阶变系数齐次微分方程

1、毕业论文题目二阶变系数齐次线性微分方程的若干解法院 系滨江学院专 业 信息与计算科学学生姓名xxx XX学号 xxxXX指导教师XXX职称教授二0 二年五月二十日目录摘要 3引言 31、用常数变易法求解二阶变系数齐次微分方程的解 3已知方程的一个特解求通解 32、化为恰当方程通过降阶法求解二阶变系数齐次微分方程的解 5求满足定理 1 的恰当方程的通解 5求满足定理 2 的恰当方程的通解 63、化为 RICCAIT 方程求二阶变系数齐次线性微分方程的解 6若方程系数满足 p(x)' q(x)情况 8若方程系数满足 p(x) q(x) 1情况. 9若方程系数满足 p(x) q(x) 1情况

2、 10结束语 . 11参考文献 11二阶变系数齐次线性微分方程的若干解法姓名xx 大学 xx 专业，南京 210044摘要 ：二阶线性齐次微分方程无论是在微分方程理论上还是在应用上都占有重要位置。现在对于常系数 的线性微分方程的解法研究已经比较完备。但对于变系数线性微分方程如何求解，却没有通用的方法，因 此探求二阶变系数微分方程的解法就很有必要。 本文主要讨论二阶变系数齐次线性微分方程的解法问题， 通过利用常数变易法，和系数在满足特定条件下，化为恰当方程和 riccati 方程来求解二阶变系数齐次微 分方程的解法，直接通过具体例题解决具有满足相同条件关系的二阶变系数齐次微分方程的解，从而进一

3、步加深对二阶变系数齐次线性微分方程的解法的理解。关键词 ：二阶变系数齐次线性微分方程；常数变易法；降阶法；恰当方程；riccati 方程；通解；引言：尽管由于计算数学和计算技术的迅猛发展, 通过电子计算机可以迅速而且比较准确地处理有关微分方程的求解问题。但是，在实际学习生活 中对于一个常微分方程， 不论从理论研究的角度， 或从实际应用的角度看， 都具有十分重要的地位。现在我们对于常系数线性微分方程的解法，已非 常完备，但是对于理论比较完整的、有广泛应用的线性变系数微分方程至 今却没有一般的求解方法，因此二阶变系数齐次微分方程的求解问题一直 是人们感兴趣的研究课题。本文对系数满足特定条件的二阶变

4、系数微分方 程，通过观察其形式， 巧妙利用常数变易法， 化为恰当方程， 和化为 riccati 方程来求解。主要针对不同类型的二阶变系数方程用不同的方法实现解决 部分满足一定条件下的方程的解的目的。诣在通过具体例题的解法，解决 系数满足特定条件下的二阶变系数齐次线性微分方程求解的问题，从而使 我们能更进一步加深对二阶变系数齐次微分方程解法的理解，以便适应在 工程技术的实际领域或学生在学习相关专业中的需要。本文主要通过把方程转化为我们所熟悉形式，来讨论二阶变系数齐次 微分方程y'' p(x)y' q(x)y 0(1)的解，其中p(x),q(x)是关于x的连续函数。1、用常

5、数变易法求解二阶变系数齐次微分方程的通解已知方程一个特解求方程通解在我们课本上所学的关于求解二阶常系数齐次线性微分方程，我们可以通过特征方程法求其线性无关的特解，然后再利用微分方程解的相关性质从而求得其通解，对于这个方法我们已经很熟悉了。那对于二阶变系 数齐次线性微分方程求解怎么进行？因为二阶变系数齐 线性微分方程由于其系数的变化不同，使用特征方程法就没用，为此我们想到通过常数变易法，来讨论二阶变系数齐次线性微分方程(1)的解，具体思路如下:若已知yi为方程(1)的一个特解，则知cyi( C 为任意常数)是方程 (1)的一般解，我们可以通过变易常数，设与方程 (1)的解y1线性无关的 解为y2

