“有放回取球，第一次取出白球时，第三次取到黑球”605思踣：本问依然属于独立重复试脸模型X的取值为0A23,则X符合二项分布，即Z: B 3,-,所以可通过二项分布的概率计算公式求得概率，得到分布列X01232754368P125125125125X L B 3,2I5259个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为(1(1)若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率;(2(2)若左右手依次各取两球， 称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记成功取法次数为随机变量求X的分布列和数学期望.【解析】P A =1 _P A =112 3-3 4 319 99999丿3(2)X

29、可取的值为0,1,2解：疋的取值为0丄2，依题意可得;X: B3327125P X T=c1i15丿15丿125P X =2二C；3112536PX，七32=1252.2.甲、乙两袋中各装有大小相同的小球乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球.【答6 18分布列见解析，EX無DXw解：(1 1)设事件A为“两只手中所取的球颜色不同”，则A为“两只手中所取的球颜色相同”17c2+c2+C2左手取球成功的概率P=218C922256右手取球成功的概率F2=C3.C3.C31(5.P X =0 = 1一118 .f51P X =111 -18 45 15P X =

30、2 =184一72131424一118418X012P1375241872.X的分布列为EX兰12仝上241872363.3.某商场在店庆日进行抽奖促销活动，当日在该店消费的顾客可参加抽奖.抽奖箱中有大小完全相同的个小球，分别标有字“生”“意” “兴” “隆” 顾客从中任意取出 1 1 个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取 1 1 个球，重复以上操作，最多取 4 4 次，并规定若取出“隆”字球，则停止取球获奖规则如下：依次取到标有“生” “意”“兴”“隆”字的球为一等奖； 不分顺序取到标有“生”“意” “兴” “隆”字的球,为二等奖；取到的 4 4 个球中有标有“生”“意” “兴”三个字的

31、球为三等奖.（1 1）求分别获得一、二、三等奖的概率;（2 2）设摸球次数为，求的分布列和数学期望.1591答案1（1）莎莎盲（2）分布列见解析，EX=11【解析】解： （“设 4为“获得，等奖”1 1X X X -4 4 4 4 256尸(厶)= f 4 4 4 4尸(4)=1x1x1P(A3)=c3lxL3号球，所以由（第-席）个，进而求得概率得到分布列.X的分布列为:X12341191634P2202205555EX=1丄2竺3兰4 34=77522022055552207.7. 一个盒子中装有大小相同的小球n个，在小球上分别标有1,2,3川|,n的号码，已知从盒子中随机的取出两1个球，

32、两球的号码最大值为n的概率为 ，4（1 1 ）盒子中装有几个小球？（2 2）现从盒子中随机的取出 4 4 个球，记所取 4 4 个球的号码中，连续自然数的个数的最大值为随机变量（如 取24682468 时， =1=1 ；取 12461246 时， =2=2，取 12351235 时， =3=3）33【答案】（1 1）8（ 2 2）分布列见解析，EX 14【解析】P An（。）c：（c3）3Cl322755P X =1$C；2220PX=2葺啮PX=3 -C9L学L邑 C3220PX+上12G；2201554427（1 1）思路：以两球号码最大值为n的概率为入手点，则该叙述等价于取出一个n号球和

33、一个其它号码球1的概率为一，从而利用古典概型列出关于n的方程并解出n4解：设事件A为“两球号码最大值为n1Cn 11n -11.PA呉 即解得：n=8C；4 n(n1 ) 42(2 2)思路：由(1 1)可得小球的编号为1-8，结合所给的例子可知的取值为1,2,3,4，其概率可用古典概型计算.表所取得数两两不相邻，可能的情况有卩戈？,035卑1,36瓯口46卑陞4血砒共5种$2表示只有一对相邻的数或两对相邻的数(两队相邻的数之间不再相邻h 6 =3表示有三个相邻的数，与另一个数不相邻.5=4表示四个数均相邻共5个.由于占二2包含情况较复杂，所以可以考虑算出苴他情况的枫率再用1减即可.解：的取值

34、为1,2,3,4-U551P討飞5=14P =2 =1 _P =1 -P =3 -P =4牛.的分布列为:1234P1421147714142133.E =1234147714 1418.8.甲、乙两人对弈棋局，甲胜、乙胜、和棋的概率都是丄，规定有一方累计 2 2 胜或者累计 2 2 和时，棋局结3束. .棋局结束时，若是累计两和的情形，则宣布甲乙都获得冠军；若一方累计2 2 胜，则宣布该方获得冠军，另一方获得亚军 设结束时对弈的总局数为X.X.(1(1)设事件A:“X =3且甲获得冠军”，求 A A 的概率;(2(2 )求 X X 的分布列和数学期望. .【答案】(1 1) (2 2)分布列

