立体几何大题练习题答案

1、立 体 几 何 大 题 专 练NEAMA,即四边形MAEN是平行四边形, MN#AE .由于 AEU 平面 PAD,MN(Z 平面 PAD,:、平面 PAD.PA 丄平面 ABCfhZPDA = 45 笃二APAD 是尊腹三角形”故 AE J PD由题意.CD 丄 ADtCDlPA,:* CD 丄平面 PAD*从而 AE 丄 CD,:.AE 丄平面 PCD*故 MN 丄平面 PCD ,21. iCDftH C 的方程 j(xa)a+ (y b) f2a + b Of2 (本小题满分 12 分) 如图，在三棱锥P-ABC中，E,F分别为AC,BC的中点.(1)求证：EF /平面PAB;(2)若平

2、面PAC平面ABC，且PA =求证：平面PEF平面PBC.40f12F1 如图，已知 PA 丄矩形 ABCD 所在平面，M、N 分别为 AB、PC 的中点;(1)求证：MN/平面 PAD(2)若/ PDA=45 ，求证：MN 丄平面 PCD又四边形 A BCD 为矩形且 M 是 HA 中点，A yCDXMA .T N 是 PC 的中点.A NEXyCD .B(1)证明：连结EF,v E、F分别为AC、BC的中点，.EF / AB.2 分又EF二平面PAB,AB平面PAB,二EF/ 平面PAB.5分(2)：PA = PC,E为AC的中点，.PE _ AC.6 分又；平面PAC-平面ABC.PE_

3、面 ABC. 8 分.PE _ BC.9 分又因为F为BC的中点，.EF / ABV .ABC =90, BC _ EF .10 分EF n PE二E.BC面PEF.11 分又：BC面PBC.面PBC_ 面PEF.12 分3.如图，在直三棱柱 ABC-A1B1G中，AC=BC 点 D 是 AB 的中点。(1)求证：BC/平面 CAD;(2)求证：平面 CAD 丄平面 AAB1B。4.已知矩形 ABCD 所在平面外一点 P, PA 丄平面 ABCD E、F 分别是AB PC 的中点.(1)求证：EF/平面 PAD(2)求证：EF 丄 CD若/ PDA= 45，求 EF 与平面 ABCD 所成的角

4、的大小.5.(本小题满分 12 分)如图，PA_矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证：MN/平面PAD; (2)求证：MN _ CD;6.如图，正方形ABCD所在的平面与三角形ADE所在平面互相垂直,AEB是等腰直角三角形，且AE=ED设线段 BCAE的中点分别为 F、M，求证：(1)FM/平面ECD；(2 )求二面角E-BD A的正切值.(1 )证明：取 AD的中点N,连结FN,MN,则 MN/ ED，FN /CD平面FMN/平面EN=1a,NP=22a.4解：(1)因为PAB是等边三角形， PAC=/PBC=90,所以Rt PBC二Rt PAC,可得AC二BC。

5、如图，取AB中点D，连结PD,CD, tan/ EPN= 2 . 10 分7.如图，一个圆锥的底面半径为2cm,高为 6cm,其中有一个高为Xcm 的内接圆柱(1)试用X表示圆柱的侧面积;(2 )当X为何值时，圆柱的侧面积最大19.( 1)解：设所求的圆柱的底面半径为r则有口，即-2).263亠x2兀2八S圆柱侧=2二rx = 2 (2 )x=4：xx .5分33(2)由(1)知当 x -3时，这个二次函数有最大值为所以当圆柱的高为 3cm 时，它的侧面积最大为6cm10分& (10 分)如图，在三棱锥P-ABC中，PAB是等边三角形，/ PAC/ PBC=90 o.(1)证明：AB