6、 c(x)y“，其中c( x)是待定的函数，将其代入方程(1)可以得到:c''y1(2y pyjc' c(y' py1' qyj 0(已知y1为方程(1)的一个特解，化简可以得到：c''y1 (2y1' pyjc' 0()观察此方程是一个可降阶的微分方程，则令u c可得：u y12y1py1 u 0，利用变量分离得：2y1宾0uy1()积分得：u2pdx屮e则:2Pdxc xy1 edx()2p x dx所以，y2 y1 y1 edx2例 1 若 已 知 y1 ex 是 二 阶 变 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程

7、y 4xy 4x2 2 y 0的一个特解 , 求此二阶变系数齐次微分方程的通 解。解: 已知一个特解 y 1 ，利用()的结论 ,得另一个线性无关的特解为 :2所以原方程的通解为： y =( c1+c2x)e 其中( c1， c2 为任意常数)。 例 2求解 (x 1)y'' xy' y 0 ，已知它的一个特解是 y1 x ，求其通解。解： y1 x ，利用常数变易法 ，得到所求通解为：一般的若已知二阶齐次线性微分方程的一个特解(对某些方程我们可 通过观察法或分析法快速确定) ，然后利用常数变易法设另外一个特解， 代入原方程后就可得到一个可降阶的微分方程，从而很简便的求

8、得二阶变 系数齐次微分方程的通解。2、化为恰当方程通过降阶法求解二阶变系数齐次微分方程的通解 引入概念 如果二阶变系数齐次微分方程满足以下 条件 1和条件 2中的系 数p(x),q(x)所限制的条件时，所能得到的方程就称之为恰当方程。如何化为化为恰当方程通过降阶法求解方程通解？我们的思路就是 观察二阶变系数齐次线性微分方程的系数，把系数化成满足恰当方程的系 数形式，然后将转化后的的系数形式带入方程，然后利用变量代换，通过 降阶法，把方程变为我们所熟悉的一阶方程积分求得方程的通解。求满足条件 1 的恰当方程的通解条件1二阶变系数线性常微分方程(1), 对于系数p(x), q(x)若满足 其中函数

9、F(x),F'(x),W(x)都是连续函数,则把此类方程为恰当方程。 例1 求方程 y'' 4xy' (4x2 2)y 0 的通解解： 令 F(x) 2x,W(x)2x, 则 F '(x) W(x)F(x) 4x2 2系数满足定理1的条件则是恰当方程。将其带入方程(1)就可以得到y' (F(x) W(x)y' (F'(x) W(x)F(x)y 0形得：基于换元法，令u y' F(x)y 则有：(解上面的方程(就得到： 把式(代入式得 解得：将上式通过变u' W(x)u 0即得方程的通解为：(其中qq是任意的常数。)

10、所以原方程的解为:即:2x21 x2 2x2Ge xc2e x2求满足条件2的恰当方程的通解条件2二阶变系数线性常微分方程(1),对于系数p(x), q(x)若满足其中F(x),W(x)为一阶导数连续的函数，则把此类方程称为恰当方程。99例2求方程y'' (1 -)y' 2y 0的通解xx解： 令 F(x) x2,W(x) x2，则可知:p(x)F'(x) W(x)F(x)c22x x2x;1，q(x)W'(x)F(x)2x 22 x x系数p(x),q(x)满足条件(，将其代入方程(1)便得: 将上式两端减掉Q'整理便得到：于是进一步便得到：F

11、(x)y' W(x)y Q Q 'dx CW(x)dx Q c Wlxldx解得： y e F(x) 土2eF(x)(其中& , c2为任意常数。)F(x)若方程满足 条件2中的条件，且Q(x) O,F(x) W(x)则方程(1)有通解为：y e x Jexdx c2其中 g， c2为任意常。F(x)根据通解公式得出所求原方程的解为：xy e xC2其中Ci， C2为任意常数。x将二阶变系数齐次线性微分方程化为恰当方程，通过观察系数之间的关系代入方程，利用变量代换法将方程降阶来求解通解问题，使得问题变得简单可行，这个方法对于满足条件的二阶变系数齐次方程适用性强，但 是不