35、见解析，EX=26279【解析】5C；14C；20 27029(1 1)思路：事件A代表“对弈 3 3 局且甲获胜”所以甲必须在第三场获胜，且前两场为一胜一和或一胜一负(胜负先后顺序均可). .按照这几种情况找到对应概率相乘即可解：设事件Ai为“甲在第i局取胜”，事件Bj为“第j局和棋”， 事件Ck为“乙在第k局取胜”P A = P A A2A3 亠P AA2A3 j亠P B1B2B3 I亠PB1B2B3 !121 211 121 211 8=X X + X-X-+ X X + XX-=33333333333327（2 2）思路：依题意可得只要有两个相同的结果就结束比赛，所以最多进行故X可取的

36、值为2,3.4；在这些值中工=2*二4包含情况较少，X = 2即为相同的结果出现两次，臥甲为研究对象，则情况井为俩胜3“两员笃“两和三种情况.X二斗即为前三场胜员和砂均经历一次，I 1 1丄所以枫率P(JT4) = .对于X = 3的情况，由于种类较多，所以利用分布列概率和为1的性质用1-2)-P(X二4)进行计算P X =2i=P AA2P B1B2P CQ21=111-13 33 3333P X =3 =1 -P X =2 -P X =49.X的分布列为X234142P399EX =21344 Z263999点睛：在随机变量所取的值中，如果只有一个值的概率包含情况较多不易计算，那么可以考虑

37、先计算出其 他取值的概率，再用 1 1 减去其他概率即可9 9 某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，回答问题正确者进入下一轮考核，否则即被淘汰已知某(2(2 )记该选手在考核中回答问题的个数为，求随机变量的分布列与数学期望.4 4 次比赛，最少进行 2 2 次比赛,=411123 3 3一9选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为(1 1)求该选手被淘汰的概率；432,二，且【答案】(1 1)I0!(2 2)分布列见解析，EX=5712525【解析】(1 1 )思路：依题可知，比赛规则为：只要打错一个即被淘汰，如果从问题的正面考虑，则要考虑到是第几轮被淘汰，情况较多 但此问题的反面为

38、“答对所有问题”，概率易于表示，所以考虑利用对立事件进行求解设4为“选手正确回答第轮问题3事件/为/选手披淘汰”(2)(2)思路：艺可取的值为1,23可知若想多答謹则需要前面的问题均要答对，所以右时，则第一题答错寅总=2时贝U第一题答对且第二题答错(若第二题答对则需要答第三题h占刀时，则第一题答对且 第二题答对(第三题无论是否正确均已答三题)分别求出概率艮网 解：直可取的值为L23.1.428P =1p = 2 =55525尹4312P =3 =5525.的分布列为123P1_8_1252525.181257.E =1 23 -525252510.10.某区要进行中学生篮球对抗赛，为争夺最后一

39、个小组赛名额，甲、乙、丙三支篮球队要进行比赛，根据规则：每两支队伍之间都要比赛一场；每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局，获得第一名的将夺得111这个参赛名额已知乙队胜丙队的概率为1，甲队获得第一名的概率为丄，乙队获得第一名的概率为 5615(1 1)求甲队分别战胜乙队和丙队的概率R,P2；(2(2)设在该次比赛中，甲队得分为X，求X的分布列及期望.2111【答案】(1 1)p, P2(2 2)分布列见解析，EX二一344【解析】(1(1)思路：解决R,F2 2 要通过甲队第一的概率与乙队第一的概率两个条件. .若甲队第一名，则甲战胜乙且战31胜丙，即马二;；若乙队第一名，贝忆战胜甲且战胜

40、丙，即(1一)丄=丄，两个方程即可解出解：设事件/为“甲队获第一名笃则P(J) = 7 = 16设事件月为乙队获第一则卩(町=(!-/?)21二解得：理=_，爲二一34(2 2)思路：依题意可知X可取的值为0,3,6,X =0即两战全负；X = 3即一胜一负，要分成“胜乙负丙”和“负乙胜丙”两种情况讨论；X =6即两战全胜；分别求出概率即可 X可取的值为0,3,61P X =0 = 1 -R 1 -P2二4P(X =3)=P(1P2)+ (1-只尸2=右1P X -6二RP2=6.X的分布列为X036P1714126EX =0 - 3 61=4126411.11.甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用7 7 场 4 4 胜制，每场必须分出胜负，场与场之间互不影响，只要有一队获胜 4 4 场就结束比赛现已比赛了 4 4 场，且甲篮球队胜 3 3 场已知甲球队第 5 5, 6 6 场获胜的概率