灰色模型介绍及应用

1、第十章 灰色模型介绍及应用徐利艳 天津农学院 2.4 万字）110.1 灰色理论基本知识10.1.1概言10.1.2有关名词概念10.1.3GM建模机理10.2 灰色理论模型应用10.2.1GM1， 1）模型的应用污染物浓度问题10.2.2 GM1，1）残差模型的应用油菜发病率问题10.2.3GM 莫型在复杂问题中的应用SARS 疫情问题10.2.4 GM（1, n）模型的应用一一因素相关问题本章小结思考题推荐阅读书目章 灰色模型介绍及应用10.1 灰色理论基本知识10.1.1 概言客观世界的很多实际问题，其内部的结构、参数以及特征并未全部被人们了解，人们11不可能象研究白箱问题那样将其内部机

2、理研究清楚，只能依据某种思维逻辑与推断来构造模型。对这类部分信息已知而部分信息未知的系统， 我们称之为灰色系统。 本章介绍的方法是从灰色系统的本征灰色出发， 研究在信息大量缺乏或紊乱的情况下， 如何对实际问题进行分 析和解决。灰色系统的研究对象是“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不 确定性系统，它通过对“部分”已知信息的生成、开发实现对现实世界的确切描述和认识。信息不完全是“灰”的基本含义。充分开发并利用不灰色系统理论建模的主要任务是根据具体灰色系统的行为特征数据， 多的数据中的显信息和隐信息， 寻找因素间或因素本身的数学关系。 通常的办法是采用离散 模型， 建立一个按时间

3、作逐段分析的模型。 但是，离散模型只能对客观系统的发展做短期分 析，适应不了从现在起做较长远的分析、 规划、决策的要求。 尽管连续系统的离散近似模型 对许多工程应用来讲是有用的，但在某些研究领域中，人们却常常希望使用微分方程模型。事实上，微分方程的系统描述了我们所希望辨识的系统内部的物理或化学过程的本质。目前， 灰色系统理论已成功地应用于工程控制、经济管理、未来学研究、生态系统及复 杂多变的农业系统中， 并取得了可喜的成就。 灰色系统理论有可能对社会、 经济等抽象系统 进行分析、 建模、预测、决策和控制， 它有可能成为人们认识客观系统改造客观系统的一个 新型的理论工具。10.1.2 有关名词概

4、念灰数：一个信息不完全的数，称为灰数。灰元：信息不完全或内容难以穷尽的元素，称为灰元。灰关系：信息不完全或机制不明确的关系，称为灰关系。具有灰关系的因素是灰因素， 灰因素之间的量化作用，称为灰关联。灰色系统：含灰数、灰元或灰关系的系统称为信息不完全系统。如果按照灰色理论去研 究它。则称此系统为灰色系统。因此，为累加生成：由于灰系统对一切随机量都可看作是在一定范围内变化的灰色量,适应灰系统建模需要，提出“生成”的概念,“生成”即指对原始数据做累加（或累减）处理。累加生成一般可写成 AGO若计x（0）为原始数列，x（r）为r次累加生成后数列，即x(0)x(0) (1), x(0)(2), Lx(0

5、)( n)x(r)x(r)(1),x(r)(2), Lx(r)( n)则r次累加生成算式为x(r)(k) x(r 1)(1) x(r 1) (2) L x(r 1)(k)x(r 1)(1) x(r 1)(2)L x(r 1)(kkx(r 1)(i)i 11) x(r 1)(k) x(r)(k 1)x(r 1)(k)一般常用的是一次累加生成，即X（k）kx(0) (i)i 1x(1)(k 1)x(0) (k)10.1.3GM建模机理建立GM莫型，实际就是将原始数列经过累加生成后，建立具有微分、差分近似指数规律兼容的方程，成为灰色建模，所建模型称为灰色模型，简记为GM(Grey Model )。女

6、口GM（m,n）称为m阶n个变量的灰色模型，其中GM（ 1，1）模型是GM（ 1，n）模型的特例,灰色系统最基本的模型，也是常用的预测模型,因此本章重点介绍几种GM（ 1，1）模型的建模过程和计算方法，并简单介绍GM( 1,n）建模过程。GM（ 1，1）的建模机理GM( 1，1)模型是 GM( 1，N)模型的特例,其简单的微分方程形式（白化形式的微分方程）是dxdtax利用常数变易法解得，通解为x(t)ce at若初始条件为t 0, x（t）x0，则可得到微分方程的特解为U at UX(t)(Xo-)e ata或时间响应函数X(t “(xFU其中白化微分方程中的dxax项中的X为巴的背景值,d

