概率论和数理统计考研真题集与答案解析

1、考研真题一1 .已知A,B两个事件满足条件 P(AB) =P(AB),且P(A) =p，则P(B)=；94数一考研题2 .设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为 1%和2%,现从由A和B 的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次 品属 A生产的概率是 .96数一考研题3 .袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球，今有两人依次 随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 .97数一考研题4 .设 A, B 是两个随机事件，且 0<P(A) <1, P(B)>0, P(B| A) =P(B | A), 则必有().98数一

2、考研题(A) P(A|B) =P(A|B);(B) P(A|B) -P(A|B);(C) P(AB) =P(A)P(B);(D) P(AB) =P(A)P(B).5 .设两两相互独立的三事件 A, B和C满足条件：_ _ _1ABC =._ , P(A) =P(B) =P(C) 2,且已知P(aUbUc)=,则P(A)=.99数一考研题16 一 1. . .6 .设两个相互独立的事件 A和B都不发生的概率为 -,A发生B不发生9的概率与B发生A不发生的概率相等，则P(A)=.00数一考研题7 .从数1, 2, 3, 4中任取一个数，记为X,再从1,，X中任取一个数， 记为 Y,则 PY =2

3、= .05数一考研题8 .设A, B为随机事件，且P(B) >0, P(A|B)=,则必有().(A) P(ALB) >P(A);(B) P(AU B) >P(B);06数一考研题(C) P(A' 'B) =P(A);(D) P(A'. B) =P(B).9 .某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为P(0<P<1),则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为().07数一考研题(A) 3p(1-p)2;(C) 3p2(1p)2;(B)(D)6p(1-p)2；6P2(1-p)2.1 .3 .考研真题二1 .设随机变量X的概率密度

4、为e" x>0,fx (x) ="k 0, x <0,求随机变量Y=ex的概率密度fY(y).95数一考研题2 .设随机变量X服从正态分布N ( h er2) (cr>0),且二次方程y2 4y X =01 一,无头根的本率为 一，则!=.02数一考研题23 .在区间(0,1)中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于1的概率为.07数一考研题4 .设随机变量X的分布函数为F(x) =0.3：.：，(x) 0.7守) 1 ,其中G(x)为标准正态分布函数，则E(X)=().09数一考研题(A) 0 ；(B) 0.3 ；(C) 0.7;(D) 1 .考研真

5、题二1 .设相互独立的两个随机变量X, Y具有同一分布律，且X的分布律为X 0_1_王迈至则随机变量 Z=max(X, Y)的分布律为.94数一考研题2 .设X和丫为两个随机变量，且34PX _0,Y _0 =-, PX_0=PY_0=,贝1J Pmax( X, Y)之0 =.95数一考研题3 .设平面区域D由曲线y=及直线y=0,x=1,x=e2所围成，二维随 机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布，则(X, Y)关于X的边缘概率密度在 x = 2 处的值为 .98数一考研题4 .设两个相互独立的随机变量X和丫分别服从正态分布N(0,1)和N(1,1),贝1J ().99数一考研题_.1_.

6、1(A) PX Y 三 0=一；(B) P X 丫 三1二一；22_ _.1_.1(C) PXY_0=;(D) PX_Y_1=一.225.设随机变量X与丫相互独立，下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分.3 .5 .y1y2y3P X =xi = Rx11/8x21/8P Y = yi = p j1/61布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中6.设某班车起点站上客人数X服从参数为K(Z0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p(0<p<1),且中途下车与否相互独立，以丫表示99数一考研题的空白处在中途下车的人数，求:12.随机变量X的概率密度为(1)在

7、发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率；(2)二维随机变量(X,Y)的概率分布.01数一考研题fx(x)=,1/2,1/4,0,-1 ： x ：二 00 < x ：- 2其它7.设X1和X2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度令丫 =X2, F(x, y)为二维随机变量(X, Y)的分布函数.06数一考研题分别为f1(x)和f2(x),分布函数分别为F1(x)和F2(x),则().(1)求丫的概率密度fY ( y); F(1/2, 4).(A)f1(x) +f2(x)必为某一随机变量的概率密度13.设随机变量(X,Y)服从二维正态分布，且X与丫不相关，fx(x),

8、fY(y)(B)f1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度(C)(D)F1(x) +F2(x)必为某一随机变量的分布密度F1(x)F2(x)必为某一随机变量的分布密度分别表示X, 丫的概率密度，则在Y=y的条件下，*的条件概率密度fX|Y(x|y)为().07数一考研题02数一考研题8.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为bx, 0 <x <y <1,(A)fX(x)；(B) fY(y);(C) fX(x)fY(y);(D)fX (x)fY(y)f (x, y) =*14.设二维随机变量(X,Y )的概率密度为其它.则 P X Y _1=03数一考研题f(x,y)=/2x

