2020年浙江高考数学复习6.2等差数列

1、6.2等差数列挖命题【考情探究】考点内容解读5 年考情预测热度考题示例考向关联考点等差数 列的有 关概念 及运算1. 理解等差数列的概念.2. 掌握等差数列的通项公式.3. 掌握等差数列的前 n 项和公式.4. 了解等差数列与一次函数之间的关系.2016 浙江,6等差数列的概念三角形面积2015 浙江,3等差数列的通项公式、前 n 项和等比数列2014 浙江文,19等差数列的前 n 项和等差数 列的性 质及应 用能利用等差数列的性质解决有 关问题.2017 浙江,6等差数列的前 n 项和充分条件与必要条件分析解读1.等差数列知识属于常考内容.2. 考查等差数列定义、性质、通项公式、前n 项和公

2、式等知识.3. 灵活运用通项公式、前 n 项和公式处理最值问题、存在性问题是高考的热点4. 以数列为背景，考查学生归纳、类比的能力.5. 预计 2020 年高考试题中，等差数列的概念、性质、 通项公式、前 n 项和公式的考查必不可少.复习时 要足够重视.破考点【考点集训】考点一等差数列的有关概念及运算1. （2018 浙江绍兴高三 3 月适应性模拟,13）设 Sn为等差数列an的前 n 项和，满足 S2=S6,=2,则ai=_,公差 d=_.答案-14;42. （2018 浙江稽阳联谊学校高三联考,13）九章算术是我国古代著名的数学著作，其中有一道数列问题：“今有良马与驽马发长安，至齐，齐去长

3、安三千里.良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，问几日相逢及各行几何？”请研究本题，并给出下列结果：两马同时出发后第 9 天，良马日行 _里，从长安出发后第 _ 天两马第一次相遇.答案 297;16考点二等差数列的性质及应用1.（2018 浙江嵊州高三期末质检,7）设等差数列an的前 n 项的和为 S,若 a60,且 a7|a6|，则（）A.Sll+S20C.SlI Sl20答案 C2.（2018 浙江高考模拟训练冲刺卷一_ ,13）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn,且Q0,S8=SI,则弘=_使 Sn取到最大值的 n 为 答案 0;

4、9 或 10炼技法【方法集训】方法1等差数列中“基本量法”解题的方法1. （2018 浙江新高考调研卷一（诸暨中学）,5）已知公差不为 0 的等差数列an的首项 Q=3,若日2,日3,日6成等比数列，则an前 n 项和的最大值为（）A.3B.-1 C.-5 D.-3答案 A2. （2018 浙江杭州地区重点中学期中,14）设等差数列an的首项为 a】，公差为 d,前 n 项和为 Sn,且 S6=-15,则 d 的取值范围是 _;若 a1=-7,贝Ud 的值为_.答案 （-8,-2一U2一,+ g ）;3 或一方法2等差数列的判定方法1. （2018 浙江杭州地区重点中学第一学期期中，4）已知数

5、列an是等差数列，则数列bn 一定为等差数列的是（ ）A.bn=|an| B.bn= C.bn=-anD.bn=答案 C2. （2017 浙江金华十校调研，6）若等差数列an的公差为 d,前 n 项和为 S,记 bn,则（）A. 数列bn是等差数列，且公差为 dB. 数列bn是等差数列，且公差为 2dC. 数列an+bn是等差数列，且公差为 dD. 数列an-bn是等差数列，且公差为-答案 D过专题【五年高考】A组自主命题浙江卷题组考点一等差数列的有关概念及运算1.(2016 浙江,6,5 分)如图，点列An,Bn分别在某锐角的两边上，且 |AnAn+1| = |An+lAn+2|,An工 A

