利用Excel进行FFT和Fourier分析的基本步骤

1、实例：杭州市2000人口分布密度计算得到的结果，数据由冯健博士处理利用Excel进行FFT和Fourier分析的基本步骤根据2000年人口普查的街道数据经环带（rings）平均。下面的变换实质是一种空间自相关的分析过程。1AB距离人口密度20.32818430.92682141.52462152.12317662,71891073,31960183.91694594.510829105.17282115.76200126.35644136.94297147.53806158.13153168.72683179.32354189,920281910.51828201L11651211L71531

2、2212,314902312.914652413.512782514,110332614.79582715.3882第一步，录入数据在Excel中录入数据不赘述（见表1）。表1原始数据序列13。8r3.9169459r4.510829105.1728211匚5.7620012匚6.3564413匚6.9429714匚.5380615ra.1315316r8.7268317r9.3235418r9.9202819rio.5182820rii.i165121rii.7158122r12.314902312.914652413.512782514.1103326r14.?95827r15.38822

3、8029030031032033034表2补充后的数据序列第二步，补充数据由于Fourier变换（FT）一般是借助快速Fourier变换（FastFourierTransformation,FFT）算法，而这种算法的技术过程涉及到对称处理，故数据序列的长度必须是2n（N=1,2,3,）。如果数据序列长度不是2N,就必须对数据进行补充或者裁减。现在数据长度是26,介于24=16到25=32之间，而26到32更近一些，如果裁减数据，就会损失许多信息。因此，采用补充数据的方式。补充的方法非常简单，在数据序列后面加0,直到序列长度为32=25为止（表2）。当然，延续到64=26也可以，总之必须是2的整

4、数倍。不过，补充的“虚拟数据”越多，变换结果的误差也就越大。第三步，Fourier变换的选项设置沿着工具（Tools）一数据分析（DataAnalysis）的路径打开数据分析复选框（图1）。型MicrosoftExcel-FourierAnalysis口旨。启昌以手电O学拼写F7巾自动俣存（冷,因文件编辑视图0插入格式他工具数据（由窗口出帮助时B31AB1二c1距离人口密度20.3281S430.9J268214L512462152123176627189107一3.31960181694594.5108291057282规划求解（功数据分析必加载宏自定义（Q选项（共享工作簿C出.俣护朕机忸作

5、（tl）图1数据分析（DataAnalysis）的路径在数据分析选项框中选择傅立叶分析（FourierAnalysis）（图2）。图2数据分析（DataAnalysis）在Fourier分析对话框中进行如下设置：在输入区域中输入数据序列的单元格范围“$B$1:$B$33”；选中“标志位于第一行（L）”；将输出区域设为“$C$2”或者“$C$2:$C$33”（图3a）。ab图3傅立叶分析（FourierAnalysis）注意：如果“输入区域”设为“$B$2:$B$33”，则不选“标志位于第一行（L）”（图3b）。表3FFT的结果ABC11距离人口密度FFT结果20.328184218701.85

6、701348630.926821104459.634221827-103400.537615386141.52462137684.6714056542-89512.0012034132152.12317614197.250796317-55505.0538756088162.71891011894.2167827967-2964L7572806823173.31960118938.3527863987-2082L9426353265183.91694520635.720934404-23004.859645722519451032914487.9855812052-23932.27386864

7、261105172829835.411667338-16677.825832655511157620011919.4680580233-7585.6566687729811263564416112.0959220229-5044.18363484586113一6.9429717113.448218299-7100.56950799216i14X5380616598.4374913769-7622.177586891951158.1315315868.1982894284-7046.263462401091168,7268313454.062810094-5175.724568612521179

8、3235412259.0748348707-1721.4074408939811899202812261.30462533861910,5182812259.0748348708+172L4074408940312011.1165113454,062810094+5175.72456861252i211L7158115868,1982894284+7046.263462401091_2212.3149016598,4374913769+7622_23119146517113.448218299+7100.5695079921412413.5127816112.0959

9、220228+5044.1836348458412514.1103311919.4680580232+7585.65666877299112614.79589835,41166733802+16677.825832655512715.388214487.9855812052+29932.2738686426128020635.7209344041+23004.8596457225129018938.3527863987+20821.9426353265130011894.2167827968+2964L7572806823131014197.2507963171+55505.053875608

10、9ihNd川原始数据让/第四步，输出FFT结果选项设置完毕以后，确定(OK),立即得到FFT结果(表3)。显然，表3给出的都是复数(complexnumbers)。假定一个数据序列表为f(t),则理论上Fourier变换的结果为F(.)=fejtd=Ff(t),(-二-.10-2度密谱率功杭州人口密度衰减的频谱图（2000）图7Mathcad2000生成的频谱图下图是常用的频谱图形式，如果存在周期，则在尖峰突出的最大点可以找到。这个图中是没有显示任何周期的，但并不意味着没有重要信息。在理论上，如果人口密度分布服从负指数模型，则其频率与功率谱之间应该满足如下关系P（f）工f为了检验这种推断，不妨

11、用下式进行拟合P（f）工fi这正是3噪声（jnoise）表达式。度密谱率功1400000000120000000010000000008000000006000000004000000002000000000.10.20.30.40.5图8利用Excel绘制的频谱图（常用形式）为了拟合哥指数模型，去掉0频率点，结果得到P（f）=1280514fA.7983,R2=0.9494多种模型比较的结果，发现哥指数模型的拟合效果最好（图9）。将图9转换成对数刻度,拟合效果就尤其明确（图10）。显然，3=1.79832。度密谱率功800000000700000000600000000500000000400000000300000000200000000100000000频率图9频谱图的模型拟合结果（去掉0频点）1E+09度密谱率功1.081.E+07P(f)=1280514.1795f-。983R2=0.9494i4匚_1_CG0.010.11频率图10双对数频谱图利用模型及其参数，我们可以对杭州市人口分布特征及其变化进行系统分析。但是，深入的分析仅仅借助一个参数是不够的。具体的分析过程将用专门的文章进行论述。最后说明一点：前面的公式P(，)