利用向量处理立几中的动点问题

1、利用向量处理立几中的动点问题在高考试题中，经常考查立体几何中的动点问题，在立体几何中常见的动点问题大致可分为以下几类：一是求动点轨迹问题；二是求动点与某点（或面）的距离问题；三是求直线与直线（或平面）垂直问题；四是求直线与直线（或平面）平行问题；五是平面与平面垂直问题。本文利用向量解决动点问题。一、直线与平面（或直线）垂直问题例1.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA，底面ABCD,AB=33,BC=1 , PA=2 , E 为 PD 的中点.（I ）求直线 AC与PB所成角的余弦值；（n ）在侧面 PAB内找一点 N ,使NE，面PAC , 解析：（I ）建立如图所示的空

2、间直角坐标系，则弁求出N点到AB和AP的距离.A、 B、 C、D、P、E的坐标为A （ 0,0, 0）、b（声，0,0）、c（3,1,0)、 D (0, 1,0)P (0, 0, 2)从而AC=q3,1,0),PB=«3,0=2).设AC与PBAC PB|AC| |PB| 2 714 AC与PB所成角的余弦值为14（II）由于N点在侧面PAB故可设N点坐标为（x, O, z)内，,则-z），由 NE，面PAC可得:NE AP 0, NE AC -0.1(-x, ,1 -z)21 1(-X, ,1 -z)2(0,0,2) - 0,_ 化简得(3,1,0) - 0.z T 尸 0,一13

3、x2JT3x 一0.x例1题图（2）即N点的坐标为10,1）,从而N点到AB、AP的距离分别为6T f V -3 .6简评：本题主要考查线面关系和四棱锥等基础知识，能力.由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（同时考查空间想象能力和推理运算x, O, z）,然后利用 NE，面PAC,NE AP 一0,NEAC 0.求得动点N的坐标为（,0,1）.6直线与平面（或直线）平行问题例2.如图，已知在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，/ABC=60,PA=AC=a,PB=PR12a点E在PD上，且PE:ED=2:1.在棱PC上有一动点F,当动点F移动到何处时，使BF/平面AEC?证明你的结论。解析：

4、由题意知PA，平面ABCD,以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过点A垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系。则A(0,0,0)、BHa,-1a,22310)、C(a,a,0)2221一:，,/3-a,a),PC=(332AP=(0,0,a),设点：13PF=XPC=("a入，2D(0,a,0)、P(0,0,a)1-a,2F是棱PC上的点,E(0,a,a),所以AE=(0,1_a入，-a入)，其中0V入<1,则BF=BPhPF1一a,a,a),AC=(2例5题图=(-0aJa,a)+(可a入，3入，-a入)2222.3=(-"a(入-1),21a(1+入)，a(1-X),令BF=入1AC+入2AE,鼻43一心人a(九=1)="3/.1,:22a(1+九)=丁a1+一氛2户第=TX22132a(1%)=a23BF二一AC3AE.22_此时，F为棱PC的中点.又BF忆平面AEC,所以当F是棱的中点时,BF/平面AEC.简评：本题主要考查