微积分1复习1ppt课件

1、三、三、 连续与间断连续与间断 二、二、 无穷小与无穷大无穷小与无穷大 一、一、 求极限求极限 微积分微积分复习复习机动 目录 上页 下页 返回 完毕 极限与连续极限与连续三、三、 可导与连续的关系可导与连续的关系 二、二、 求导数、微分求导数、微分 一、一、 导数、微分的定义导数、微分的定义 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 导数与微分导数与微分三、三、 函数性态及函数作图函数性态及函数作图 二、二、 极值，最值问题极值，最值问题 一、中值定理一、中值定理 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 中值定理与导数应用中值定理与导数应用三、三、 定积分的几何应用定积分的几何应用 二、二、 定积分定

2、积分 一、一、 原函数与不定积分原函数与不定积分 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 积分法积分法三、三、 幂级数及函数的幂级数展开幂级数及函数的幂级数展开 二、二、 绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛 一、一、 正项级数审敛法正项级数审敛法 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 级数级数一、一、 极限与连续极限与连续1. 函数连续的等价形式)()(lim00 xfxfxx)()(,000 xfxxfyxxx0lim0yx)()()(000 xfxfxf2. 函数间断点第一类间断点第二类间断点可去间断点跳跃间断点无穷间断点振荡间断点机动 目录 上页 下页 返回 完毕 Axfxx)(lim00l

3、im,0, )0(C,1,0limCk3. 无穷小的比较设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且 是 的高阶无穷小 是 的低阶无穷小 是 的同阶无穷小 是 的等价无穷小 是 的 k 阶无穷小机动 目录 上页 下页 返回 完毕 3. 等价量替换求极限常用等价无穷小: xsin;xxtan;xxcos1;221xxarctan;xxarcsin;x)1ln(x;x1xe;x1xa;lnax1)1 (x;x机动 目录 上页 下页 返回 完毕 0 x4. 利用函数极限求数列极限.)(limnnxfAxfxx)(lim00 xnx 5. 函数极限及数列极限收敛准则.6. 两个重要极限1sinlim)

4、 1 (0e)11(lim)2(或e1)1(lim0注注: 代表相同的表达式代表相同的表达式机动 目录 上页 下页 返回 完毕 7. 罗比达法则有界定理 ; 最值定理 ; 零点定理 ; 介值定理 .8. 闭区间上连续函数的性质例例1. 1)设函数)(xf,2)cos1 (xxa0 x,10 x, )(ln2xb0 x在 x = 0 连续 , 那么 a = , b = .解解20)cos1 (lim)0(xxafx2a221cos1xx)(lnlim)0(20 xbfxblnbaln122e机动 目录 上页 下页 返回 完毕 )cos(sin5213lim)222xxxxxxx0) 1)()(x

5、axbexfx有无穷间断点0 x及可去间断点, 1x解解:为无穷间断点,0 x) 1)(lim0 xaxbexx所以bexaxxx) 1)(lim0ba101,0ba为可去间断点 ,1x) 1(lim1xxbexx极限存在0)(lim1bexxeebxx1lim例例2. 设函数设函数试确定常数 a 及 b .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例3. 当当0 x时,32xx 是x的几阶无穷小?解解: 设其为设其为x的k阶无穷小,那么kxxxx320lim0C因kxxxx320lim3320limkxxxx 330)1 (lim2321xxkx故61k机动 目录 上页 下页 返回 完毕 )0(

6、1612361332xxxxxx或例例4. 当当0 x时,解解: 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 低阶，而较是较xxxeex2cos.,21ln)2cos1 (的取值范围求高阶的无穷小xx) 1()1(coscos22xxxxxxeeee5221) 1(cosxxx0 x16242121ln)2cos1 (32xxxxx53例例5. 求求.sin12lim410 xxeexxx解:xxeexxxsin12lim410 xxeeexxxxsin12lim43401xxeexxxsin12lim410 xxeexxxsin12lim4101原式 = 1 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例

7、6. 求求机动 目录 上页 下页 返回 完毕 .)321 (lim1xxxx解解: 令令xxxxf1)321 ()(xxx11)()(33231那么)(xf3x133利用夹逼准则可知.3)(limxfx型. )tan(seclim2xxx解解: 原式原式)cossincos1(lim2xxxxxxxcossin1lim2xxxsincoslim20例例7. 求求例例7. 求求机动 目录 上页 下页 返回 完毕 .)arctan(limln12xxx解解: 原式原式e.ln)arctanln(lim2xxxe.111arctan1lim122xxxxe.1arctanlim2221xxxxxex

8、xxarctanlim21exxx21lim1 e0例例8. 求求xettexxxxxarcsin) 1(dsinlim22032030320dsinlim2xttexxx解解: 原式原式93)9sin(3lim220 xxx例例9. 求极限：求极限：机动 目录 上页 下页 返回 完毕 0limxxxxcot110limxxxxcot)121(e2e)(lim12sincos0 xxxxx1xxxxxxx12cot211210limxe2e)(lim1210 xxxx解解2: 原式原式解解1: 原式原式e)1ln(lim12sincos0 xxxxx二、二、 导数与微分导数与微分 导数 :xx

9、fxxfxfx)()(lim)(0当时,为右导数当时,为左导数0 x)(xf0 x)(xf 微分 :xxfxfd)()(d机动 目录 上页 下页 返回 完毕 关系关系 :可导可微可导连续xyx0lim导数和微分的求法导数和微分的求法1. 正确使用导数及微分公式和法则 2. 熟练掌握求导方法和技巧(1) 求分段函数的导数注意讨论界点处左右导数是否存在和相等(2) 隐函数求导法对数微分法(3) 参数方程求导法(4) 复合函数求导法 (可利用微分形式不变性)(5) 高阶导数的求法逐次求导归纳 ;间接求导法;机动 目录 上页 下页 返回 完毕 3. 可变上限函数求导法可变上限函数求导法例例1.1.设设

10、)(xf在2x处连续,且, 32)(lim2xxfx求. )2(f 解解:)2(f)(lim2xfx02)2()(lim)2(2xfxffx2)(lim2xxfx3机动 目录 上页 下页 返回 完毕 解解:)0(f例例2. 设设0,0,1)(1xAxexxfx在 x = 0 连续, 求A.00)0()0(Aff111lim10 xexxx)0(f011lim10 xexxx.)0( 不存在f 例例3. 设设0,00,arctan)(21xxxxfx, 求. )(xf 解解:xfxffx)0()(lim)0(0)(xf0,2x导函数在 x = 0 连续性？机动 目录 上页 下页 返回 完毕 那么2arctanlim210 xxxx0,121arctan422xxxx注意注意: )0()0(ff问题问题:)()0(2)(lim0 xffxfx在 x = 0 连续.例例4. 4. 求求1ln4sinxxxeexy的导数 . 解解:)4sinln4cos4(4sinxxxxxyx机动 目录 上页 下页 返回 完毕 )1ln(21ln4sinxxxexey12121xxee例例5. 5. 设设)(tfx, 且,0)( tf求.dd33xy ddxy)(tft )(tf , t dd22xy1)(tf 解解:)()(tftfty233)(