6、丄 PC(2)若PC = 4,且平面PAC丄平面PBC，求三棱锥P - ABC体积.则PD AB,CD AB,所以AB_平面PDC,所以AB _ PC5(2)作BE _ PC，垂足为E，连结AE.因为Rt. PBC三Rt PAC,所以AE _ PC,AE二BE.由已知，平面PAC_平面PBC,故AEB =90.因为RtMEB三RIPEB，所以AEB-PEB-CEB都是等腰直角三角形。由已知PC=4，得AE二BE = 2，AEB的面积S = 2.因为PC_平面AEB,18所以三角锥P-ABC的体积v S PC10分339.(本题满分 12 分)如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为

7、平行四边形，/ ADC = 45 AD = AC = 1, O 为 AC 的中点，PO 丄平面 ABCD , PO= 2, M 为 PD 的中点.证明 PB/平面 ACM ;(2) 证明 AD 丄平面 PAC;(3) 求直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值.P解析：(1)证明：如图，连接 BD , MO,在平行四边形 ABCD 中，因为 O 为 AC 的中点, 所以 O 为 BD的中点.又 M 为 PD 的中点，所以 PB/ MO.因为 PB?平面 ACM , MO?平面 ACM，所以 PB /平面 ACM.(2)证明：因为/ ADC = 45 且 AD = AC = 1，所以/ DA

8、C = 90 即 AD 丄 AC.又 PO 丄 平面 ABCD , AD?平面 ABCD，所以 PO 丄 AD.而 AC APO= O,所以 AD 丄平面 PAC.1如图，取 DO 中点 N,连接 MN , AN.因为 M 为 PD 的中点，所以 MN / PO,且 MN = -PO=1,由 PO 丄平面 ABCD，得 MN 丄平面 ABCD，所以/ MAN 是直线 AM 与平面 ABCD 所1成的角在 Rt DAO 中，AD = 1, AO = ?,DO = -5.从而 AN = DO =严.在 Rt ANM 中，tan / MAN224即直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值为 牛5

9、.510 (本小题满分 12 分)如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC - ABG中，AC = 3,AB = 5,BC = 4,AA| = 4，点D是AB的中点.(I)求证：AC _ BC,；(II )求证：AC,/平面CDB,；(III )求三棱锥A - BiCD的体积.证明：(I)在厶ABC中，AC =3,AB =5,BC = 4,ABC为直角三角形，AC BC,. 1 分又CG_ 平面ABC - CC1_ AC,CC1一BC=C ,.2 分AC平面BCC- AC _ BC1. 4 分(II )设BQ与BC1交于点E则E为BC1的中点，连结DE.5 分则在ABC1中，DE/AG，又DE二面

10、CDB1 ,.7 分 ACi/平面BCD.(III )在厶ABC中 ,过C作CF - AB,F为垂足，平面ABBA平面ABCCF_ 平面ABBA，而CF二AB 5VA_B1CD VC _A1DB1,11.(本小题满分 12 分)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，平面 PADL 平面 ABCD AB=AD,ZBAD=60 ,E、F 分别是 AP、AD 的中点求下：(I)直线 EF平面 PCD(H)平面 BEFL 平面 PAD. M JI口：口： 吋吋JI盈盈.(.(本小题满分也分本小题满分也分证明：证明：( (I往厶朋往厶朋0中，因为中，因为GF分别为分别为APAPt tADAD的的中中 又因为

11、百又因为百平面叱平面叱巧旳巧旳 U U 平面平面PCDPCDf f所以直线斫所以直线斫 平面吃口平面吃口连结。町因连结。町因为A A召冃试?，,所以所以 3 3 旳为正三角形個为旳为正三角形個为F是的中点是的中点, ,所以所以8F8FLAD,LAD,.8分分因为平面用。丄平面因为平面用。丄平面A A BCD,BCD,匸平面片匸平面片BCD平面平面PAPA D Dri平面沖平面沖8CD8CD - -0,.0,.所以丄平所以丄平面松面松0. W分分又因为又因为SFCSFC平面平面BEFBEFf f所以平面所以平面SEFLSEFL平面平面PAD.PAD.】2分分12. (本小题满分 12 分)如图所

