导数在实际问题中的应用

1、导数在实际问题中的应用山东马连东许美文近几年来导数的实际应用题在高考试卷中已经出现，比重也有所增加，因此应更加重是这方面的学习。现在，实际问题。1有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边 乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足并且新教材中导数的实际应用体的 我们研究几个导数在经济生活中的A处，乙厂与甲厂在河的的两侧，D与A相距50 km，两厂要在此岸边合 C建在建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为3a元和5a元，问供水站何处才能使水管费用最省？分析：根据题设建立数学模型， 借助图像寻找个条件间的 联系，适当设定变元，构造相应的函数关系， 方法求出最值，可确定 C点的位

2、置。解法一：据题意知，只有点 C在线段 置，才能能使总运费最省，设C点距D点通过求导和其他AD上某一适当位 xkm，如图所示，BD=40，AC=50 X,BC =JbD2 +CDBC的水管费用为 y 元，由题意得D= 3a(50-X ) +5aJxt400<x <50 ),5ax ,令 y'=0,解得x=30.在（0，50）上,y只有一个极值点，根据实际意义，函数在 x=30（km）处取得最小值，此时 AC=50-x=20（km），所以供水站建立在 A、D 之间距甲厂20间距甲厂20km处，可是水管费用最省。解法二：设 NBCD =0,则 BC 二，0-sin 0,CD =

3、40 9ot£ 0<0c， V 2丿/. AC =50 -40cot e。设总的水管费用为f (9 ),依题意，有 f (8 )=3a(50-40cot8)+5a 竺=150a+40a 53曲日 sinTsi n 日,心(5-3cos& ) sin日-(53cos日)(co用)3-5cos日-f(°)=40a =40a -snorsin2 日33令f '（日）= 0,得cosT =-。根据问题的实际意义，当 cos6 -时，函数取得最小值，此时554 3sin 日=一，. cot 日=一，二 AC = 50 - 40 cot & = 20 （

4、km），5 4A、D之间距甲厂20km处，可是供水管费用最省。评注：解决实际问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把 言，找出问题的主要关系， 并把问题的主要关系抽象成数学问题， 法解决，再返回到实际问题中加以说明。即供水站建在即供水站建在“问题情境”译为数学语 在数学领域寻找适当的方所以在区间0,母）内，函数y=f （X）在点 2取极大值，也是最大值。即当电灯与0点2.生产某种电子元件，如果生产一件正品，可获利100元，已知该厂制造电子元件过程中，次品率P3x*P =（X忘 N ）4X + 32（1）（2）200元，如果生产一件次品则损失与日产与日产量 x的函数关系是将该产品的日盈利额 T

5、（元）表示为日产量 为获最大利润，该厂的日产量应定为多少件？x件，次品数为分析：次品率p=日产次品数/日产量。每天生产x(1 - p)。x的函数。xp,正品数为正品数为解：因为次品率x件时，有3xP，当每天生产4x +323xx 一亠件次品，有4X + 323x3x件正品，所以T =200xM-V 4x +32 丿3x100x 4x + 32=25 竺二2 匸 T - _25x + 32y-6)。由 T - 0,得 x=16,或 x= 32(舍去)。 x+8(X+8)2当0<xc16时，T>0;x>0时 T<0.所以，当x=16时，T最大。及该厂的日产量为6件时，能获得

6、最大盈利。3.若电灯（B）可在过桌面上一点 0的垂线上移动，桌面上由与点0距离为a的另点A，问电灯与点 0的距离为多大时，可使点 A出有最大的亮度？（如图，有光学知识，亮度y与sine成正比，与r2成反比）解:设O到B的距离为x，则sin 8 =, r = Jx2 +a2 rC r (X2 +a2)X=c(X2 +a2（X >0 ）（ c适于灯光强度有关的常数）(x2+a2f当/ =0,即方程a2 -2x2 =0的根为人=-尸（舍）与X2 =,72逅Xa石p y+0y极大值距离为丄时，点A的亮度y为最大。4.现要制作一个体积为30 m3的圆柱形无盖容器，其底面用钢板，侧面用铝板。已知3倍

7、，问怎样设计才能是材料费用最少？ 列出材料费用的函数式，把它转化为求函数最小值的问题。30解析：设圆柱形容器的底面半径为xm，则圆柱的高为2 m，底面面积为兀x2m2，侧兀X每平方米钢板的价格是铝板的 分析：这是一道实际应用题,面积为60m2。又设每平方米铝板的价格为a元，钢板的价格为 3a元，总费用为y元，则X2 6060y =3a兀 X +一a(x:>0 )，二 y' = 6a兀 x.令 y' = 0,得 x =XX a“.47.因为y只有一个使其为零的点，即只有一个极值点。由题意,y 一定有最小值，故此极值点就是y的最小值点，这是圆柱的高为3职 （m）。故圆柱的底面

8、半径为m，高为30 m时总费用最少。点评：在建立函数表达式时，首先要适当选取自变量及其取值范围， 时可减少运算量。5.（2004年辽宁）甲方是一农场，乙方是一工厂。由于乙方生产需要占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定的净收入。在乙方不赔付甲方的情况自变量选得恰当有下，乙方的年利润x（元）与年产量t吨满足函数关系X = 2000斤。若乙方每年生产一吨产品必须赔付甲方s元（以下称s为赔付价格）。（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润（1 ）将乙方的年利润 w （元）表示为年产量t 的年产量；（2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y =0.002t2（元），在乙方按照获得

9、最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？解：（1）法一：因为赔付价格为 s元/吨,所以乙方的实际年利润为w = 2000/? - st.因为w =2000QsM2杠-丁十遊2,所以当t = fl000时，w取得最大 s'Vs）值。所以乙方取得最大年利润的年产量t=卩000吨。V S丿法二:t At。时,(2)解：设甲方净收入为 V元，则v=st-0.002t2。将t =罟0卜入上式，得到甲因为赔付价格为 s元/吨，所以乙方的实际年利润为w=2000F-st.令心0,得罟.当y时，心0;当w<0.所以t =to时，w取得最大值。

10、所以乙方取得最大年利润的年产量吨。J2方净收入V与赔付价格s之间的函数关系式v-100-2%10。0ss2 2P ,10002 8咒10003 1000 咒(8000 S )又 V = +5=5,令 V = 0，得 s=20。s当s<20时， >0 ；当sa20时，v<0,所以s=20时，V取得最大值。因此甲方向乙方要求赔付价格s=20元/吨时，获最大净收入。评述：本题主要考查函数的概念，运用导数求函数最大值、最小值的方法以及运用数学 知识，建立简单数学模型并解决实际问题的能力。6.(2005年全国3)用长为90cm、宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截取一个小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接而成(如图)。问该容器高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解：设容器高为xcm,容器的容积为则 V (X ) = x( 90 2x X 48 - 2x )= 4x' - 276x2 + 4320x (ocxv24)。求 V(x)的导数得 V '(x) = 12x2 -552x + 4320 = 12(x2 -46x+360 ) = 12(x-10 X x-36 ),令 V'(x)=0,得 x10,x2 =36(舍去)。当 0 cx<10 时，V'(x):>0,那么 V