二元一次方程组应用探索

1、二元一次方程组应用探索二元一次方程组是最简单的方程组，其应用广泛，尤其是生活、生产实践中的许多问题，大多需要通过设元、布列二元一次方程组来加以解决，现将常见的几种题型归纳如下：一、数字问题例 1 一个两位数， 比它十位上的数与个位上的数的和大9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数分析：设这个两位数十位上的数为x，个位上的数为 y，则这个两位数及新两位数及其之间的关系可用下表表示：十位上的数个位上的数对应的两位数相等关系原两位数xy10 x+y10 x+y=x+y+9新两位数y10y+x10y+x=10 x+y+2710 x yx y 9x1解方程组x 10

2、 x y，得，因此，所求的两位数是 1410y27y4点评：由于受一元一次方程先入为主的影响，不少同学习惯于只设一元，然后列一元一次方程求解， 虽然这种方法十有八九可以奏效， 但对有些问题是无能为力的，象本题，如果直接设这个两位数为 x，或只设十位上的数为 x，那将很难或根本就想象不出关于x 的方程一般地，与数位上的数字有关的求数问题，一般应设各个数位上的数为“元”，然后列多元方程组解之二、利润问题例 2 一件商品如果按定价打九折出售可以盈利 20%；如果打八折出售可以盈利 10 元，问此商品的定价是多少？分析：商品的利润涉及到进价、定价和卖出价，因此，设此商品的定价为 x元，进价为 y 元，

3、则打九折时的卖出价为0.9x 元，获利 (0.9x-y) 元，因此得方程0.9x-y=20%y；打八折时的卖出价为0.8x 元，获利 (0.8x-y)元，可得方程 0.8x-y=10.0.9xy20%yx200解方程组y10，解得，0.8xy150因此，此商品定价为200 元点评：商品销售盈利百分数是相对于进价而言的，不要误为是相对于定价或卖出价利润的计算一般有两种方法，一是：利润=卖出价 -进价；二是：利润 =进价 利润率（盈利百分数）特别注意 “利润 ”和 “利润率 ”是不同的两个概念三、配套问题例 3某厂共有 120 名生产工人，每个工人每天可生产螺栓25 个或螺母 20个，如果一个螺栓

4、与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？分析：要使生产出来的产品配成最多套，只须生产出来的螺栓和螺母全部配上套，根据题意，每天生产的螺栓与螺母应满足关系式：每天生产的螺栓数2=每天生产的螺母数 1因此，设安排人生产螺栓，人生产螺母，则每天可生产螺栓 25个，螺母 20个，依题意，得xy120 x20，解之，得50 x 220y1y100故应安排 20 人生产螺栓， 100 人生产螺母点评：产品配套是工厂生产中基本原则之一，如何分配生产力，使生产出来的产品恰好配套成为主管生产人员常见的问题， 解决配套问题的关键是利用配套本身所存在

5、的相等关系，其中两种最常见的配套问题的等量关系是：（ 1）“二合一 ”问题：如果件甲产品和件乙产品配成一套，那么甲产品甲产品数乙产品数数的倍等于乙产品数的倍，即；ab（2）“三合一 ”问题：如果甲产品件，乙产品件，丙产品件配成一套，甲产品数乙产品数丙产品数那么各种产品数应满足的相等关系式是：abc四、行程问题例 4 在某条高速公路上依次排列着 A 、B、 C 三个加油站， A 到 B 的距离为120 千米， B 到 C 的距离也是 120 千米分别在 A 、C 两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在B 站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同

6、的速度分别往A 、C 两个加油站驶去，结果往B 站驶来的团伙在1 小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过3 小时后才被另一辆巡逻车追赶上问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？【研析】设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为x、 y 千米 /时，则3xy120 xy40 x80 xy，整理，得xy，解得y，12012040因此，巡逻车的速度是 80千米 /时，犯罪团伙的车的速度是40 千米/时点评： “相向而遇 ”和“同向追及 ”是行程问题中最常见的两种题型，在这两种题型中都存在着一个相等关系， 这个关系涉及到两者的速度、原来的距离以及行走的时间，具体表现在：“相向而遇 ”时，两者所

