投资学第八章指数模型

1、第第8章章 指数模型指数模型v按按Markovitz理论，为得到投资者的最优投资组合，理论，为得到投资者的最优投资组合，要求知道：要求知道：回报率均值向量回报率均值向量回报率方差回报率方差-协方差矩阵协方差矩阵无风险利率无风险利率v问题：问题：估计量和计算量随着证券种类的增加以指数级增加估计量和计算量随着证券种类的增加以指数级增加对风险溢价的估计无指导作用对风险溢价的估计无指导作用v基于以上两点，产生了基于以上两点，产生了指数模型指数模型(Sharpe, 1963)的的改进改进8.1证券市场的单因素证券市场的单因素(single-factor)模型模型v8.1.1 马科维茨模型的输入表马科维茨

2、模型的输入表Markovitz模型运用的成功取决于输入表的质量模型运用的成功取决于输入表的质量(GIGO问问题题)Markovitz模型的障碍：模型的障碍：计算量的庞大计算量的庞大相关系数或协方差的估计误差（例表相关系数或协方差的估计误差（例表8-1）改进思路：改进思路：简化简化 正协方差：共同经济力量作用的结果正协方差：共同经济力量作用的结果 这些共同经济力量包括商业周期、利率和自然资源成本等。这些共同经济力量包括商业周期、利率和自然资源成本等。 将这些不确定性分解为系统和公司两部分。将这些不确定性分解为系统和公司两部分。38.1.2 收益分布的正态性和系统风险收益分布的正态性和系统风险4v

3、如果证券的收益率服从如果证券的收益率服从联合正态分布，联合正态分布，证券的收益证券的收益由一个或多个变量共同决定。由一个或多个变量共同决定。单指数模型建立思路单指数模型建立思路指数模型将指数模型将收益以及收益以及不确定性分解为系统和公司两部不确定性分解为系统和公司两部分。分。证券的收益率可以被分解为各种预期与非预期收益率证券的收益率可以被分解为各种预期与非预期收益率之和之和证券之间的收益的正协方差：影响大多数公司命运的证券之间的收益的正协方差：影响大多数公司命运的共同经济力量的作用共同经济力量的作用 2022-2-275二、单指数模型的假设二、单指数模型的假设资产收益率波动的因素有两类：宏观因

4、素和微观因素。资产收益率波动的因素有两类：宏观因素和微观因素。宏观因素影响市场全局，如利率的调整、通过膨胀率宏观因素影响市场全局，如利率的调整、通过膨胀率的变动等，会引起市场价格水平总体的涨落，进而带的变动等，会引起市场价格水平总体的涨落，进而带动绝大部分资产的价格变动，属于系统风险。动绝大部分资产的价格变动，属于系统风险。微观因素被假定只对个别企业有影响，对其他企业一微观因素被假定只对个别企业有影响，对其他企业一般没有影响，是个别企业特有的风险，或称为非系统般没有影响，是个别企业特有的风险，或称为非系统风险。风险。对误差项的假设对误差项的假设2022-2-2768.1.2 收益分布的正态性和

5、系统风险收益分布的正态性和系统风险7v某一宏观因素影响着整个证券市场，除此外，公司某一宏观因素影响着整个证券市场，除此外，公司所有剩余的不确定性都是公司特有的。所有剩余的不确定性都是公司特有的。则证券持有期收益为：则证券持有期收益为： 事件的影响为未预期到的公司特有的影响为未预期到的宏观事件收益为基于可得信息的期望其中iiiiiemrEemrEr)()(8.1.2 收益分布的正态性和系统风险收益分布的正态性和系统风险8v某一宏观因素影响着整个证券市场，除此外，公司某一宏观因素影响着整个证券市场，除此外，公司所有剩余的不确定性都是公司特有的。所有剩余的不确定性都是公司特有的。 市场风险来衡量。证

6、券间的协方差可以用所以：是不相关的。不同证券间的特有因素有因素是不相关的，假设市场风险因素与特风险为风险为：素变量的数理统计特征市场因素和公司特有因222222),(),()()(, 0)(, 0)(mjijiimiiimememCovrrCoveeeEmE未预期到的宏观经济事件在一段时间内对某只股票收未预期到的宏观经济事件在一段时间内对某只股票收益率的影响的期望值益率的影响的期望值( )。v A包含在这只股票的期望收益率中包含在这只股票的期望收益率中v B为零为零v C等于无风险利率等于无风险利率v D. 与公司的与公司的值成比例值成比例B98.1.2 收益分布的正态性和系统风险收益分布的正

