《工程高等代数》7第七章线性空间与线性变换习题解答

1、习题七(1)向量组(1,1,0,1),(1,2,3,0),(2,3,3,1)生成的向量空间的维数是.解2.(2)设全体三阶上三角形矩阵构成的线性空间为V,则它的维数是.解6.2(3)次数不超过2的多项式的全体构成线性空间Px2,其中的元素f(x)xx1在基1,x1,(x1)(x2)下的坐标是.解(3,4,1)T.10(4)设 10,21111在该基下的坐标1是向量空间V3的一个基，则向量0(5)二维向量空间R2中从基到另一个基11的过渡矩阵3是.左2解1(6)三维向量空间中的线性变换T(x,y,z)(xy,xy,z)在标71基(1,0,0),e2(0,1,0),e3(0,0,1)下对应的矩阵是

2、.110解110.0012.选择题(1)下列说法中正确的是.(A)任何线性空间中一定含有零向量；(B)由r个向量生成的子空间一定是r维的；(C)次数为n的全体多项式对于多项式的加法和数乘构成线性空间;(D)在n维向量空间V中，所有分量等于1的全体向量的集合构成V的子空间.(2)下列说法中错误的是(A)若向量空间V中任何向量都可以由向量组1,2，n线性表示，则1,2,“，n是V的一个基；(B)若n维向量空间V中任何向量都可以由向量组1,2,，n线性表示，则1,2,'，n是V的一个基；(C)若n1维向量空间V中任何向量都可以由向量组1,2J,+,n线性表示，则1,2,，n不是V的一个基；(

3、D)n维向量空间V的任一个基必定含有n个向量.3(3)下列3维向量的集合中，是R的子空间.X3) XX2 X30; X1, X2, X3R(A) (x1,X2,/C、/222/r-k(B) (x1,X2,X3)XfX2X31;x1,X2,X3R ；(C) (X1, X2 ,X2 X3； X1, X2,X3 R(D)(X1, X2, X3) XX2 X3； X1, X2,X3 R(4)在V2中，下列向量集合构成子空间的是(A) (0,0),(0,1),(1,0)组成的集合;(B) (0,0)组成的集合；(C)所有形如(X,1)的向量组成的集合；(D)满足xy1的所有(x,y)组成的集合.(S)

4、V2的下列变换不是线性变换.(A)T(x,y)(0,0)；(T) T(x,y)(axby,cxdy),a,b,c,d是实数;(U) T(x,y)(xy,1)；(D)T(x,y)(0,xy).解(1)A;(2)A;(3)C;(4)B;(5)C.3.验证:(1)主对角线上元素之和等于0的2阶矩阵的全体§；(2)2阶对称矩阵的全体S2,对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间，并写出每个空间的一个基.解(1)任取A§,B§,其中a,b,c,d,e,f表示任意实数，则对于任意的k,R,有线性运算的封闭性成立:kAkakckdkaG的一个基是(2)任取AS2,B$ ,对于任意的

5、k,R ,都满足运算成立:(kAB)TkATBT kA B S2.S2的一个基是4.验证：与向量(0,1,0)T不平行的全体3维数组向量，对于数组向量的加法和乘数运算不构成线性空间.(1,1,1)T,(1,0,1)T证明与向量(0,1,0)T不平行白全体3维数组向量的集合记作V,(0,1,0)TV,所以V不是线性空间.5.设U是线性空间V的一个子空间，证明：若U与V的维数相等，则证明设,r是U的一个基，因为U V ,所以V .对于任意的必定可被1, 2,r线性表示，否则与“ U与V的维数相等”矛盾.由的任意性知V U ,从而6.判断R22的下列子集是否构成子空间，说明理由.W1a, b, c

6、R ；(2) W1a b c 0, a, b, c R ,解(1)不构成.由于3即W对矩阵加法不封闭.(2)构成.任取a1bl0a2b20A'nW4,B;：W0c100c20有a1blG0,a2b2c20,aia2bib20AB0Gc20于是a1a2b1b2GG0,a1a2bb20、“，W2.0Gc20对任意k R , kA0,所以kA也.7W2对矩阵加法和数乘运算封闭，所以也构成子空间.7.判断R2 0 _解(1)不构成.取A, B0 0的下列子集是否构成子空间，说明理由.(1)由所有行列式为零的矩阵所组成的集合W；(2)由所有满足A2A的矩阵组成的集合W2.,A B 1,因0 10