6、n+2,n N ,|BnBn+l| = |Bn+1Bn+2|,Bn工 Bn+2,n N . (P 工 Q 表示点 P 与 Q 不重合)若 dn= |AnB|,SnABnBn+1的面积,则()10,dS40 Bad0,dS40,dS40 Dad0答案 B3. (2014 浙江文,19,14 分)已知等差数列an的公差 d0.设an的前 n 项和为 Sn,a1=1,S2 Ss=36.(1) 求 d 及 Sn;(2) 求 m,k(m,k N*)的值,使得 am+am+1+am+2+am+k=65.解析(1)由题意知(2a1+d)(3a1+3d)=36,将日日代入上式解得 d=2 或 d=-5.2 *

7、因为 d0,所以 d=2.从而 an=2n-1,Sn=n (n N).(2)由(1)得 am+am+1+am+2+am+k=(2m+k-1)(k+1),所以(2m+k-1)(k+1)=65.由 m,k N 知 2m+k-1 k+11,故-所以评析 本题主要考查等差数列的概念、通项公式、求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力.考点二等差数列的性质及应用（2017 浙江,6,4 分）已知等差数列an的公差为 d,前 n 项和为 S,则“d0”是 0+325”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 CB组统一命题、省（区、市）卷题组考点一等差数列的有

8、关概念及运算1. （2018 课标全国I理,4,5 分）记 S 为等差数列an的前 n 项和.若 3S3=S+S,a1=2,则日5=（）A.-12B.-10C.10 D.12答案 B2. （2017 课标全国I理,4,5 分）记 S 为等差数列an的前 n 项和.若 a4+a5=24,S6=48,则an的公差为（）A.1B.2C.4 D.8答案 C3. （2017 课标全国山理,9,5 分）等差数列an的首项为 1,公差不为 0.若日2,日3,日6成等比数列，则an前 6 项的和为（）A.-24B.-3 C.3D.8答案 A4. （2016 课标全国1,3,5 分）已知等差数列an前 9 项的

9、和为 270=8,则。巩）A.100B.99 C.98 D.97答案 C5. （2018 北京理,9,5 分）设an是等差数列，且 a=3,a2+日5=36,则an的通项公式为 _ .答案an=6n-36. （2017 课标全国U理,15,5 分）等差数列an的前 n 项和为 S,a3=33=10, _则-=_ .答案 7. （2016 江苏,8,5 分）已知an是等差数列,Sn是其前 n 项和.若日什=-3,S5=10,则日9的值是_ .答案 208. （2016 北京,12,5 分）已知an为等差数列，Sn为其前 n 项和.若 a=6,a3+日5=0,则 S=_.答案 69. （2018

10、北京文,15,13 分）设an是等差数列，且 a=ln 2,a2+a3=5ln 2.（1） 求an的通项公式；（2）求 + +.解析（1）设an的公差为 d.因为 az+a3=5ln 2,所以 2a1+3d=5ln 2.又 a1=ln 2,所以 d=ln 2.所以 an=a1+（n-1）d=nln 2.因为=eln 2=2,=-=eln 2=2,所以是首项为 2,公比为 2 的等比数列-n所以 + +=2X_=2(2-1).10.(2016 山东,18,12 分)已知数列 0的前 n 项和 S=3n2+8n,bn是等差数列，且 an=bn+bn”.(1)求数列bn的通项公式；令 Cn=_,求数

11、列Cn的前 n 项和 Tn.解析由题意知，当 n 2 时,an=Sn-Sn-1=6n+5.当 n=1 时,a1=S1=11,所以 an=6n+5.设数列bn的公差为 d.由即 可解得 b1=4,d=3.所以 bn=3n+1.(2)由(1)知 Cn=- =3(n+1) 2n+1.又 Tn=G+C2+Cn,得 Tn=3X2X 22+3X 23+(n+1)X2n+1,2Tn=3X2X 23+3X 24+(n+1)X2n+2,两式作差，得-Tn=3X2X 22+23+24+2n+1-(n+1)X2n+2=3X -=-3n 2n+2.所以 Tn=3n 2n+2.方法总结若某数列的通项是等差数列与等比数列