12、示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD _底面AC BC 3 41210 分S DA1B111A B L_AA = 5 410 ,2211 分VA _B1CD=-1012=8.3512 分PABCD.PD二CD,E是PC的中点，作EF _ PB交PB于点 F。(I)求证：PA/平面EDB;(II)求证：PB平面EFD;(III )求二面角P-BC-D的大小。20.解；解；I连结连结ACACt tBDBD交于交于O点点，因为，因为正方形正方形ABCD,ABCD,所以所以O为为AC中点中点，又，又E为为PCPC中中点，连结点，连结OEMOEMOE/PA,又又PA龙平面龙平面KD

13、BtOEC平面平面EDB,EDB,所以所以PA平面平面EDE*EDE* 4(U )在在PDC申申t tPD=CDPD=CDt tE E是是PC的中点的中点所以所以DE1_DE1_PC.PC.又又BC丄丄DE,所以所以DE丄平面丄平面PBC,PBC,所辽DEDE丄丄PE,又又EF丄丄P&EFDDE=&所以所以PE丄平面丄平面EFDEFD. . & &分分(ffl)(ffl)因为因为FD丄面丄面ABCD于于DTFCCIABCDABCD于于C,BCC血血ABCDABCD,BC丄丄CD,就以就以 (?(?丄丄PC*所所lUZPCD为二面谢为二面谢P-BC-DP-BC-D

14、的平面倉的平面倉. .在在RtAFDC中，中，PD=CD*所以所以ZPQD=45. . 12.分分13.(本小题满分 12 分)如图，四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PA二PB = PC二PD = 5(1) 求二面角 P - AB -C 的度数(2) 若 M 是侧棱 PC 的中点，求异面直线 PA 与 BM 所成角的正切PMDCB21.（本小题满分 12 分）解：1）取 AB.CD 中点 E,F*连接 PE、PF、EF丫四边形ABCDABCD为正方形*-EFj_ABtEF= AD=2tPA=PI3,PA=PI3,化PEPE丄AE,AE,&EF&am

15、p;EF为二面角P-AB-CP-AB-C的平面角* .在 RiAPAE 中PE=PE=丿币匚 A 圧冲-爭=y（75）2-ls=2.同理PF=2.PF=2.APE=PE= FF=FF=EFtiPAPEF 为等边三角形* 二 ZPEF=PEF=60化二面角P P -AB-AB-C 的大小为. 6 分连接AC.BDAC.BD交与点 6 连接 OM.ro,丁四边形ABCDABCD为正方形，X 为BDBD中点且 BD 丄AU 又是侧棱卩 C 的中点，AOM#FA,OM=-|-PA,ZOMBZOMB或其补角即为 PA 和 EM 所成角VPD=PBPD=PB, ,rED 丄PO.PO.xp p POrAC

16、=OPOrAC=Ot tBDBD丄平面PACT又；PMU 平面 PAG ABD 丄 OM.在叱吨中啓=和”勢屈心鋁噹=警2异面直线 FA 与 EM 所成角的正切值为弩. . 12 分14.（本小题满分 12 分）若图为一简单组合体，其底面ABCD 为正方形，PD 丄平面 ABCDEC/PD，且 PD=2EC（1）求证：BE/平面 PDA（2）若 N 为线段 PB 的中点，求证：EN_平面 PDB(1)证明：EC/ PD EC/面 PAD 同理 BC/面 PAD 面 BEC/面 PAD 二 BE/面 PADACB =90.ZACH = 90DEEU 平面 HCDE分CEAC 丄平 Itij BCI)EAC：丄RD平面 ACE过卩作 BHAEAE.N BHl为二画角 B-AB：-D 的平面角6 分2 分所収舁面直线 AC 和 BE 所成的饰为 90AC_L 平面 BCDEH*连接 DH,则 AE 丄平面 BHDCQL 面PBD15.(本小题满分 12 分)AC 丄 B