“费马点”与中考试题

1、“费马点”与中考试题费马，法国业余数学家，拥有业余数学之王的称号，他是解析几何的发明者之一.费马点一一就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点.费尔马的结论：对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点，对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点.下面简单说明如何找点P使它到ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小这就是所谓的费马问题.图1解析：如图1,把APC绕A点逆时针旋转60°得至1APC',连接PP'.则4APP'为等边三角形，AP=PP',P'C=PC,所以

2、PA+PBPC=PP'+PB+P'C'.点C可看成是线段AC绕A点逆时针旋转60。而得的定点，BC'为定长，所以当BP、P'、C'四点在同一直线上时，PA+PBPC最小.这时/BPA=180°-/APP=180-60=120°,/APC=ZAPC=180°-ZAPP=180°-60=120°,/BPC=360°-/BPA-/APC=360°-120-120=120°因此，当ABC的每一个内角都小于120°时，所求的点P对三角形每边的张角都是120°

3、,可在AB、BC边上分别作120°的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是P点；当有一内角大于或等于120。时，所求的P点就是钝角的顶点.费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换.本文列举近年“费马点”走进中考试卷的实例，供同学们学习参考.例1（2008年广东中考题）已知正方形ABCD内一动点E至ijA、B、C三点的距离之和的最小值为,2,6,求此正方形的边长.图2图3分析：连接AC,发现点E到A、B、C三点的距离之和就是到ABC三个顶点的距离之和，这实际是费尔马问题的变形，只是背景不同.解如图2,连接AC,把4AEC绕点C顺时针旋转60&#

4、176;,得到GFC,连接EFBG、AG,可知EFC4AGC都是等边三角形，则EF=CE又FG=AE,AE+BE+CE=BE+EF+FG（图4）.,点B、点G为定点（G为点A绕C点顺时针旋转60°所得）.线段BG即为点E到A、B、C三点的距离之和的最小值，此时E、F两点都在BG上（图3）.设正方形的边长为a,那么BO=CO=,2a2GC=V2a, GO= a .'.-：2'6BG=BGGO=a+a点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为a+'.2注本题旋转AERBEC也都可以，但都必须绕着定点旋转，读者不妨一试.例2（2009年北京中考题）如图4,在平面直角坐

5、标系xOy中，ABC三个顶点的坐标分别为A6,0,B6,0,C0,45/3,延长AC到点D,使CD=1AC,过点D作DE2/AB交BC的延长线于点E.（1）求D点的坐标;（2）作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF,若过B点的直线ykxb将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（3）设G为y轴上一点，点P从直线ykxb与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短.分析和解：（1）D点的坐标（3,6J3）（过程略）.（2）直线BM的解析式为y

6、J3x6J3（过程略）.图4（3）如何确定点G的位置是本题的难点也是关健所在.设Q点为y轴上一点，P在y轴上运动的速度为v,则P沿M-Q-A运动的时间为MQ-AQ,使P点到达A点所用的2vv1时间最短，就是aMQ+AQ最小，或MQ+2AQ最小.解法1BQ=AQ,MQ+2AQ最小就是MQ+AQ+BQ最小，就是在直线MO上找点G使他到A、BM三点的距离和最小.至此，再次发现这又是一个费尔马问题的变形，注意到题目中等边三角形的信息，考虑作旋转变换.把4MQB绕点B顺时针旋转60°,得到M'Q'B,连接QQ'、MM'（图5）,可知QQ'B、AMMB都是

7、等边三角形，则QQ=BQ.又M'Q'=MQ,MQ+AQ+BQ=MQ+QQ'+AQ.点A、M为定点，所以当Q、Q两点在线段AM上时，MQ+AQ+BQ最小.由条件1可证明Q点总在AM上，所以AM与OM的交点就是所要的G点（图6）.可证OG=MG.2图5图6图7解法2考虑1MQ+AQ最小，过Q作BM的垂线交BM于K,由OB=6,OM=673,21可得/BMO=30,所以QK=MQ21要使一MQ+AQ最小，只需使AQ+QK最小，根据“垂线段最短”，可推出当点A、Q、2K在一条直线上时，AQ+QK最小，并且此时的QK垂直于BM,此时的点Q即为所求的点G（图7）.过A点作AH

8、77;BM于H,则AH与y轴的交点为所求的G点.由OB=6,OM=6j3,可得/OBM=60°,.BAH=30°在RtAOAG中,OG=AOtan/BAH=2百.G点的坐标为（0,2J3）（G点为线段OC的中点）.例3(2009年湖州中考题)若点P为ABC所在平面上一点，且/APB=/BPC=/CPA=120：则点P叫做ABC的费马点.(1)若P为锐角ABC的费马点，且/ABC=60°,PA=3,PC=4,则PB的值为(2)如图8,在锐角ABC的外侧作等边ACB；连结BB'.求证：BB'过ABC的费马点P,且BB=PA+PB+PC.图8解：(1)利

9、用相似三角形可求PB的值为2，3.(2)设点P为锐角ABC的费马点,即/APB=ZBPC=ZCPA=120°如图8,把ACP绕点C顺时针旋转60°到B'CE,连结PE,则4EPC为正三角形. ./BEC=/APC=120；/PEO60°BEC+ZPEG=180°即P、E、B'三点在同一直线上 /BPO120：/CPE=60°, ./BPC+ZCPE=180；即B、P、E三点在同一直线上B、P、EB'四点在同一直线上，即BB'过4ABC的费马点P.又PE=PC,BE=PA,BB=EB'+PB+PE=PA+PbPC.注通过旋转变换，可以改变线段的位置，优化图形的结构在使用这一方法解题时需注意图形旋转变换的