7、走的路程之和等于它们原来的距离；“同向追及 ”时，快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离五、货运问题典例 5 某船的载重量为300 吨，容积为 1200 立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为6 立方米，乙种货物每吨的体积为2 立方米，要充分利用这艘船的载重和容积，甲、乙两重货物应各装多少吨？分析： “充分利用这艘船的载重和容积”的意思是 “货物的总重量等于船的载” “”x吨，乙种货物装y吨，则重量 且 货物的体积等于船的容积设甲种货物装xy300 x y300 x1506x3x y，解得y，2y1200600150因此，甲、乙两重货物应各装150 吨点评：由实际问

8、题列出的方程组一般都可以再化简，因此，解实际问题的方程组时要注意先化简， 再考虑消元和解法， 这样可以减少计算量， 增加准确度化简时一般是去分母或两边同时除以各项系数的最大公约数或移项、合并同类项等六、工程问题例 6 某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装150 套，按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的4；现在工厂改进了人员组织结构和生产5流程，每天可生产这种工作服200 套，这样不仅比规定时间少用1 天，而且比订货量多生产 25 套，求订做的工作服是几套？要求的期限是几天？分析：设订做的工作服是x 套，要求的期

9、限是y 天，依题意，得150y4xx33755，解得.200 y1x 25y18点评：工程问题与行程问题相类似，关键要抓好三个基本量的关系，即“工作量 =工作时间 工作效率 ”以及它们的变式 “工作时间 =工作量 工作效率，工作效率 =工作量 工作时间 ”其次注意当题目与工作量大小、多少无关时，通常用“1” 表示总工作量二元一次方程组实际问题赏析【知识链接】列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：（1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；（2）找：找出能够表示题意两个相等关系；（3）列：根据这两个相等关系列

10、出必需的代数式，从而列出方程组；（4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；（5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案.【典题精析】例 1（2006 年南京市）某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为 6 元/辆，小型汽车的停车费为 4 元 /辆 .现在停车场有 50 辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费 230 元，问中、小型汽车各有多少辆？解析：设中型汽车有x 辆，小型汽车有 y 辆.由题意，得xy50,6x4 y230.x15,解得，y35.故中型汽车有 15 辆，小型汽车有 35 辆 .例 2（2006 年四川省眉山市） 某蔬菜公司收购蔬菜进行销售的获利情况如下表所

11、示：销售方式直接销售粗加工后销售精加工后销售每吨获利（元）100250450现在该公司收购了 140 吨蔬菜，已知该公司每天能精加工蔬菜6 吨或粗加工蔬菜 16 吨（两种加工不能同时进行） （1）如果要求在 18 天内全部销售完这140 吨蔬菜，请完成下列表格：销售方式全部直接全部粗加工后尽量精加工， 剩余部分直接销售销售销售获利（元）（2）如果先进行精加工，然后进行粗加工，要求在 15 天内刚好加工完 140 吨蔬菜，则应如何分配加工时间？解：（1）全部直接销售获利为：100140=14000（元）；全部粗加工后销售获利为：250140=35000（元）；尽量精加工， 剩余部分直接销售获利为： 450（618）100（140618）=51800（元） .（2）设应安排 x 天进行精加工，y 天进行粗加工 .由题意，得xy 15,6x16y140.解得，x10,y5.故应安排 10 天进行精加工， 5 天进行粗加工 .【跟踪练习】为满足市民对优质教育的需求， 某中学决定改变办学条件， 计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍，拆除旧校舍每平方米需80 元，建新校舍每平方米需700元 . 计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共 7200 平方米，在实施中为扩大绿地