历年数学选修1-1常考题1849

1、历年数学选修1-1常考题单选题（共5道）1、已知双曲线C的焦点、实轴端点分别恰好是椭圆八-+77= I的长轴端点、25 I 0焦点，则双曲线C 的渐近线方程为（）A4x 士 3y=0B3x 士 4y=0C4x 士 5y=0D5x 士 4y=02、设双曲线-（a>0, b>0）的左、右焦点分别是F1、F2,过点F2b -的直线交双曲线右支于点 M N,若邪F 尸- 2=0:- cos/ F1MF2=,则该双曲线的dfa 离心率为（）ABC2+ I73、曲线y=ex在点（2, e2）处的切线斜率为（）B2e2Ce2I 7严Dr4、函数f （x） =2x2-1 nx在其定义域的一个子区间

2、（k-1 , k+1）内部是单调C v刁 TiDI,金密色15、给出以下四个命题： 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那 么这条直线和交线平行； 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直， 那么这条直线垂直于 这 个平面； 如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行； 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直； 其中真命题的个数是A4B3C2D1简答题（共 5 道）6 （本小题满分 12 分）求与双曲线斗-丿J有公共渐近线，且过点 卓a的双曲线的标准方程7、巳知函数 f (x) =x2-2ax-2alnx(x>0, a? R,

3、 g (x) =ln2x+2a2+ :(1) 证明：当a>0时，对于任意不相等的两个正实数x1、x2,均有(2) 记 h (x)2 成立；(i )若y=h'(x)在1 , +x)上单调递增，求实数 a的取值范围;(ii )证明：h (x)> '8、 已知函数 f (x) = (x2 - 3x+3) ex 定义域为-2, t (t >-2),设 f (2) =m f (t) =n.(I)试确定t的取值范围，使得函数f (x)在-2, t上为单调函数；(U)求证：n> m(川)求证：对于任意的t >- 2,总存xO ? ( - 2,t),满足L，e并确

4、定这样的xO的个数.9、(本小题满分12分)求与双曲线-有公共渐近线，且过点上 二的双曲线的标准方程10 、（本小题满分 12 分）求与双曲线-有公共渐近线，且过点一 m的双曲线的标准方程填空题（共 5 道）11、设一：为双曲线 二斗"的左右焦点，点 P 在双曲线的左支上，且 三 的最 小值为二，贝 U 双曲线的离心率的取值范围是 .12、函数卩=：在0， 2上的最大值为.13、函数/U） = xln心0） 最小值是 14设为双曲线-的左右焦点，点P在双曲线的左支上，且 的最小值为二，贝U双曲线的离心率的取值范围是15、设-为双曲线一的左右焦点，点 P在双曲线的左支上，且- 占”寸”

5、的最小值为二，贝U双曲线的离心率的取值范围是.1- 答案：tc解：椭圆善吩二丨的长轴端点为（土 5，0），焦点为（土 3，0）.由题意可得，对双曲线C,焦点（土 5，0），实轴端点为（土 3，0），? a=3, c=5, b=4，112_i故双曲线C的 方程为，故渐近线方程为y=±T，即4x ±y=0,故选9 nPA.2- 答案：tc解：由题设知血1二巴，艺二加，?|MF1|=2"兰，T cos/F1MF2=£1沖 1<1尸"0.故选C.3- 答案：tc解：求导数可得y' =ex，当x=2时，y' =e2,. °

6、曲线y=ex在点（2, e2）处的切线斜率为e2，故选C.答案： tc解：f'( x) =4x 丄姿二！，令 f'( x )> 0,得 x >，令 f'( x )v 0,X X-得ovxv?函数f (x)在(0,;上是减函数，在 時,+x)上是增函数，Mb(k-1 ,?函数f (x)在其定义域的一个子区间(k-1 , k+1)上是单调函数，?区间k+1)的长度为2,二只能k-1斗，解得k弓故选A.4- 答案：B1-答案：设所求双曲线的方程为将点-代入得=所求双曲线的标准方程为-略_r |) _ + x答案：(1)证明：由题意得，A(x1+x2) -aln (

7、x1x2),-a-a (x1+x2) -2aln又?x +.r?-a (x1+x2) -aln> 0 ( x1m x2)引+u求l+上2 JX +Jt1 牛- r?'?Inx1x2v In '2 / a>0 二-alnx1x2 >-aIn2)2/( -vl ?+/<i | + W> f ()?(2)( i)解：h (x)= 亏 x2-ax-aInx+ In2x+a2+ y .由知h, (x) =x-a-,则y=F (x) 在 : 1 , +x)上单调递增.+ 令 F (x) =h, (x) =x-a-XF'(x)=,则当xI时，x2-1 n

8、x+a+1 >0恒成立.即x>1时，I Hi r2a>-x2+lnx-1 恒成立.令 G(x) =-x2+Inx-1，则当 x>1 时，G (x)=? v0.'.G (x) =-x2+Inx-1 在1 , +x)上单调递减，从而 G(x) max=( 1) =-2 .故a>G( x) max=-2.即a的取值范围是 -2 , +(ii )证明：h (x)1=-x2-ax-a lnx+匕L/、1In2x+a2+ =a2- (x+lnx ) a+P(x2+In2x ),则 P (a) = ( a-.令 Q( x) =x-Inx ,.显然Q (乂)在(0, 1)