7、t也称为初始值；a, U为常数(有时也将U写成b )o按白化导数定义有差分形式的微分方程，即dxx(t t)tx(t)显然，当时间密化值定义为 1,即当 t1时,上式可记为dxdtiim1X(t 1) x(t)dxdt这实际也表明，模型是以生成数X(X是以x(0)的一次累加)为基础的。当t足够小时，x(t)到x(tt)不会发生突变,因此可取x(t)与x(tt)的平均记为离散形式dx灵 x(t 1) x(t)dx这显然表明巴是一次累计生成，因此上述方程可改写为dtX (t 1) X(t) x(0) (t 1)值作为 t 0时的背景值，因此，背景值便可记为于是白化的微分方程dxtdtx(1)ax扣

8、(t 1)2x(1)(k 1)U可改写为XX(k)x(0) (k11)-a x(1) (k 1) X(k) ux(0) (k11)2ax(k 1)X(k) ujax(1 )(2)卜x(1 )(2)MX(1)X(1)(n)1ax(1)( n)X(n1)因此，上述方程可以改写为矩阵方程形式，即x(0)x(0)Mx(0)2ax(1 )(2)X(1)引入下列符号，设Ynx(0 )(2)X® (3)Mx®(n)于是便有严X(1)(n)Yn严(n)x(1)(n1)1ax(1 )(2)21 (1)-ax()(2)2aXuEX(1)X(1)B XMEa XMEu1ax(1 )(2)1ax(

9、1 )(2)1ax(1)( n)X(n 1)X(1)XX(n 1)Yn aX uEa XMEu解得(BtB) 1BtYn将求解得到的代入微分方程的解式(也称时间响应函数)X(k 1) (X(1) u)eaak由于x(0) (1) x(1)(1)，因此求导还原得akX(0) (k 1) a(x(0) (1) -)ea上述两式便为GM( 1，1)的时间响应式，及灰色系统预测模型的基本算式，当然上述两式计算结果只是近似计算值。为简记，一般可以将 GM( 1，1 )的建模过程记为IAGO GM AGOx (0)GM (x0(1); a,u) X(k 1)X(0)(k 1)10.2灰色理论模型应用10.

10、2.1GM( 1，1)模型的应用一一污染物浓度问题GM( 1，1 )模GM( 1，1)模型是灰色系统最基本的模型，下面以污染物浓度问题说明型的建立及求解过程。年份200120022003200420052006x(0)3.9364.5754.9685.0635.9685.507GM( 1，1)模型表10.1某污染物质量浓度测量值(mg/L)解：第一步，设原始数据为例10.1某污染源中某种污染物质量浓度测量值如表10.1，试建立X(0)(X(0) (1), X(0) (2), L ,X(0) (6)(3.936, 4.575, 4.968,5.063,5.968,5.507)第二步，对原始数据进

11、行累加生成，即XAGOx (0):(1)x(0) (2)3.9364.575x(1 )(2)x(0) (3)13.479x(1 )(3)x(0) (4)18.542(5)x(1 "4)x(0) (5)24.510X(5)x(0) (6)30.0173.9368.511Xx（1）X(2) XX(1)X(1)/八(0)X (1) X因此累加生成数据为x(1) AGOx (0)(3.936,8.511,13.479,18.542,24.510,30.017)第三步,构造矩阵B,Yn2X(1)(1)2x(1)2x(1)(3)2x(1) (4)2x(1) (5)x(1)(2)X(3)XX(1)

12、 (5)X(6)YnX(0) (2),(0)第四步,6.22351.0000x(0)(3),L ,x(0)(6)4.575(BTB) 1 BTYn。10.995016.01052 1.526027.26351.00001.00001.00001.00004.9685.0635.9685.507先求(BTB) 1btb1622.6-82.0-82.0根据逆矩阵的求解方法,(btb)10.00360.05920.05921.1706再求BTYn的值,BTYn-442.764126.0810进而求得?的值为0.00360.0592-442.7641-0.05390.05921.170626.0810