7、0,A,BW,但是AB01此ABW1,加法不封闭.(2)不构成.取单位矩阵E,E2E,EW2,但(2E)24E012E,所以2EW2,数乘不封闭.3_T8.在R中求向量民(2,7,6)在基出(2,0,1)T,a2(1,3,2)T,%(2,1,1)T下的坐标.解设所求坐标为(k,x2,x3)T,则解得(x1,x2,x3)T(1,2,1)T9R3中两个基为求由基1,2,3到基1,2,3的过渡矩阵设（1,2,3)P(1,2,10在3R中，取两个基22x1x22x703x2x36x12x2x3(1,1,1)T,(1,2,1)T,（1,2，3）P，则3)1(1,2,3)（1）求由基3,e2,e3到基2）

8、已知由基1,2,3到基3）已知在基1,解（1）因为（1,2,e11,2,3下的坐标为(1,0,1)T,(2,3,4)T,(1,0,1)T；(3,4,5)T，1(1,0,0)T,e2(0,1,0)T,e3(0,0,1)T(1,0,0)T,2(1,1,0)T,3(1,1,1)T2,3的过渡矩阵；1,2,3的过渡矩阵为1，求11,2,3；3)(61,62,63)(1,2,3)T,求在基1,2,3下的坐标,所以基0,62,63到基1,2,3的过渡矩阵为11000 1 0 ，故 0011111102)由于(1,2,3)(1,2,3)A0110110010011(1,0,0)T,2(0,1,0)T,3(0

9、,0,1)Tx1，则有( 1, 2, 3) X2 ，又X31( 1, 2, 3)A 2 ， 3101111 210133(3)设在基1,2,3下的坐标为(x1,x2,x3)1(1,2,3)23从而x111x2A20x33011在R3中取两个基1 (2,1, 1,1)T ,2 (0,3,1,0) T,3 (5,3,2,1) T,4 (6,6,1,3)T.e1(1,0,0,0)T,e2(0,1,0,0)T,e3(0,0,1,0)T,e4(0,0,0,1)T,(1)求前一个基到后一个基的过渡矩阵；(2)求向量(Xi,X2,X3,X4)T在后一个基下的坐标;(3)求在两个基下有相同坐标的向量20561

10、336 ，所以前一个基到后一个基的过渡矩11211013解(1)因为(1,2,3,4)(e1,e2,e3,e4)2056133611211013(2)设向量(X1,X2,X3,X4)T在后一个基下的坐标为(y1,y2,y3,y4)T，则x1y1y1X2X32,y2y2y3y39所以,(3)设向量y1X12056X11292733X1y2A1x2X31336X21112923X2y31121X32790018X3y，X41013X473926X4X41(xi,X2,X3,X4)T在两个基下有相同的坐标，则X1为X1X1X2lX2x2AX2E，(1,2,3,4)AX3X3X3X3X4X4X4X4(

11、ei,e2,e3,ed)X1.X2所以(AE)X30，解得k(1,1,1,1)T,kR12.说明(2)X4XOy平面上变换的几何意义,其中(2)关于y轴对称;投影到y轴;关于直线yx对称;，顺时针旋转90.13 .n阶对称矩阵的全体V对于矩阵的线性运算构成一个n(n1)维线性空间.给定n阶矩阵P,以2A表示V中的任一元素，变换T(A)PTAP称为合同变换.证明合同变换T是V中的线性变换.证明设A,BV,kR,则ATA,BTB,所以(AB)TAB,(kA)TkA.从而AB与kA是对称矩阵.又因为T(AB)PT(AB)PPTAPPTBPT(A)T(B),T(kA)PT(kA)PkPTAPkT(A)

12、,所以T是V中的线性变换.46014 .设R3中1,2,3是一个基，且线性变换T在此基下的矩阵为A350361(1)证明123,3,212也是R3的一个基；(2)求线性变换T在此基下的矩阵.证明(1)令1123,23,3 0 0B P 1AP 0 1 00 0 112,可解得1123,221223，32，13这说明了1,2,3和112312,3可以相互线性表示，从而它们等价，所以1,2,3是R3的一个基.1, 2, 3到基1, 2, 3的过渡矩阵是(2)设线性变换T在基1,2,3下的矩阵是B,并设从基1P,则BPAP,由条件知P15.函数集合V3(a2x2a1xa°)exa2,a1,

13、a0R对于函数的线性运算构成三维线性空间.在V3中取一个基 1xex,3ex,求微分运算D在这个基下的矩阵.解因为D(1)x2ex2xex12203D(2)exxex01D(3)0102所以微分运算D在这个基下的矩阵为16.二阶对称矩阵的全体间.在v3中取一个基AXiX2X2X3X1，X2,X3R对于矩阵的线性运算构成三维线性空,A2T(A),在V3中定义合同变换求T在基A,A2,A3下的矩阵.解因为T(A)TOA2A22A3,TA)(T(A1),T(A2),T(A3)（人人，A3）1所以T在基A1,A2,A3下的矩阵为1117.设A是一个正定矩阵，向量(X1，X2,，Xn),（y*,，yn）

