数值分析部分课后答案第二版朱晓临

1、数值分析第二版朱晓临第一章习题3.324.045 324.060.0876 60.092.00043 2.0006.1x x* |151 1 1* vx | 2a1a-i2故它的相对误差限为0.005%0.00035167 0.000351741410 4 10 40.005% (1 < 印 < 9)20.玄1 a? .an10n0心尼2 .an10n v0. a1 1n10相对误差限=0.03%x*x*xx v 0.03% 0.(a 1+1)x x10n=0.3(0.a 1+1) 10n 3v 0.510n 3至少有3位有效数字。7.A (、2 1)6,取. 2 1.4,则A*0

2、.004096取. 21.4 时,0.00523278 3 2、20.0080.005125261 99 70,2 1所以利用第三个得到的计算结果的绝对误差最小。8.由函数的绝对误差公式：e(f(x*)f'(x*)e(x*)令 f (x) x , f (x ) (x ) ,x 100 cm由题目得，e( f (x*) 1， f '(x*) 2x*把代入，得：12x* e(x*)12 100 e(x*)e(x )0.005cm1 cm2。边长的测量误差不超过0.005cm时，才能使其面积的误差不超过11.令f (x) Inx,则 f(x*) lnx*由公式e(f(x*) f

3、9;(x*)e(x*)，得：* 1 *e( f(x ) p x x 0.5 10 Ixr(X ),由此可知,r(X)0.510 1所以X的相对误差限为0.5 10 1，有I位有效数字。14.I n 5In 10 二ln,n5其中I11*为初值11 nx dx6 01I 丄n 15n1 xn0厂1.解:设f (x)f(1) 1x51 n 11x dx 0n10,9,.,1,06(n+1)16 12In1110.01388891 1 n-dxxndx55 015(n+1)15 12I110.0166667*0.01388890.0166667I110.0777785把In*代入Inx3215n1I

4、n,n 10,9,.,1,0即可得到In的近似值。5第3章习题4x210,100, f (2)8 4 22101408x,则 xf '(x) 3x2故，由根的存在定理，知1,2, f(x) 0f (x)0在1,2内有且仅有一根。a 1, b 2, f (a)0,取a,b的中点 f (x°) 将区间二等分，由于 此时令 a1 a 1, b1 如此反复二分下去。f(b) 0,2.375,f (Xo)1.5,X。0,即f (b)与f (x0)同号， 得到新的有根区间ai ,bi,F面估计二分的次数。x* Xnb a2 n 1ln( b a)In 22 n 1In 212In1 In

5、 0.01In 210 2,即10 26.6647.具体计算见下表nanbnxnf(Xn)符号01.000000002.000000001.50000000+11.000000001.500000001.25000000-21.250000001.500000001.37500000+31.250000001.375000001.31250000-41.312500001375000001.34375000-51.343750001.375000001.35937500-61.359375001.375000001.36718750+71.359375001.367187501.3632812

6、5-故x7 1.36328125为方程误差不超过0.005勺近似根10.解:构造迭代公式:Xk 1JiXk(k 1,2,.)迭代函数为：在1,2中,(x)(x)3J1x 22),且'(x)¥(imax1 x 2'(x)|1_tz25故此迭代格式产生的迭代序列Xk 收敛由二分法可确定初值:f(1)11 1 1f(2)841312 ,X。1.52x1J11.521.481248x2V11.48124821.4727057x31.472705721.468817x41.46881721.46704797x5V11.4670479721.466243x6V11.4662432

7、1.46587682x7V11.46624321.465710x8011.46571021.465634Q| x 8x 70.00007610 4迭代结束,即有x*1.465613.解:原方程变形为：x 310 4xk2此时迭代函数为：(x)310 4x2以该迭代公式形成的Steffe nse n迭代公式为:yk310-4Xk2Zk3104yk2Xk1Xk(ykXk)2Zk2yk Xk01.5, y°1,Z36x-i1.5(11.5)2k 0,1,2,.2 1.51.3101925*依次类推可得满足 xk 1 xk10的根：x 1.3652316.解令 f(x) X2115Newto

8、n迭代公式为:Xk 1Xk115Xk,k 0,1,2,.由本章例(1)知，此迭代公式收敛。Q 102 100 115 112121可取初值x0111 115x1x010.7272732 X1 115X2X110.7238102 x-i与'帀的精确值比较，X2具有5位有效数字的近似值。17.解：f (x) x3 2x2 10x 20f '(x) 3x2 4x 10相应的Newton迭代公式为:(Xk 1)Xk32Xk210Xk2023xk 4xk 10k 0,1,2,用二分法取初值:f (1) 1 2 10207f (2)8 8 2020161 2x02 1.51 53(xj 1

9、.5221.510 1.5 20P1.37362637423 1.54 1.5 10如此反复下去，可得 x*1.36880810723.解：有些不同设 f(x) x(x 1)2X3 2x2 x 1所以弦截法迭代公式为:Xk 1Xkk J f(xk) f (Xk) f(Xk 1)兀3 2xk2兀1xkxk 1 2xk 2xk 11xk 12可令:X。0.4, x10.5X20.53 2 0.52 0.5 10.5220.520.42 0.5 0.4 2 0.5 2 0.4 10.463343108反复如此，可得满足|xk1 xk|104的根，即 x*0.46558。29.解:将方程组写成等价形式