12、的通项的积或商，则该数列的前 n 项和可以采用错位相减法求解，注意相减后的项数容易岀错.评析 本题主要考查了等差数列及前n 项和,属中档题.11.(2014 大纲全国,18,12 分)等差数列 &的前 n 项和为 S 已知 a1=10,a2为整数,且 S 0,10+4dw0.解得-wdw-_.因此 d=-3.故数列an的通项公式为 an=13-3n.(6 分)(2)bn=于是 Tn=b1+b2+b=_ =_(12 分)评析 本题考查了等差数列的定义及其前 n 项和、裂项相消法求数列前n 项和.第(1)问的解题关键在于分析已知条件“a2为整数”“ Sn0,则日2+日30B. 右日1+日3

13、0,则日1+日20C. 若 0日1D. 若 a0答案 C2. (2015 重庆,2,5 分)在等差数列an中，若 a2=4,a4=2,则日6=()A.-1 B.0C.1D.6答案 B3. (2015 广东,10,5 分)在等差数列an中，若 a3+a4+a5+&+a7=25,则 a2+a8=_.答案 104. (2014 北京,12,5 分)若等差数列an满足 a7+a+a90,a7+a10,则当 n=_ 时,an的前 n 项和最大.答案 85. (2014 江苏,20,16 分)设数列an的前 n 项和为 Sn.若对任意的正整数 n,总存在正整数 m,使得 Sn=a“则称 an是“H

14、 数列”.(1)若数列an的前 n 项和 S=2n(n N),证明:an是“ H 数列”；设an是等差数列，其首项 a1=1,公差 d0.若an是“H 数列”，求 d 的值；证明：对任意的等差数列an，总存在两个“ H 数列” bn和Cn,使得 an=bn+Cng N)成立.解析(1)证明：由已知得，当 n1 时,an+1=Sn+1-Sn=2n+1-2n=2n.于是对任意的正整数n,总存在正整数 m=n+1,使得 Sn=2n=am.所以an是“H 数列”.由已知，得 S2=2a1+d=2+d.因为an是“H 数列”，所以存在正整数 m,使得 S=aq 即 2+d=1+(m-1)d,于是 (m-

15、2)d=1.因为 d0,所以 m-20,故 m=1.从而 d=-1.当 d=-1 时,an=2-n,Sn=是小于 2 的整数,n N.于是对任意的正整数 n,总存在正整数 m=2-S=2- , 使得$=2诃=為所以an是“H 数列”.因此 d 的值为-1.(3)证明:设等差数列an的公差为 d,则 an=a+(n-1)d=na1+(n_1)(d_a J(n N*).令 bn=na1,cn=(n-1)(d-a1),贝Ua“=bn+Cn(n N),下证bn是“H 数列”.设bn的前 n 项和为 Tn,则 Tn=a*n N).于是对任意的正整数 n,总存在正整数 m,使得 Tn=bm 所以bn是“

16、H 数列”.同理可证Cn也是“ H 数列”.所以，对任意的等差数列an,总存在两个“ H 数列bn和Cn,使得第+ N).评析本题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识，考查探究能力及推理论证能力.C组教师专用题组考点等差数列的有关概念及运算1. (2014 福建,3,5 分)等差数列an的前 n 项和为 S”,若 ai=2,S3=12,则 a6等于()A.8B.10 C.12 D.14答案 C2. (2014 辽宁,8,5 分)设等差数列an的公差为 d.若数列为递减数列，则()A.d0Cad0答案 C3. (2015 安徽,13,5 分)已知数列an中,a1=1,an=an“+_(n 2)