14、在Rn中定义内积证明A T.证明在这个定义之下，Rn 是一个 Euclid空间.按定义证明满足以下四条性质即可.对称性A T)TAT线性加性)A T(3)线性齐性(k)AT k(A T)(4)非负性由于A是正定矩阵，所以，AT是个正定二次型，从而，0,当且仅当0时，0.18.设V是一个n维Euclid空间，0是V中一固定向量，证明：V1xx,a0,xV是V的一个子空间.证明因为0V1,所以V1非空.再证V1对两种运算封闭.任名XX1,X2V1,即X1,a0,x2,a0,根据V的线性加性有X1x2,aX1,ax2,a000,从而可知XiX2Vi,另一方面，由kxi,akXi,a0可知，kxiV.

15、此即证得VixX,a0,XV是V的一个子空间.i#1.求二阶矩阵构成的线性空间R22中元素A在基G101，G211210111G330G41下的坐标.0k1G1k2G2k3G3k4G4,则k3k4k1k3k1k2k40,1,2,k1k23,解得k10,k21,k32,k43，所求坐标为(0,1,2,3)T.到基2在二阶矩阵构成的线性空间在二阶矩阵构成的线性空间22R中，1）求基E100,E210,E3的过渡矩阵;分别求向量,E4F1a11a2111,F2a12a22在基E1,30,F3E2,E3,F4E4和基Fl,F2,F3,F4下的坐标;（3）求一个非零向量解求一个非零向量1）因为A，使得A

16、在这两个基下的坐标相等F12E1E2E3E4，F20E13E2E30E4，F35E13E22E3E4，F46E16E2E33E4，21(F1EF3,F4)(E1,E2,E3,E4)211103105321661，3所以，基E1,E2,E3,EH基F1,F2,F3,F4的过渡矩阵为20561336P11211013(2)显然Ma21a22a11E1a12E2a21E3a22E,，得到M在基E1，E2,E3,E4下的坐标为(a11,a12,a21,a22).设M在基F1,F2,F3,F4下的坐标为(y1，y2,y3,y4),则a11y1y1(E1,E2,E3,E4)a12a21(F1,F2,F3,

17、F4)y2(E1,E2,E3,E4)Py2y3y4V1即y2p1a12y3a21y4a22(3)解方程4111141119二司1二a12a21a22939391412311二a12二a21a22932793271002a2112二a11二a2233a223371126711262727_an二a12二a21-a2293279327a22y3y，4_&191&23a2111一a229a?2,所以a12a21a221现1277一a112749a1213a2123a22271_&1319a122一a22313a2126一a222711Ak,k0.11

18、3.设T是四维线性空间V的线性变换,T在V的基1,2, 3, 4下的矩阵为12222652A00120026求T在V的基11,223,434下的矩阵.解(1,2,3,4)(1,2,3,4)P，其中1100011000110001所求矩阵1BP1AP13002400001300244.设1,2,，n是Rn的一个基.证明1,1n也是Rn的一个基;(2)求由基1,2，n到基1,1n的过渡矩阵;求向量在基1,2,，n下的坐标(x,x2，xn)T和在基1,1n下的坐标(,y2,.,yn)T间的变换公式.解(1)因为1，12，123，121110111，2，n:二：,001所以(2)5.由基n与向量组坐标

19、变换公式为X1丫2yn2,X2Xn10,P可逆，从而向量n也是Rn的一个基.n是Rn的一个基,所以n到基n的过渡矩阵为X1n是V的一个基,的一个基的充分必要条件是矩阵A为可逆矩阵.证明由于n线性无关，注意到可得2,X2Xn2,k11k22knn是V的一个基k1k2knX1X2XnA,证明k1k2knn线性无关k11k2Lknn0时，必定有k1k2knk1Ak2n0时，必定有k1k2knknkiAk2A.0时，必te有k1k2kn0kn齐次线性方程组Ax0只有零解A0A是可逆矩阵.6.设V1,V2是线性空间V的两个不同的子空间，且VV,V2V,证明在V中存在向量，使得Vi,V2同时成立.证明由于mv,v2v,于是在V中存在向量，使得V1,v2成立.若V2,则即为所求.若V2,则对任意数k,有kV2.否则，由于V2和kV2，可得(k)kV2,与假设矛盾.于是，取kik2,则IV与k2V不能同时成立，否则(ki)*2)(kik2)Vi,有Vi,矛盾.故k1V,与k2Vi至少有一个成立，不妨设KV,又kV2,因