7、态性和系统风险1022222),()1)(model)factor (single1)(mjijjiijiimiiiiiiiiememCov,rCov(reemrErmii）可得根据方差定义与（并有：此即单因素模型）（并有：，的宏观成分则证券，度为对宏观经济事件的敏感记证券，济事件有不同的敏感度考虑不同企业对宏观经8.2 单指数模型单指数模型v使单因素模型具备可操作性的合理方法是将标准使单因素模型具备可操作性的合理方法是将标准普普尔尔500这类基础广泛指数的收益率视为共同宏观经济这类基础广泛指数的收益率视为共同宏观经济因素的一个有效的代理指标因素的一个有效的代理指标。11iMiiifMMfii

8、ifMiifietRtRrrRrrRerrrr)()(,)(model)index (single令：则有单指数模型观因素的有效代表假如将市场指数视为宏8.2 单指数模型单指数模型v单指数模型的假设单指数模型的假设1. 单指数模型的基本假设单指数模型的基本假设影响资产价格波动的主要共同因素是影响资产价格波动的主要共同因素是市场总体价格水市场总体价格水平平，资产价格波动之间的相互关系可以通过各资产与，资产价格波动之间的相互关系可以通过各资产与这一共同因素之间的相互关系反映出来。这一共同因素之间的相互关系反映出来。2. 对影响收益波动因素的假设对影响收益波动因素的假设宏观因素宏观因素 影响市场全局

9、，进而带动绝大部分资产的价格变动，属于系影响市场全局，进而带动绝大部分资产的价格变动，属于系统风险。统风险。 个别资产价格变动相对于市场价格总体水平波动的程度取决个别资产价格变动相对于市场价格总体水平波动的程度取决于个别资产价格相对于市场价格变动的敏感度，即该资产的于个别资产价格相对于市场价格变动的敏感度，即该资产的值。值。128.2 单指数模型单指数模型v单指数模型的假设单指数模型的假设2. 对影响收益波动因素的假设对影响收益波动因素的假设微观因素微观因素 微观因素被假定只对个别企业有影响，对其他企业一般没有微观因素被假定只对个别企业有影响，对其他企业一般没有影响，是个别企业特有的风险，或称

10、为非系统风险。影响，是个别企业特有的风险，或称为非系统风险。 在模型中以残差项表示。在模型中以残差项表示。3. 对残差项的假设对残差项的假设随机变量残差的数学期望是零。随机变量残差的数学期望是零。假设残差差项与市场收益率无关。假设残差差项与市场收益率无关。不同资产的残差项互不相关。不同资产的残差项互不相关。13 8.2.1 单指数模型的回归方程单指数模型的回归方程148.2.2 期望收益与期望收益与 值之间的关系值之间的关系15正的积极的投资策略：寻找代表非市场溢价代表系统风险溢价；其中，两边求期望，得：对式iMiMiiiRERERE)()()( 8)-(88.2.3 单指数模型的风险和协方差

11、单指数模型的风险和协方差161.一个投资组合的管理者，没有关于证券的特别信息，也没有关于公众观一个投资组合的管理者，没有关于证券的特别信息，也没有关于公众观点暗示，那么他将认为证券的点暗示，那么他将认为证券的( )。D A=1 B0 C1 D为零为零2.值与值与1之间的差距越大，产生一个大的估计错误的机会越大，之间的差距越大，产生一个大的估计错误的机会越大，( )。A A值在随后样本期间就更趋向于值在随后样本期间就更趋向于1 B值在随后样本期间就更趋向于值在随后样本期间就更趋向于0 C值在随后样本期间就更趋向于大于值在随后样本期间就更趋向于大于1 D值在随后样本期间就更趋向于小于值在随后样本期

12、间就更趋向于小于0178.2.4 8.2.4 单指数模型所需的估计量单指数模型所需的估计量18单指数模型的优缺点单指数模型的优缺点v优点：优点：计算量简化为计算量简化为(3n+2)个个对实际投资有意义：对实际投资有意义： 把握证券分析的重点把握证券分析的重点v缺点：缺点：资产收益不确定性结构上的限制，例如：未考虑行业的因资产收益不确定性结构上的限制，例如：未考虑行业的因素。素。残差项相关时，指数模型的最优投资组合不如马科维茨过残差项相关时，指数模型的最优投资组合不如马科维茨过程精确。程精确。残差正相关（放大分散化）、负相关（忽略分散化价值）。残差正相关（放大分散化）、负相关（忽略分散化价值）。

13、残差项相关的股票有较大的残差项相关的股票有较大的值，而且占整个投资组合较大的比例值，而且占整个投资组合较大的比例时，多因素指数模型可能更适合分析和构建投资组合。时，多因素指数模型可能更适合分析和构建投资组合。198.2.5 指数模型与分散化指数模型与分散化险不可分散，结论：特有风险可分散)(en1)(en1)(e又：)(e则组合风险：eRR的收益：P组合eRR：其中每中每个证券的收，个券的等权券的等权重n考虑i2n1ii22P2P22M2P2PPMPPPiMiii市场风20图图8-1 单因素经济中有风险系数的资产组合方差单因素经济中有风险系数的资产组合方差218.3 估计单指数模型估计单指数模