12、具普遍性，而且对于相对复杂的系数我们也难一眼看出它们之间的关 系，这对我们解决问题具有一定的局限性。3、将二阶变系数微分方程化为riccati方程求解将二阶变系数齐次线形微分方程化为 riccati方程,主要是利用原有的riccati 方程方程的通解结论，将方程通过换元法化为riccati 方程，然后得出相关的结论，进而再求出通解，思路比较简单。引入以下几个结论：法国数学家刘维尔在(1841年)证明了着名的riccati方程一般来说不可积，文4-5均给出待定函数满足定理条件时方程的通积分。4'引理1 若系数满足 q(x) r(x)，则riccati方程可积且其通积分为 p(x)引理2

13、5若系数满足p(x) 魁，则riccati方程可积且其通积分为p(x)若方程系数满足p'(x) q(x)的情况u'(x)y u(x)y'将y'和y''代入原方例1 求方程y'' - y' y 0的通解 x x解： 基于换元法 令y u(x)y，则y''程(其中u(x)是新的未知函数)2 1 1即：u(x)y u (x)y -u(x)y y 0xx经过化简可得：y( u'(x) u2(x) -u(x)0x xy 0很显然是方程()的解。所以可知： u'(x) u2(x) -u(x)0x x11

14、则：u(x) u2(x)丄u(x) 是关于 u' (x)的 riccatixx11可知p(x) ， q(x) 因为p(x)' q(x)，即(p(x)'q(x)满足上面的 引xxI理1輕 r(x)的条件。p(x)所以关于u(x)的riccati方程的通积分为：u(x)1(C1为任意常数)dx业dx1 .e dxxhxx(c1 edx1dx)yx(C11 .e dx3p(x)dxdxe x dxc2 exp(dxe xIdxxG edx)(其中g，C2为任意常数。解得：yC2e(1 .e dxx1dxq e x dx丄)dx)(其中C1， C2为任意常数。)x当 C20 时

15、，y 0。所以原方程的通解为:y C2 exp (1 .e dx171)dx竺-dxxxx dxc2x其中C|eC1，C2为任意常数)若方程系数满足p(x)q(x)1的情况例2求方程y''(-x解：基于换元法y'12)y'(xexu(x)y ,则 y''exu'(x)y3)y0的通解exu(x) y exu(x) y' 将 y 和y代入原方程(其中u(x)是新的未知函数),化简可得:很显然y 0方程()的解u (x) exu2(x)是一个关于u(x)的riccati1(1 (- 2)u(x)x方程。1(-3) xxe因为p(x)

16、q(x) 1,所以方程(可化为因为Q(xQ(x)xe即上述方程满足引理2的条件，所以关于u(x)的riccati 方程的通积分为:u(x)2exexdxdxdx亠(其中G为任意常数。)e dx由此可得：解得：当C2 0时，y 0,所以原方程的通解为y c2 expe1x1dx121dxx|xx /e (4)dx C2(c (x 2)ex)e其中c1, c2为任意常数。)若方程系数满足p(x) q(x) 1情况11_例3 求方程y'' (3)y' (2 )y 0的通解xx解：基于换元法，令 y' e 2 q(x)|dx Gee dx由此得解得:u(x)y ,则 y

17、'' e xu'(x)y e xu(x)y e xu(x)y将y'和y代入原方程(其中u(x)是新的未知函数)，化简可得：显然y 0方程(的解。而是一个关于 u(x)的riccati 方程。因为p(x) q(x) 1 ,所以方程( 可化为：因为q(x)q(x)xee x,即上述方程满足 引理2的条件，所以关于u(x)的riccati 方程的通积分为:u(x)ex (其中d为任意常数e 2 q(x) dxc2 exp( e x(e2 q(x)c1x 2 q(x)|dxe e dxex)dx)当 C20时,y o,所以原方程的通解为:c2 exp( e x(2 2