13、4.3322计算GM1 1的程序如下fun ctio n 10toliti01(X0)m, n=size(X0);X1=cumsum(X0);X2=;for i=1: n-1X2(i,:)=X1(i)+X1(i+1); endB=-O.5.*X2; t=on es( n-1,1); B=B,t;YN=X0(2:e nd);P_t=YN./X1(1:(le ngth(X0)-1)A=i nv(BJ*B)*BJ*YN.' a=A(1) u=A(2) B b1=B.'*B b2=i nv(BJ*B) b3=B.'*YN.' b4=u/a b5=X1(1)-b4 b6=

14、-a*b5第五步，将a,u的值代入微分方程的时间响应函数,令5? X（0）3.936，X(1) (k 1) (Xy)e aka84.3264 e0.0539 k80.3904第六步，求导还原得(k 1)a(x(1)a)ak ,厂 c 0.0539 ke 4.5443 e第七步，对上述模型进行精度检验。常用的方法是回代检验，即分别用0）（1）, X（0）模型求出各时刻值，然后求相对误差。先利用时间响应函数模型X(k 1) 84.3264 e0.0539 k 80.3904求各时刻值(k 1, 2丄，5 ),并计算相对误差，结果如表10.2所示.GM计算值实测值残差相对残差炉打1)x(1)(k 1

15、)e(1)(k 1)q(k 1)8.60598.5110-0.0949-0.011213.534413.4790-0.0554-0.004118.735918.5420-0.1939-0.010524.225424.51000.28460.011630.019030.0170-0.0020-0.0001表10.2精度检验实测值、残差值表k 1,2丄,5再利用时间响应函数模型X(0) (k 1)4.5443 e0.0539 k求各时刻值(k 1,2,L ,5 ),并计算相对误差，结果如表10.3所示.GM计算值实测值残差相对残差曲(k 1)x(0) (k 1)e(0) (k1)q(0) (k 1

16、)4.79604.5750-0.2210-0.04835.06164.9680-0.0936-0.01885.34195.0630-0.2789-0.05515.63775.96800.33030.05535.94995.5070-0.4429-0.0804表10.3计算值与实验原始数据值对照表从残差检验结果看，累计生成数列曲线拟合较好，相对误差在0.01即19左右；而还原k 1,2,L ,5数列的相对误差较大，其原因是累加生成数据将原始数据的随机性弱化，正负误差有抵消的,当数据再被还原回来时便表现出来。10.2.2 GM (1, 1 )残差模型的应用一一油菜发病率问题当GM(1 ,1)模型的

17、精度不符合要求时，可用残差序列建立GM(1 ,1)模型对原来的模型进行修正，以提高精度，即建立残差GM(1 ,1)模型，步骤如下第一步，利用原始数据建立 GM( 1 , 1)模型，得时间响应式#X(k 1)(X(1)X(0) (k 1)a(x(0)U、 ak U-)eaa(1) -)eaka其中第二个式子也成为导数还原值。鉴于导数还原值与原始数据(累减还原值)不一致,为减少往返运算造成的误差，往往用原始数据与导数还原值的残差修正的 x(0)模拟值X(0)。第二步，利用残差数列建立新的GM( 1，1)模型。建立残差模型的过程和计算方法同于GM( 1，1)建模过程，只不过建立残差模型所用的原始数列

18、采用的是残差数据。令g(0)(k)为残差，则g(0)(k) x(0)(k) X(0)(k)g(0) (g(0)(k),g(0) (k 1),L g(0)(n)(k i,i1丄，n)g(0)(g(0) (1),g(0) (2), L g(0)(n1)利用残差序列g(0)建立新的GM( 1，1)模型，求解得时间响应式U、 a'kg(0)(k 1) a'(g (k0)与e a'第三步，结合上两步的 GM( 1，1)模型，建立残差 GM( 1，1)g (k 1) (g(k。)a'k模型结合上两步的GM( 1，1)模型，则相应的残差修正时间响应式为X(0)(k 1)a(x