10、:/33 c、(XiX23)6(Xi2X222)6、x1记 X,(x)X2i(X)2(X)(Xi3X23 3)6(Xi2X22 2)6则(1 )式可写为 X (X)由此构造不动点迭代公式:(k 1)X1X2(k 1即 X(k1)(X1 叫X2*)3,k(x,k)2X2(k)22)6(x(k),k0,1,2,.3)0,1,2,.取初值x(0)(0,0) T,按迭代公式(2)计算的x*近似值见下表:k01234(k)00.50000000.52700610.53194490.5327625X10742(k)00.33333330.35648140.35844270.3590807X2(3840由表

11、可知，此迭代公式收敛。30.解:记,F(x)4xj x2 4% x2 sin(% x2)8 为2x21 cos(x1 x2) 1 cos* x2)取初值X(1,0)T,解方程组F'(x(°) x(0)F(x(0)(0)1 cosl 1 cosl01 sinl可求得:x(0) =(0)X1X2(0)0=sin 1-1cos1 1然后计算得：X(2),X，故x* (X1,X2)t(0.998607, 0.15305)T第5章习题4. 证明：Hermite多项式为Hn xdndxnx ,n 0,1,2,.Hn1nex2dnx22xHn2xHn 1 X2n Hn1 xdxnex2dn

12、dxn1nx2eex2dn12xx2X2n x2edn1dxn1dxX2x2 e4x22x(1)X2 ednX2dx edn1(2)X2dxn12nHn11n 1x2dn1X2n 1x2.n 1dx2hn 1.n 1x2dx2Xee1 edxn1n 1 e dx1en 1 edx n 1Hn1X1n 1 x2 eddxn1X2 e4x2 2n综合(1) (2) (3)得： 由此得证。9.解：H n 1 x 2xHn x2nHn 1 x ,n1,2,3,.三次Chebyshev多项式2T3 x2x 2x 1鼻3小x 4x 3x在区间上-1,1上当xkkcosk k 0,1,2时轮流取得最大值1和

13、最小值-1，因为25十3-2 ,-2111f xC211,4T3x 5x2x x 12x42x14所以，xkcos kk 0,1,2就是fxc2112x1的交错点组。由Chebyshev定理24知：11 P2x 2x214为函数fx 5x322x x1在区间-1,1上的一次最佳-致逼近多项式。12.解:4x 13x 竺A 0.5 x 1 则,ft cos I由Chebyshev级数的系数公式有:所以综合cosxcosxcoscoscoscos3cos 13cos 13cos 13cos 11t1T1(1) (2)，得:P3 x0.0398X3cos dcos2cos32 2t2 10.492x

14、213.解：(1)33 4t3t0.0087X0.9996f x12x x2!3 x3!4 x4!5 x5!e6!6x ,2345xxxxP5 x1x 一2!3!4!5!T曰e丁是，fxP5x6!5-555 355 3xT5xxxx一 xx4164将f X在x=0进行Taylor展开:51,1 (1)P5 x1 x2 x2!3 x3!4 x4!15!112p5 x1 1x x164!210P5 xP5,4xT5x5!5 350xxT 5x4161131 41x'xT 5 x3!4 4!4!5!(4)ox4T4 xx4x4x2x2P54 X 11 丄 X 1x216 4!2P5,4x41

15、111x84!16 4!1十P5,4xP5,3x即4xP5,4xP5,3x4-T41x_34!23整理（6）得f（x）近似最佳11312 11xxT4 x3!4 4!4!84!11 21131xxT4 x(5)24!3!4 4!4!17 313 2383191P5,3 xxxx9624384192结合（1）（3）（5）得：11e 6P5,3 xT4xT5 xx4!5!6!进而利用式（2） （ 4） （6）得误差估计:max f xp53 x1 x 113423 4!24 56!0.00951 ° 1P5 x P5,4 x T x -5!25第6章习题6.解类似由复化梯形公式知，存在0

16、,1使得1 x2e dx0h f2an 12i 12exf bb ah2f120.125028 1x2121 02e2exe0.125 f ''2i 1120.125028 1x212e2ee2i 11.469715. 解:(1)用Romberg算法将3 dx巴结果进行加速,1 x1x -, a 1,b xT1h3,初始步长为h20hib a 3 12.1.333337-1.166673226此时步长为h21T22 T4 2T22h/2 i 0171221.116672 6235此时步长为h221t23 T8 2T4虹22M412 i 01.10321由复化Simpson公式S

17、4T2n Tn，得:SS2S44T24T4T14H 4T8 t41.111111.100001.09873由复化Cotes公式cn厂4尙Sn ,得:116 116S2S1C2116 116S4S21.099261.09864最后由Rn143 143C2nCn，得:64 164C2C11.09963以上所得结果列于下表:kTS?k 1C?k 2R,k 301.3333311.166671.1111121.116671.100001.0992631.103211.098731.098641.09963与T8的值比，R的值更接近准确值。因此,Simpson算法外推加速的效果十分明显。(2)将则1,3

18、 4等份为1,1.5 1.5,2 2,2.52.5,3，即3 dxI1I3 I41.5dx1 x2 dx仁5 x2.5 dx3 dx2.5 x用两点Guass公式：在1,1.5上,0.5773503a 1,b 1.5,A A 1花0.5773503t2b ab aX1t11.1056624332 12X2b a丫2b a1.394337567221.511.5 1.,'上I1dx1 f x,1 f x21 X2反复如此，可求得I2,I3, I4最后，I I, I213141.098546. 解：用两点Gauss公式，由教材表 得,1 x2 、厂X210.57735031.632991 12X dx2X111 X21 X20.55555561 1.1 X2lx 0.7745967-1 X2x 0.7745967用三点Gauss公式，由教材表 得1.591627. 解:、n2设