椭圆标准方程及其性质知识点大全

1、【专题七】椭圆标准方程及其性质知识点大（一）椭圆的定义及椭圆的标准方程：椭圆定义：平面内一个动点P到两个定点f1、 f2的距离之和等于常数(PF!+ PF2=2a > FT?）,这个动点P的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的 焦点，两焦点的距离叫作椭圆的 焦距.注意：若（PF,= FiF2），则动点P的轨迹为线段Fl F2 ；爲L若(PF,+ PF< F1F2 ），则动点P的轨迹无图形22y2 x2 =1 (a . b O) a b图形BR焦占八'、八、Fi(-c,O)，F2(c,0)Fi(O,c)，F2(0,c)焦距F1F2=2cFiF2范围x -a，y <b性质对称性

2、关于x轴、y轴和原点对称顶点Ga,O) , (0,-b)(0,-a), (_b,0)轴长长轴长AA2, aa=2a，短轴长 B1B2, IB1B2 = 2b（二）椭圆的简单几何性：标准方程是指中心在原点，坐标轴为对称轴的标准位置的椭圆方程。2 2标准方程x2y2 =1 (a b O)a b离心率 e = C (0cec1)， e =1(b)2 c2 = a2_b2 aVa(离心率越大，椭圆越扁)【说明】：1方程中的两个参数a与b,确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定型条件，焦点Fi，F2的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型，常数a，b，c都大于零，其中a 最大且 a2 =b2+c2.

3、2 22.方程Ax By -C表示椭圆的充要条件是：ABC工0,且A，B，C同号，A2 2椭圆标准方程为：笃每=1 (a b 0)，椭圆焦点三角形：设P为椭圆上任意一点,a2b2Fi,F2为焦点且/ RPF2-V则厶F1PF2为焦点三角形，其面积为SpF1F2(四)通径：如图：通径长|MN|=d-a2 2椭圆标准方程: J化a b(五)点与椭圆的位置关系=1 (a b 0)，(1 )点P(x), yo)在椭圆外x占八、a-” = 1 ；2 二=b ta n。2(3)点P(Xo, yo)在椭圆内U(六)直线与椭圆的位置关系2+ £=1 (a> b> 0)，联立组成方程b22

4、设直线I的方程为：Ax+By+C=0，椭圆% a组，消去y(或x)利用判别式的符号来确定：(1)相交：厶-0=直线与椭圆相交；(2)相切：厶=0=直线与椭圆相切;(3)相离：.：0=直线与椭圆相离;(七)弦长公式：2 2若直线 AB: y=：kxb与椭圆标准方程：冷笃=1 (a . b . 0)相交于两点a bA(x1,y1) > B(X2,y2)，把AB所在直线方程y=kx+b，代入椭圆方程=1整理得:2Ax +Bx+C=0。弦长公式： AB = J1 + k 捲x2 =(1 +k2 J(x1 + x2)2 4x2 =(1 十 k2(含-2 ax的方程)AB1 2:-2 Jy1 y2)

5、-4y2 k(含y的方程)(八)圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用 “韦达定理”或“点差法”求解。设 A x1, y1 ， B x2, y2 是椭圆2b1(a b 0)上不重合的两点，X<| + X2X02y1 十 y2y0 _2L1 1b2 ，弋12b两式相减得b22a所以1式可以解决与椭圆弦此法称为点差法.丫1 - y2X1 _X2X1X2 捲 一 X2y1y25 一 2门2 2 0 aX2y2X1-y1(设而不求椭圆标准方程：2 2乞丄a2b2b2ab的斜率及中点有关的问题,)(a b 0)，以皿(冷，丫0)为中点的弦所在直线的斜率直线AB的斜率kAB，M X0，y。是线段

6、AB的中点坐标,2 2 x2k阪二-禺；a=1 (a b 0)，以M(X。，yo)为中点的弦所在直线的斜率椭圆标准方程：-y_2_ 'a bk -koM -斜率为k的弦的中点轨迹方程：设弦PQ的端点为P(x1 , y1) , Q(x2 , y2),中点为m(x0,2 2 _y0)，把P, Q的坐标代入椭圆方程后作差相减用中点公式和斜率公式可得a b (椭圆内不含端点的线段)。【考点指要】在历年的高考数学试题中，有关圆锥曲线的试题所占的比重约占试卷的15%左右，且题型，数量，难度保持相对稳定：选择题和填空题共2道题，解答题1道，选择题和填空题主要考查圆锥曲线的标准方程，几何性质等；解答题往往是以椭圆，双曲线或抛物线为载体的有一定难度的综合题，问题涉及函数，方程，不等式，三角函数，平面向量等诸多方面的 知识，并蕴含着数学结合，等价转化，分类讨论等数学思想方法，对考生的数学学科能力及思维能力的考查要求较高。主要考查：圆锥曲