19、(0)a(x(0)U ak-)eaU)eak( a')(g(k0)-)e a'kaa'k k0kk。称为导数还原式的残差修正模型。例10.2某县油菜发病率数据如表10.4所示，试建立残差 GM莫型并进行求解。z*z15序号12345678910111213x(0)620402540453521141815.51715表10.4某县油菜发病率数据(% )解：第一步，建立原始数据的GM( 1，1)模型设原始数据为x(0)(x(0)(1), x(0)(2), L ,x(0) (13)0.01*6, 20, 40, 25, 40, 45,35, 21,14,18,15.5,17

20、,15建立 GM( 1, 1)模型,利用 GM( 1, 1)的求解程序得时间响应式为艾5.680e 0.06486k5.740$(0)0.368e 0.06486k第二步，误差检验利用时间响应函数模型 $® k 10.368e 0.06486k计算各时刻值(k 1,2, L ,12)，并计算相对误差，程序如下fun ctio n10toliti02(X0) %format long ;%X0=0.01*6 20 40 25 40 45 35 21 14 18 15.5 17 15;m,n=size(X0);s(1)=1;for i=1:12y(i+1)=0.368*ex p(-0.0

21、6486*i);z(i+1)=X0(i+1)-y(i+1);w(i+1)=z(i+1)/X0(i+1);s(i+1)=i+1;end y'X0'sum（abs（w）/12k 1,2丄,12计算结果如表10.5所示M计算值实测值残差相对残差(k 1)x(0) (k 1)e(0) (k1)q(0)(k 10.34490.2-0.1449-0.72440.32320.40.07680.19190.30290.25-0.0529-0.21170.28390.40.11610.29020.26610.450.18390.40870.24940.350.10060.28750.23370.

22、21-0.0237-0.11290.21900.14-0.0790-0.56450.20530.18-0.0253-0.14040.19240.155-0.0374-0.24120.18030.17-0.0103-0.06060.16900.15-0.0190-0.1265表10.5计算值与实验原始数据值对照表由表可以看出，最大误差高达72.44%，最低的也达到6.06%,模拟误差较大，进一步计算平均相对误差113匚外(k) 28.01%平均相对误差很较大，相对精度约70%因此为了提高远原点（即现时）精度，即将最后个误差减小，需采用残差模型进行修正。第三步，以部分残差数据为原始数据建立新的GM

23、（ 1，1）模型取k0 9得残差尾端，即取最后 5个数据的残差：-0.0790,-0.0253,-0.0374,-0.0103,-0.0190,用此尾段可建立残差尾段模型，取绝对值，得残差数列g(0)q(0)0.0790,0.0253,0.0374,0.0103,0.0190以上述的残差数列为原始数据建立新的GM（ 1，1）模型，得残差的时间响应式cTk 10. 1 732e 0.1894k 0.2522T(0)0.1894kcTk 1 0.0328e 0.1894k第四步，将原始数据和部分残差数据的两个GM（ 1， 1）模型即190.368e 0.06486k(0)cTk 10.1876e

24、0.1457k结合，得到修正后的残差 GM（1， 1）模型0.368 e 0.06486 k,k 9x0 (k 1)0.368e 0.06486 k 0.0328 e 0.1894 k ,k 9第五步，用修正后的模型对k 8,9, L ,12 的模拟值进行修正，结果为：(x?(0) (9), x?(0) (10), L, x?(0) (13) 0.2118,0.1993,0.1874,0.1762,0.1656第六步，精度检验建立如下程序：function 10toliti021(X0)%format long ;%X0=0.01*6 20 40 25 40 45 35 21 14 18 15

25、.5 17 15;m,n=size(X0);s(1)=1;for i=8:12y(i+1)=0.368*exp(-0.06486*i)-0.0328*exp(-0.1894*i);z(i+1)=X0(i+1)-y(i+1);w(i+1)=z(i+1)/X0(i+1);s(i+1)=i+1;endy'X0'sum(abs(w)/5k 8,9, L ,12计算结果如表10.6所示GM计算值实测值残差相对残差5?(0) (k 1)x(0) (k 1)e(0) (k1)q(0) (k 1)0.21180.14-0.0718-0.51300.19930.18-0.0193-0.10730