9、y, 0 ：: x ：: 1, 0 ：: y ：: 10,其它9.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为求 P X . 2Y ;1, 0 <x <1, 0 <y <2x ,(口)求Z=X+Y的概率密度fz(z).07数一考研题f(x,y)=" '0,其它.15.设随机变量X,Y独立同分布且X分布函数为F(x), 则Z = maxX,Y求：(1) (X,Y)的边缘概率密度fX(x), fY(y);分布函数为().08数一考研题(2) Z =2X孑的概率密度fz(z).05数一考研题10.设二维随机变量(X,Y)的概率分布(A) F2(x)；(C) 1-h-

10、F(x)2;(B) F(x)F(y)；(D) l.1-F(x) Il1-F(y).X Y0100.4a_1_b_0.116.设随机变量X与丫相互独立，X的概率分布为已知随机事件*4与*+丫=1相互独立，则().Y的概率密度为fY(y)=«1,05数一考研题1PX=i=1 (i -1,0,1),309y三1升.tEZ=X+Y.其它(A) a =0.2 , b =0.3 ；(B) a =0.4, b =0.1;(C) a =0.3 , b =0.2 ;(D) a =0.1, b =0.4.求(1) PX=0f;2(2)求Z的概率密度.08数一考研题11.设随机变量X与丫相互独立，且均服从

11、区间0, 3上的均匀分布，则17.设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布 N(0, 1), 丫的Pmax X,Y <1=06数一考研题1、，一、一 概率分布为P Y=0 =P Y =1 =2 ,记Fz(z)为随机变重Z=XY的分布函数，.5 .7 .则函数FZ的间断点个数为().09数一考研题(A) 0 ;(B) 1;(C) 2 ;(D) 3.18.袋中有一个红色球，两个黑色球，三个白球，现有放回的从袋中取两次，每次取一球，以X, Y, Z分别表示两次取球的红、黑、白球的个数 (1)求PX=1 Z=0;(2)求二维随机变量(X,Y)的概率分布.09数一考研题考研真题四1 .设二维

12、随机变量(X,Y)服从二维正态分布，则随机变量g = X+Y 与 *1=XY不相关的充分必要条件为().00数-考研题_2_2_2_2(A) E(X)-E(Y);(B) E(X2)_E(X)2 = E(Y2)_E(Y)2;2_22222(C) E(X2) =E(Y2);(D) E(X2) E(X)2 = E(Y2) E(Y)2.2 .某流水生产线上每个产品不合格的概率为p(0<p<1),各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了产品个数为 X,求X的数学期望E(X)和方差D(X).00数一考研题3 .将一枚硬币重复掷 n次，以X和丫分别表

13、示正面向上和反面向上的次数，则X和丫的相关系数等于().01数一考研题_ 1_(A) -1；(B) 0；(C) - ；(D) 1.24 .设随机变量X的方差为2,则根据切比雪夫不等式有估计P|X-E(X)|_2<.01数一考研题5 .设随机变量X的概率密度为02数-考研题"1 x _ "cos ,0MxM冗，f (x) = J 220 0,其他.对X独立地重复观察4次，用丫表示观察值大于 名的次数，求Y2的数学期 3望.6 .已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有 3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品，从甲箱中任取3件产品放入乙箱中，求：(1)乙箱中次品

14、件数X的数学期望；(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率03数-考研题7 .设随机变量X1, X2:，Xn(n>1)独立同分布，且其方差为a2>0.令.8 .8 .则()._2(A) cov(Xi,Y) n(C) D(Xi Y) =n-2 02 n04数一考研题(B) cov(Xi,Y) =c-2;(D) D(Xi -Y) =n1 02. n111A8.设 A, B 为随机事件，且 P(A) =-，P(B | A) =-, P(A| B)=-,令 432丫fl, A发生，v1, B发生，XY1o, A不发生；lo, B不发生.求：(1)二维随机变量(X,Y)的概率分布；2 2) X

15、与丫的相关系数 FXY.04数一考研题9 .设随机变量 X服从正态分布 N(H, 52), Y服从正态分布 N(达，仃2), 且 P|X TI ：二1 P|Y-2| ：二1, 贝U ().06数一考研题(A)二1 ：二：2；(B)二1 二2；(C)1：二口2；(D)产士.10 .设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则2、P X =E(X) =.08数一考研题11.设随机变量XN(0,1), 丫N(1,4)且相关系数 &y=1-iJ().(A) PY =2X -1 =1;(C) PY =2X 1 =1；(B) PY =2X -1 =1;(D) PY =2X +1 = 1.08数一考研题考

16、研真题五1.从正态总体N (3.4, 62)中抽取容量为n的样本，如果要求其样本均值位于区间(1.4, 5.4)内的概率不小于0.95，问样本容量附表：标准正态分布表n至少应取多大？98数一考研题"e2 dta,.： 2二z1.281.6451.962.33中(z)0.9000.9500.9750.990中=J2.设总体X服从正态分布N(k,cr2)(cr>0),该总体中抽取简单随机样本1，2n、X1, X2,，X2n(n22),其样本均值为X = £ Xi ,求统计量2n yn2、-' (Xi Xn i -2X)ii1的数学期望E(Y).01数一考研题1 一