14、型)(residuals)(SCL)line, sticcharacteri(security )()()(500&为残值为斜率，为截距，其中，征线此回归方程称为证券特tetetRtRHPHPHPHPPSHPHPHP8-2 从从2001年年4月到月到2006年年3月惠普与标准普尔月惠普与标准普尔500超额收益率超额收益率238-3 惠普、标普惠普、标普500的散点图和惠普的证券特征线的散点图和惠普的证券特征线2425表8-3 Excel输出结果：惠普公司的证券特征线统计量RR2调整后的R2月标准误SE,即残差的标准差n自由度方差分析回归平方和残差平方和=(SE)2=系数/标准误2627

15、28图8-4 组合资产超额收益298.4 投资组合的构建与单指数模型投资组合的构建与单指数模型8.4.1 与证券分析与证券分析v 单指数模型为宏观分析和证券分析提供了一个框架，单指数模型为宏观分析和证券分析提供了一个框架，利用此框架建立一个输入表层次：利用此框架建立一个输入表层次： 经济分析：估计风险溢价与市场指数风险经济分析：估计风险溢价与市场指数风险 所有证券的所有证券的 系数与残差系数与残差 通过通过市场驱动模型（指数模型统计）市场驱动模型（指数模型统计）得到证券的期望收得到证券的期望收益益 确定确定 的努力来源于证券分析的努力来源于证券分析8.4.2 投资资产的指数组合投资资产的指数组

16、合 308.4.3 单指数模型的输入列表单指数模型的输入列表v标普标普500的风险溢价的风险溢价v标普标普500组合的标准差估计组合的标准差估计vn组估计值：组估计值： 系数系数残差残差 值值318.4.4 单指数模型的最优风险投资组合单指数模型的最优风险投资组合v最大化夏普比率：最大化夏普比率：321111122111222222211()()()()( )()nnPPMPiiMiiiinnPPMPMiiiiiiPPPE RE RwE RwewweE RS 8.4.4 单指数模型的最优风险投资组合单指数模型的最优风险投资组合v最优风险投资组合的构成最优风险投资组合的构成:积极组合积极组合 A

17、市场组合市场组合 M3322022)(/ )(/, 1MMeAAMMeAREwREAA初始头寸：为同理，指数组合的权重则其最优权重应为：若积极组合的8.4.4 单指数模型的最优风险投资组合单指数模型的最优风险投资组合若积极组合头寸的若积极组合头寸的 不为不为1，则有如下，则有如下修正修正:特别的，当特别的，当 340*01 (1)AAAAwww*01,AAAww8.4.5 信息比率信息比率35222()APMAess高：夏普比率将比消极策略则最优风险投资组合的于指数组合于积极组合，投资投资,1*AAww信息比信息比率率8.4.5 信息比率信息比率36niiiAAniiiiiAieeeeww12

18、222122*)()()()(比重应为：组合内单项证券的投资率最大化，为使积极组合的信息比8.4.6 最优化程序概述最优化程序概述37)(/ (1)20iiiew券的原始头寸：计算积极组合中每个证niiiiwww100 1(2)：比例之和为调整原始头寸，使组合niiiAw1 (3)值：计算积极组合的8.4.6 最优化程序概述最优化程序概述38)()( (4)2122iniiAewe计算积极组合的残差：220)()( (5)MMiAAREew寸：计算积极组合的原始头niiiAw1 (6)值：计算积极组合的8.4.6 最优化程序概述最优化程序概述3900*)1 (1(7)AAAAwww寸：调整积极

19、组合的原始头iAiAMwwwww* ;1(8)AAMAAMPwREwwE(R*)()() (9)的风险溢价：计算最优风险投资组合22M2*2)( (10)(ewwwA*AAAMP的方差：计算最优风险投资组合图图 8.5 Efficient Frontiers with the Index Model and Full-Covariance Matrix40表表 8-4 Comparison of Portfolios from the Single-Index and Full-Covariance Models418.5 指数模型在投资组合管理中的实际运用指数模型在投资组合管理中的实际运用4

20、28.5.1 指数模型与马科维茨模型的比较指数模型与马科维茨模型的比较马科维茨模型的马科维茨模型的R方可能较好，但巨量数据的可能方可能较好，但巨量数据的可能的估计误差抵消了这个好处。的估计误差抵消了这个好处。指数模型：简单的就是好的指数模型：简单的就是好的指数模型：证券投资的结构化分析思路指数模型：证券投资的结构化分析思路8.5.2 指数模型的行业概念指数模型的行业概念(industry version)2222*)1 (MfMRraebrar决定系数：超额收益关键点：用总收益而非其中：美林公司：43Table 8.5 Merrill Lynch, Pierce, Fenner & Smith, Inc.: Market Sensitivity Statistics44 的调整的调整v 总是趋近于总是趋近于1直觉经验