9、上单调递减,在(1, +x)上单调递增，则 Q (x) min=Q (1) =1，贝 U P (a)> ;.故 h (x)41 1)X严'211 +.r?、-厂-a (x1+x2 ) -2aIn> 0 ( x1m x2 ),1P 4?2 2又?0v x1x2 v ?广x 1 +A2?Inx1x2v In3 a>0. -alnx1x2 >-aIn(x2+In2x )寸.令 P (a) =a2- (x+Inx ) a+7(1)证明：由题意得,2+- >-a卄则 Q (2)( =?)解:h (x) =(x1+x2) -aln (x1x2).h' (x)

10、=x-a-a Iri耳xV Xf(A' + X (A) 1=x2-ax-a lnx+=-厂厂-a (x1+x2) -aln 一 -,则y=F (x)在1 , +a)上单调递增.?1I匚 In2x+a2+bl .1x +F'>f (飞一).XiIIX+Li+(x) =11 + t? iF (x) =h'(x)=x-a-由知v 0. G (x) =-x2+I nx-1，则当 x>1 时，x2-lnx+a+1 >0 恒成立.即 x>1 时，a>-x2+lnx-11. 2_TG(x)恒成立.令(x)=-x2+Inx-1，则当x>1时，G

11、9; (x)=在1 , +x)上单调递减，从而 max=G( 1 ) =-2 . 故 a> G( x) max=-2. 即a的取值范围是-2 , +x)(ii )证明：h (x)斗 x2-ax-alnx+ : In2x+a2+A=a2- (x+lnx ) a+-(x2+ln2x ) +令 P (a) =a2- (x+lnx ) a+-(x2+ln2x )，贝U P( a) =( a-屮)2 冲丄冲£ .令 Q( x) =x-| nx , 244则Q (x) =1-=".显然Q (乂)在(0, 1)上单调递减，在(1, +x)上单 调递增，则Q (x)min=Q (1)

12、 =1，贝 U P (a)斗.故 h (x)扌右£3- 答案：(I)解：因为 f (x )=(2x- 3) ex+ (x2 - 3x+3)ex，由 f (x)>0.? .x> 1 或 xv0，由 f( x)v 0 二 Ovxv 1, ?函数 f (x)在(一x, 0), (1, +x)上单调递增，在(0, 1)上单调递减，？函数f(X)在-2, t上为单 调函数，？ - 2vt < 0,(U)证：因为函数f (x)在(-X , 0) U (1, +x)上单调递增，在(0, 1)上单调递减， 所以f (x)在x=1处取得极小值e,又f (- 2) =13e- 2ve,

13、所以f (x)在2 , +x)上的最 小值为f (- 2),从而当t >- 2时，f (- 2)vf 1,:(川)证：因为-ee(t),即 nvn,令g (x) =x2 - X-号(一 1)"-,从而问题转化为证明方程g即)为/x0工二专x6=L)'"=07lJ在(-2,)上有解并讨论解的个数，因为 g(- 2) =6-=-1 -g( t) =t (t - 1)- 一: = ?:-,所以当 t > 4 或一2v t v 1 时，g (2) g (t) v 0,所以 g (x) =0 在(-2, t)上有解，且只有一解，当 1v t v 4 时，g (-

14、2)>0 且 g (t) > 0,但由于 g (0) = - f(t-1) = v 0,所以 g (x) =0在(-2, t)上有解，且有两解，当t=1时，g (x) =x2 - x=0,解得x=0或1,所以g (x) =0 在(-2, t )上有且只有一解，当 t=4 时，g (x ) =x2 - x - 6=0,所以 g (x ) =0 在(-2, t) 上也有且只有一解，综上所述，对于任意的t >- 2,总存在x0?( - 2, t)，满足一亠 八，且t >4或-2vt <1时，有唯I 一 * 7一的 x0 适合题意，当 1vt v4 时，有两个 x0 适合

15、题意 .4-答案：设所求双曲线的方程为将点 I，. 一 - 代入得-2 ,所求双曲线的标准方程为 - 略 二45-答案：设所求双曲线的方程为- ，将点-代入得】 -. ，所求双曲线的标准方程为 - 略船41-答案： . 试题分析： ?双曲线-(a > 0, b> 0)的左右焦点分别为 F1, F2, P 为双曲线左支上的任意一点，二 |PF2| -|PF1|=2a , |PF2|=2a+|PF1|- ? 二 -<-( 当且仅当时取等号 ) ，所以|PF2|=2a+|PF1|=4a , v |PF2|-|PF1|=2a v2c, |PF1|+|PF2|=6a >2c, 所

16、以 e?(1, 3。点评：本题把双曲线的定义和基本不等式相结合，考查知识点的灵活应用解题时要认真审题，注意基本不等式的合理运用。2- 答案： 解：y'二八=，令 y'> 0,解得：xv 1,令 y'v 0,解得：x>1 ,二函数在0 , 1)递增，在(1, 2 递减,.? .y最大值=y极大值=y|x=仁，故 答案为：丄.3-答案：试题分析：函数丸'- 求导得"'< 当时,王王琶此函数？ 在c处取得最小值，即百e s c/仗)c0,即/(x) = xln在心丿上单调递减；当“丄时，即/(x) = xlnx在上单调递增，因4- 答案： 试题分析：？.？双曲线 孑可-)(a > 0, b> 0)的左右焦点分别为 F1, F2, P 为双曲线左支上的任意一点，二 |PF2| -|PF1|=2a , |PF2|=2a+|PF1| ,- -汀(当且仅当时取等号 )，所以|PF2|=2a+|PF1|=4a , v |PF2|-|PF1|=2a v2c, |PF1|+|PF2|=6a >2c,所以 e?(1, 3。点评：本题把双曲线的定义和基本不等式相结合，考查知识点的灵活应用。解题时要认真审题，注意