18、1) e x dx ex)dx)2 2 1dxxG e exdx°(c(x 1)exe中Ci , C2为任意常数。）这种方法要求系数在满足特定条件下，采用换元法进行运算，要求我 们对系数关系有很好的把握，主要是利用已有结论求通解，方法简单明了,但是对于如何化为riccati方程是解决此类题目的关键，这并不适用于每 一个方程的求通解问题，但是这种方法能使我们对于二阶变系数齐次线性微分的解法有了更深刻的理解。四、结束语本文主要讨论二阶变系数齐次线性微分方程的若干解法，求解在方程 满足特定条件下，巧妙地求解二阶变系数齐次微分方程的通解。主要是通 过常数变易法，化为恰当方程通过降阶法，以及把

19、二阶变系数齐次线性微 分方程转为riccati方程求解，使得变系数齐次微分方程的解法变得有效 可行。这几种方法的使用，需要我们能够准确把握题目中暗含的条件，从 而对应的找到相应解决办法，然后转化为我们熟悉的方程形式来求解方程 的解，使得二阶变系数齐次微分方程解法变得更容易理解。本文提供的及 几种方法虽然可以解决不少二阶变系数齐次微分方程，但却不具普适性， 对于很多的二阶变系数方程的解法仍具有一定的局限性，仍需要大家今后 不断在这一课题上努力研究。在本文实际解题过程中也利用了解决方程问 题常用的一些方法，常数变易法、换元法、降阶法等让我们对于这些方法 的研究有了更广泛运用和更深刻的理解，但还有很

20、多的方法如初等函数 法、积分法、向量法等，在此就不逐一讨论了参考文献】 1 曹友娣 , 刘玉彬。一类二阶变系数微分方程的解 A. 惠州学院学报 ( 自然科学版 ) 2010(3):6-30 2 杨万顺 . 二阶变系数线性常微分方程的求解 M . 潍坊学院学报 2011 : 10-61. 3 刘琼 . 一类二阶变系数微分方程的解 J. 广西右江民族师专学报 2002( 6): 18- 20 . 4 冯录祥 . 一特殊类型 R i ccati 方程的积分 J. 石河子大学学报 自然科学版 , 1997( 4): 316- 318 . 5 庞建华 . R iccati 方程的一些新的可积条件 J.

21、广西工学院学报2008( 2) : 89- 92 . 6 顾建吾, 张 亭. 二阶变系数线性微分方程求解的几点研究 A. 南 通职业大学学报 , 2010( 2): 60- 07 . 7 李姝菲, 赵明. 二阶线性微分方程解的讨论 J. 吉林师范学院学 报, 1998( 1) : 21- 24 . 8 王玮 . 二阶变系数线性微分方程的解 J. 焦作大学学报 : 综合版 , 1996( 6) : 27- 29 .9 李永利 . 桑改莲 一类二阶变系数齐次微分方程通解的求法 J- 高等 数学研究 2006 ， 910 袁相碗，徐洪义，包雪松，常微分方程 M. 南京：南京大学出版 社.1994.1

22、1 王高雄 . 常微分方程 M. 北京：高等教育出版社several solutions for the Second order variablecoefficient and homogeneous linear of differentialequationFengXinNanjing information engineering university institute of binjianginformation and computer science major, nanjing 210044Abstract: the second order and homogeneous

23、linear differential equation whether in theoryor in the application of differential equation are an important place. Now for a linear differential equation with constant coefficients of studies have relatively complete solutions. But for variable coefficient linear differential equation how to solve, but there is no universal way, so to search for second order variable coefficient of the differential equation solution is very necessary. This paper mainly discusses the second order homogeneous linear differential equation v