17、,则数列an的前 9 项和等于 _答案 274. (2017 课标全国I,17,12 分)记 S 为等比数列an的前 n 项和.已知 S=2,S3=-6.(1) 求an的通项公式；(2) 求 Sn,并判断 Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.解析本题考查等差、等比数列.(1)设an的公比为 q,由题设可得解得 q=-2,a1=-2故an的通项公式为 an=(-2)n.由(1)可得 Sn=一=-+(-1)n.由于s+2+S+1=-+(-1)n-=2_- -=2Sn,故 Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.方法总结等差、等比数列的常用公式：(1)等差数列：递推关系式:an+1-an=d,常用于

18、等差数列的证明.通项公式：an=a1+(n-1)d.前 n 项和公式:Sn=na1+ d.等比数列：递推关系式：=q(q半0),常用于等比数列的证明.n-1通项公式:an=aiq.前 n 项和公式:Sn=-在证明 a,b,c 成等差、等比数列时，还可以利用等差中项：一=b 或等比中项:a c=b2来证明.5.(2015 福建,17,12 分)等差数列an中,a2=4,日4+日7=15.(1) 求数列an的通项公式；(2) 设 bn=-+n,求 B+b2+b3+的值.解析(1)设等差数列an的公差为 d.由已知得解得所以 an=a1+(n-1)d=n+2.(2)由(1)可得 bn=2n+n.所以

19、 bi+b2+b3+b10=(2+1)+(22+2)+(23+3)+ +(210+10)=(2+22+23+ +210)+(1+2+3+ +10)=-+-=(211-2)+55=211+53=2 101.评析 本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识，考查运算求解能力.【三年模拟】一、选择题(每小题 4 分，共 12 分)1. (2019 届浙江名校协作体高三联考，9)已知公差为 d 的等差数列an的前 n 项和为 S,若存在正整数 n。，对任意正整数 m,使得 0 恒成立，则下列结论不一定成立的是()A.a1d0D. 0答案 C2. (2018 浙江温州高三质量检查，5)已知数列a

20、n满足=25 ,且 a2+a4+a6=9,则 Io _+&)=()A.-3 B.3C.- D.-答案 A3.（2018 浙江七彩阳光”联盟期中，5）已知等差数列an,Sn表示前 n 项的和，a5+a”0,a6+a90,则满足 S0的正整数 n 的最大值是（）A.12 B.13 C.14 D.15答案 C二、填空题（单空题 4 分，多空题 6 分,共 16 分）4. （2019 届镇海中学期中考试,16）已知数列an为等差数列，其前 n 项和为 Sn,且 2ai+3a3=S,现给出以下结论：a10=0；S0最小；S7=S12；S19= 0.其中正确的是（填序号）.答案5. （2018 浙

21、江诸暨高三上学期期末,11）已知等差数列an的前 n 项和为 S,若空=503=12,则公差 d=_通项公式 an=_ .答案 1;n+26. （2018 浙江名校协作体,12）已知an是公差为-2 的等差数列，Sn为其前 n 项和,若 a2+1,a5+1,a7+1 成等比数列，则a1=,当 n=时,Sn有最大值.答案 19;10三、解答题（共 45 分）7. （2019 届衢州、湖州、丽水三地教学质量检测,20）设正项数列an的前 n 项和为 S,a1=2,且 1+,3,1-成等差数列（n N）.（1） 求数列an的通项公式；（2）证明：-1_+_+_0,所以 S0,所以 Sn=2一.（4 分）当 n 2 时,an=S-Sn“=2 -2-,当 n=1 时,a1=2 也满足上式，所以 an=2 一-2- （n N*）.（6 分）由（1）知 Sn=2 一，所以一=r一_=-一.（8 分）所以一 + +-1.（10 分）又因为一= 2）.（12 分）当 n 2 时，1 11一w+ -1=-.（14 分） 当 n=1 时上式也成立-1v_+_+_ 2 且 n N).(1) 求证:an+1-an为等差数列;令 bn=_- _,设数列bn的前 n 项和为 Sn,求SSn的最大值.解析(1)证明：由题意可得 an+l+an-1=2an+2(n 2),则(a n+i-a n)-(a