17、,3.设随机变量 Xt(n)(n>1), Y=2 ,则().X(A) Y2(n)；(C) 丫F(n,1)；(B) Y 2(n-1);(D) 丫F(1, n).03数一考研题4.设X1, X2,，Xn (n之2)为来自总体N(0, 1)的简单随机样本，X为样本均值, S2为样本方差，则().05数一考研题(A)nX N(0,1);(C)中S； S(B) nS2 2(n);2(n - - 1)X 1(D)F (1, n-1).、'、Xi2 i =25.设X1, X2," Xn (n>2)为来自总体N (0,1)的简单随机样本，X为样本均值，记Yi =Xj X, i=1

18、,2，n.求: Yi 的方差 D(Yi), i=1,2，n;Y1与Yn的协方差cov(Y1 , Yn ).05数一考研题.9 .11 .6.设总体X的概率密度为1.设总体X的概率密度为考研真题六f(x)=<0,x"f(x)=,0，(U ”口 0 ：:：x ：:：1,其它.其中日是未知参数，X1,X2,: Xn是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本，试分别用矩估计法和最大似然估计法求的估计量2.设总体X的概率密度为97数一考研题f (x) =*Xi, X2二Xn是取自总体X0,的简单随机样本其它.(1)求8的矩估计量6；求0的方差D (0).3.设某种元件的使用寿命X的概率密度

19、为f(x; 0) =上2e“99数一考研题0,其中日0为未知参数，又设xi,x2,xn是X的一组样本观测值，求参数日的最大似然估计值.00数一考研题4.设总体X的概率分布为p 日2 20(1 -9)日2 1 -20其中日(0 日1/2)是未知参数，利用总体X的如下样本值3, 1, 3, 0, 3,1, 2,3,求e的矩估计值和最大似然估计值.02数一考研题5.已知一批零件的长度 X (单位：cm)服从正态分布N (出1),从中随机 地抽取16个零件，得到长度的平均值为 40(cm),则N的置信度为0.95的置信 区间是 .03数一考研题(注：标准正态分布函数值 9(1.96) =0.975,

20、6(1.645) =0.95)其中日0是未知参数.从总体X中抽取简单随机样本X1, X2；-x1 -min(Xi, X2,，Xn).X n,记求总体X的分布函数F (x);求统计量0的分布函数F(x);如果用日作为8的估计量，讨论它是否具有无偏性.7.设总体X的分布函数为F(x;P)=/ xPL. 0,x1,其中未知参数P A1, X1, X2，'，Xn为来自总体X的简单随机样本(1) P的矩估计量；(2) P的最大似然估计量.8.设总体X的概率密度为re,f(x,8) =1-0, 1<x <2其中8是未知参数(061), x03数一考研题,求:04数一考研题其它1， x2

21、,xn为来自总体的随机样本，记N为样本值x1，x2，xn中小于1的个数，9.设总体X的概率密度为求e的最大似然估计.06数一考研题2-，1f (x;u)=2(1 -1)0,其它其中参数日(0 日1)未知，X1, X2，Xn是来自总体X的简单随机样本是样本均值.07数一考研题.13 .12 .(I)求参数日的矩估计量0;(口 )判断4X2是否为日2的无偏估计量，并说明理由.10.设Xi, X2，Xn是总体为N(R,。2)的简单随机样本.记nn12122 12X =1 " Xi , S =-( (Xi X ) , T =X - S .n i 1n -1 i jn(1)证T是N2的无偏估计

22、量；(2)当N用，仃=1时，求D(T ).08数一考研题11 .设X1, X2，: Xm为来自二项分布总体 B(n, p)的简单随机样本，X和S 2分别为样本均值和样本方差.若X +kS2为np2的无偏估计量，则k亍.09数一考研题12 .设总体X的概率密度为£2xe Tx, x >0f(x)=,、0, 其他其中参数M九网未知，X1,X2，,xn是来自总体X的简单随机样本.(1)求参数九的矩估计量；(2)求参数K的最大似然估计量.09数一考研题考研真题七1.设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成 绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分，问在显著性水

23、平0.05下，是否可 以认为这次考试全体考生的平均成绩为 70分？并给出检验过程.98数-考研题附表：t分布表Pt(n)<tp(n) 二 ptp(n、Pn0.950.975351.68962.0301361.68832.0281.13.14 .考研真题答案1. 1 p.2. 3/7.3. 2/5.4.C.5. 1/46. 2/3.7. 13/48.8. C.9.C.考研真题二1. fy(y) =«0, y <1, ,y12, y-1.2. 4.3.3. 44. C.考研真题一考研真题三3 31 8；y ,0<y<112. (1)fY(y)=<4 ,1<y<4;:.8寸y4_ 0,其它13.A.14.(1):；(U)fz(z)z(2-z), 0cz<1 2(2-z)2,1<z<2.0,其它11/3,-1<z<215. A.16. (1) ； (2) f(z)= 0其它.17. A.18. (1) - ; (2)X901201/41/61/3611/31/9021/900考研真题四6.7.9.Z01p1/43/