26、.18740.155-0.0324-0.20930.17620.17-0.0062-0.03660.16560.15-0.0156-0.1040表10.6修正后计算值与实验原始数据值检验结果按此模型，可对k 9,10,11 ,12,13五个模拟 值进行修正，修正后的 平均相对误 差1 130.17，0.15GM( 1，1)- q(0) (k)19.4%，精度有明显的提高。尤其对于原点附近的两个数据:5 k 9相对误差分别降低为 3.66%和10.4%，低于允许误差要求。这说明，对原点数据模型修正是有必要的。10.2.3GM模型在复杂问题中的应用SARS疫情问题例10.3 SARS疫情问题200

27、3年的SARS疫情对我国的发展产生了一定影响，尤其在经济发展方面产生了很大的影响，下面就SARSa情对我国经济的影响问题建立 GM模型并求解。10.2.3.1 问题的提出特别是对部分疫情较2003年的SARS疫情对中国部分行业的经济发展产生了一定影响,严重的省市的相关行业所造成的影响是显著的，经济影响主要分为直接经济影响和间接影响。直接经济影响涉及商品零售业、旅游业、综合服务等行业。很多方面难以进行定量地评 估，现仅就SARS疫情较重的某市商品零售业、 旅游业和综合服务业的影响进行定量的评估 分析。1997究竟SARS疫情对商品零售业、旅游业和综合服务业的影响有多大，已知某市从10.7年1月到

28、2003年12月的商品零售额、接待旅游人数和综合服务收入的统计数据如表 10.9所示月份年份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月199783.079.878.185.186.688.290.386.793.392.590.996.91998101.785.187.891.693.494.597.499.5104.2102.3101.0123.5199992.2114.093.3101.0103.5105.2109.5109.2109.6111.2121.7131.32000105.0125.7106.6116.0117.6118.0121.7118.7120.2127.812

29、1.8121.92001139.3129.5122.5124.5135.7130.8138.7133.7136.8138.9129.6133.72002137.5135.3133.0133.4142.8141.6142.9147.3159.6162.1153.5155.92003163.2159.7158.4145.2124.0144.1157.0162.6171.8180.7173.5176.5表10.7商品的零售额（亿元）月份年份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月19979.411.316.819.820.318.820.924.924.724.319.418.6199

30、89.611.715.819.919.517.817.823.321.424.520.115.9199910.112.917.721.021.020.421.925.829.329.823.616.5200011.426.019.625.927.624.323.027.827.328.532.818.5200111.526.420.426.128.928.025.230.828.728.122.220.7200213.729.723.128.929.027.426.032.231.432.629.222.9200315.417.123.511.61.782.618.816.220.124.92

31、6.521.8表10.8接待海外旅游人数（万人）月份年份2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月1997961441942763834665546527478329721998111169235400459565695805881101111391999151238335425541641739866975108712382000164263376531600711913103811731296149720011823184455767088561000114512921435166720022163615046428189791142130514791644192020032414

32、04584741923111412981492168418852218表10.9综合服务业累计数额（亿元）试根据这些历史数据建立预测评估模型， 评估 2003 年 SARS 疫情给该市的商品零售业、旅游业和综合服务业所造成的影响。10.2.3.2 模型的假设与分析模型假设：1）假设该市的统计数据都是可靠准确的；2）假设该市在 SARS 疫情流行期间和结束之后， 数据的变化只与 SARS 疫情的影响有关， 不考虑其它随机因素的影响。模型分析：根据所掌握的历史统计数据可以看出， 在正常情况下， 全年的平均值较好地反映了相关 指标的变化规律，这样可以把预测评估分成两部分：1）利用灰色理论建立 GM（

33、1,1） 模型，由 1997 2002 年的平均值预测 2003 年平均值；20032）通过历史数据计算每个月的指标值与全年总值的关系，从而可预测出正常情况下年每个月的指标值，再与实际值比较可以估算出 SARS 疫情实际造成的影响。10.2.3.3 建立灰色预测模型 GM（1,1）第一步 , 数据处理（ 1）原始数据：根据表中的已知数据，计算 1997 2002年某项指标的年平均值，作为原始数据，记为x(0)(x(0) (1), x(0) (2), L , x(0) (6)1,2,L ,6)并要求级比 (i) x(0) (i 1)/ x(0) (i) (0.7515,1.3307)( i2）数

