实变函数第三章测度论习题解答

1、第三章测度论习题解答1.证明：若E有界，则m E “H。证明 E有界，必有有限开区间E使得E - I，因此m*E空m*l .2证明可数点集的外测度为零证明设E,对任意总>0，存在开区间h,使得Xi li，且h =二2(在Rp空间中取边长为£ 的包含Xi的开区间h)，所以cdoCU li =E，且瓦 |li| = E， i吕i吕由e的任意性得m*E = 0。3.设E是直线上一有界集合m*E 0，则对任意小于m*E的正数C，恒有E 的子集巳，使 m* =c。证明 设 a = inf x,b =supx，贝U E b,b】，令 Exa,xl E，x迳X隹a 込x b， f (x) =

2、m Ex是a,b 上的连续函数；当Axa0时，f(x+Ax) f(x)| ='m*Exp m*Ex 兰 |m*(Ex Ex)兰 m*(x,x + x)=3于是当 x > 0用类似方法可证明，当厶x0,厶x；0时，f(xAx)； f(x)， 即f(x)是a,b 1上的连续函数。由闭区间上连续函数的介值定理f (a) =m*Ea =m*(E "a) = 0，f (b) = m* (Ea,b ) =m*E，因此对任意正数C，cvm*E，存在XoHb】，使f(x0)=c，即*§ = m*(a,x0 丨 E)=c，令 E a,xj E E，贝U4设Si,S2, ,Sn是

3、一些互不相交的可测集合,EiSi,i=1,2,，n，求证m (Ei E2En)二 m Ei m E2 亠 亠 m En证明 因为Si,S2,，Sn是一些互不相交的可测集合，由§2定理3推论1，对任意Tn有 m* 仃'I I Si)：n八 m*(T Si)，i 4n特别取t = Si=4i，则T Sin=(Ej)Si = Ei，j 4nnT ( SJ 二 Ei所以i 4i Annnnm*(Ei)=m*(T "(U S)=Z*m (T仃S)=送m*Ei。i T7i三iT5.若mE =0，贝U E可测证明任意T ，T=(T E)仃 CE)，所以m*T 空 m* (T E)

4、 m* (T CE)又 T E E，所以 m*(T E)乞 m*E =0， T CE T， m* (T CE)m*T，所以 m*T 兰m*(T“E) +m*(T “CE)因此m*T二m*仃 E) m*仃 CE)，则E可测。6证明康托集合的测度为0证明 据康托集合的构造，即在 0,1】中挖去可数个互不相交的开区间而成。第n次挖掉的长度为2心3n，因此p在0,1中的余集的测度为2丁n 3又因所以,m0jl=m(P (b,1】-P)二 mP m(0,1】-P) mP=mb,l Lm( b,1 P) =1 -1 =0即康托集合的测度为0.7.设A,B RP ,且m*B ：=，若 A 是可测集，证明*

5、1 |m (A B)二 mA m B - m (A B)证明因A是可测集，由卡拉泰奥多里条件m*(A B)二 m*(A B) A) m* (A B) CA)二 mA m*(B - A)另一方面又有m*B=m*(B A) (m*B CA)由 m B ；：，所以 m (B CA) < :, 于是 m* (B - A)二m* B - m* (A B)，代入前式得m*(A B)二 mA m*B-m*(A B)证毕。8证明：若E可测，则对于任意；0，恒有开集G及闭集F,使F E G , 而m(G 一 E) ： ； ， m(E F)：；证明 当mE ：:时，对任意； 0，存在一列开区间讥？，i =1

6、,2,，使Q0I i 二 E，i £OcO且送IjVmE+g，令G=Uh ，贝U G为开集，G = E，且 i珀i生Q0mE 辽mG 二二 mli : mE ；i壬因此 m(G E) ： ；， m( E F)：；。当mE 时，E总可以表为可数个互不相交的有界可测集的和；0E = En (mEn :：)n £对每个En应用上面结果，可找到开集Gn，使Gn二En，且m(GEnP，0令 G 二 Gn，n ±OOQOOOG 为开集，G E，且 G-E Gn - En 二- (Gn - En)，因此nTn¥n=1oOm(G _E)乞' m(Gn _En)：

7、；n =1又当E可测时，CE也可测，所以对任意0，有开集 G，G- CE，且m(GCE ) J 匚。因G CE =G 口 E = E C(CG) = E CG，令 F =CG，贝U F 是闭集，且m(E _F)二m(G _CE)：； 证毕。9.设E Rq，存在两列可测集 入 Jbj， 使得AnEBn m(AnBn)； 0(n')，则 E 可测QOQO证明 对任意i , BnBj ,所以Bn 一 EBj 一 E，又E二A ,n =1n z!Bj _ E 二 Bj _ A所以对任意i,QO* _ * *m ( Bn - E) _ m (Bj - E) _ m (Bj - A ) = m(B

8、j - A)n -1oCoO令 j t 旳，由 m(Bj - A) t 0，得 m* (0 Bn E) = 0。所以 Cl Bn E n z!n=J是可测的。QOCOQO又Bn可测，Bn也是可测的，所以 E =Bn -( Bn-E)是可测的。n z!n z!n=1P10.设A,B R ,证明成立不等式：m (A B) m (A B) < m A m B证明 若m A二:或m B =:,则结论成立。当 m A 出匕-且 m B f 取 G .型集 G1 与 G2，使 G<)- A,G2 - B，并且 mGj = m A， mG2 = m B，则m*(A B)乞 m(G1 G2)，m* (A B)乞 m(G1 G2) 所以由第7题m*(A B)m*(ABm(G1G2)m(G1G2)= mG1mG2二 m*Am*B证毕。11设EurP，若对于任意的名:>0,存在闭集Fue，使得m*(EF)£g，证 明E是可测集水1证明 由条件对任何正整数 n