34、据的累加生成：2）背景值的选择：21对原始数据 x（0） 进行一次累加生成，x(1)(1) x(0) (1) ，x(1)(k1) x(1)(k) x(0) (kk11) x(0) (i),ki11,2,L ,n 1因此累加生成数据x(1) 记为x(1) AGOx (0)(x(1)(1), x(1) (2), Lx(1)(6)取累加生成数据X的加权平均值为背景值z，即z(k 1) X(k 1)(1 )x(1)(k),( k 1,2,L ,5)23其中为确定参数。背景值Z记为(1) / (1) z (x (2),X(3),L,x(1)(6)第二步，GM( 1，1)模型的建立 (1)建立GM( 1

35、, 1)的白化微分方程模型dxdt(1) ax u其中是a发展灰度，U是内生控制灰度。(2)转化为灰微分方程x(0)(k)az(k)u,( k2,3, L ,6)x(0) (k)az(k) u,(k2,3, L ,6)即矩阵形式为其中丫 (x(0) (2), x(0) (3),L(3)转化为时间响应函数利用最小二乘法得到参数的估计值,x(0) (6), BBAzz(1 )(3)Mz11 ,A M1a,u，进而得到灰微分方程的解x，对x求导还原得x®。即参数的估计值a,u为(BtB)1bty微分方程的解式(也称时间响应函数)为X(k 1)(X(1)be akaX(0) (k 1)a(x

36、(0)(1)-)eaak25其中x(0) (1) X(1)， X(0)(k 1)称为还原值。第三步，利用模型预测指标值根据时间响应函数可以预测出正常情况下2003年的平均值，则 x，则预测2003年的总值为Z12X。根据历史数据，可以计算出2003年第i个月的指标值占全年总值的比例为Ui，即6ajUi,(i1,2,L ,12)aiji 1 j 1记为U(U1,U2,L , U12)，于是可以可到2003年每一个月的指标值 V Zu10.244模型求解及结果分析(1) 商品零售额根据商品零售额的数据表，计算得年平均值(即原始数据x(0) (1)和一次累加生成值X(1)，分别为x(0) (1)(8

37、7.6167, 98.5,108.475,118.4167,132.8083,145.4083)X(1)(87.6167,186.1167, 294.5917, 413.0083, 545.8167, 691.225)显然x(0)的所有级比都在可容区域内，这里取0.5，计算可得背景值z(136.8667,240.3542,353.8000,479.4125,618.5208)计算得参数的估计值为 a 0.0983, U 84.7563，进而得到时间响应函数X(k 1)949.6443 e0.0983 k 862.0276X(0) (k 1)93.3710 e0.0983 k再根据时间响应函数预

38、测可得，2003年的月平均值为X 160.4135亿元；年总值为12x1925.0亿元。又根据比例Ui的表达式计算出每月的比例为Ui(0.0794, 0.0807, 0.0749, 0.0786, 0.0819, 0.0818,0.0845, 0.0838, 0.0872, 0.0886, 0.0866, 0.092)因此2003年112月的预测值（单位：亿元）为Zu将预测值与实际值进行比较，结果如表10.10所示(152.8654,155.3486,144.1859,151.2177,157.7157,157.4140,162.5660,161.3128,167.9501,170.5260,

39、166.7433,177.1169)月份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月实际值163.2159.7158.4145.2124.0144.1157.0162.6171.8180.7173.5176.5预测值152.9155.3144.2151.2157.7157.4162.6161.3168.0170.5166.7177.1表10.102003年商品的零售额比较表（亿元）图形如图10-1 ：（蓝线为实际值，红线为预测值）图10-12003年商品的零售额实际值与预测值比较图(2) 5月份通过图形可以直观的看出：（1）预测值波动比较小，真实值波动比较剧烈;左右真实值远远低于预测

40、值，年初和年末都高于预测值。这是由实际情况造成的，年初当x7hat=(x0(1)-u/a)*(ex p(-a*k)-ex p(-a*(k-1)5月SARS 疫情刚刚开始的时候，人们储备保健药品和保健食物等，拉动了零售额的增长； 份左右， SARS 疫情比较猖獗， 此时好多学校和单位等实行封闭管理， 大大限制了人们的消SARS 疫情给该市的商品零售业费，因此零售额明显降低；年末 SARS 疫情慢慢远去，此前被限制的消费得以充分实现， 又促进了零售额的增长。当然可以根据模型所得数据，对 造成的影响进行定量分析，这里不再详述。计算的MATLAB程序如下:function 10toliti03 clc

41、 clc,clear load shuju1.txt % 把原始数据保存在纯文本文件 shuju1.txt 中han1(end,:)=;x0=mean(han1,2) m=size(han1,2);n=size(x0,1);z1=;x1=cumsum(x0) alpha=0.5;for i=1:n-1 z1(i,:)=(1-alpha)*x1(i)+alpha*x1(i+1);end z1Y=x0(2:n);B=-z1,ones(n-1,1);A=inv(B'*B)*B'*Y;a=A(1) u=A(2) b4=u/a b5=x1(1)-b4 b6=-a*b5z=m*x7hat

42、u=sum(ha n1)/sum(sum(ha n1) v=z*ux（0） （1）和一次累加（2）接待海外旅游人数根据接待海外旅游人数的数据表，计算得年平均值（即原始数据 生成值X（1）,分别为x(0) (1)(19.1000,18.1083,20.8333,24.3917,24.7500,27.1750)X(1)(19.1000,37.2083,58.0417,82.4333,107.1833,134.3583)显然X®的所有级比都在可容区域内，这里取0.5，计算可得背景值#Z(28.1542,47.6250,70.2375,94.8083,120.7708)计算得参数的估计值为a

43、 0.0938, u 16.2671 ，进而得到时间响应函数x(k 1)192.4955 e0.0938 k173.3955x(0)(k 1) 192.4955e0'0938k再根据时间响应函数预测可得，2003年的月平均值为x 30.2649万人；年总值为Z 12x363.1785万人。又根据比例ui的表达式计算出每月的比例为ui(0.0407, 0.0732, 0.0703, 0.0878, 0.0907, 0.0848,0.0836, 0.1022, 0.101,0.1041,0.0914, 0.0701)因此2003年112月的预测值（单位：万人）为Zu ( 14.7992,2

44、6.5801,25.5439,31.8961,32.9548,30.7923,30.3644,37.1220,36.6715,37.7978,33.1800,25.4763)月份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月实际值15.417.123.511.61.782.618.816.220.124.926.521.8预测值14.826.625.531.933.030.830.437.136.737.833.225.5表10.112003年接待海外旅游人数（万人）将预测值与实际值进行比较，结果如表10.11所示图形如图10-2 :(蓝线为实际值，红线为预测值)1hk353025一一

45、20一II一15一一10=-5Jrrr002468101:图10-22003年接待海外旅游人数实际值与预测值比较图(2)真实值这是由实际通过图形可以直观的看出：(1)预测值波动比较小，真实值波动比较剧烈;低于预测值，尤其5月份左右真实值远远低于预测值， 年初和年末相差不太大。情况造成的，5月份左右SARS疫情比较猖獗，此时好多学校和单位等实行封闭管理，大大限制了人们的出行,同时人们也基于自身安全的因素,能不出门就不出门,因此旅游人数大大降低，旅游业处于低谷；年初和年末SARS疫情对人们出行的影响不大,因此年初和年末年末海外旅游人数的实值略低于预测值。(3) 综合服务业累计数据根据综合服务业累计

46、数据的数据表，计算得年平均值(即原始数据x(0)(1)和一次累加生成值X(1),分别为37x(0) (1)(483.3,588.2,657.8,778.4,874.9,1000.9)X(1)(483.3,1071.5,1729.3,250763382.5,4383.5)显然x(0)的所有级比都在可容区域内，这里取0.5，计算可得背景值Z(777.4,1400.4,2118.5,2945.1,3883.0)计算得参数的估计值为 a 0.1343,U 481.2013。进而得到时间响应函数406.59 e0.1343 k 358.261) 546.1129e0'1343k再根据时间响应函数

47、预测可得，2003年的月平均值为 x 1144.0亿元；年总值为11X1258.4亿元。又根据比例 Ui的表达式计算出每月的比例为Ui(0.0191, 0.031,0.0433, 0.0591,0.0728, 0.085,0.1046, 0.1205, 0.1358, 0.1515, 0.1749)因此2003年112月的预测值（单位：亿元）为Zu(240.1,389.7,5452743.8,915.8,1100.9,131621516.6,1708.7,1906.5,2200.9)250020001500100050012345678910110月份2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月实际值241404584741923111412981492168418852218预测值24039054574491611