2017年成都市一诊考试数学试题与答案(理科)

1、理科第I卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)设集合UR,Axx2x20,则eUA(A)1U2,(B)1,2(C),1U2,(D)1,2(2)命题“若a b,则a cb c”的否命题是Fi,F2,曲线上一点P满(A)若ab,则ac<bc(B)若ac<bc,则a.b(C)若acbc,则ab(D)若awb,则ac<bc(3)执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为输入的x为(A)1(B)-1或1(C)1(D)-1922(4)已知双曲线二二1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为

2、ab足PF2x轴，若FF2I12JPF2I5,则该双曲线的离心率为(A)至(B)3(Q!2_(D)31225已知为第二象限角，且sin2至，则cossin的值为25(A)7(B)7(C)1(D)155555 .2一6 6)x1x2的展开式中x的系数为(A)25(B)5(C)15(D)20(7)如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为(A)136(B)34(C)25(D)18(8)将函数fxsin2xJ3cos2x图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将图象上所有点向右平移一个单位长度，得到函数gx的图象，则该图象的一条对称6

3、轴方程是(A) x (B) x6(0 x 524(D) x 3在直三棱柱ABCABG中，平面与棱AB,AC,AC1,AB1分别交于点E,F,G,H,/平面且直线AA/平面，有下列三个命题：四边形EFGH是平行四边形；平面BCG Bi ；平面平面BCFE .其中正确的命题有(A)(B) (C)(D)(10)已知A,B是圆O: X22y 4上的两个动点,uurAB二2uuirOC5 uuu 2 uurOA OB33.若M是uuuruunn线段AB的中点，则OCOM的值为(A)3(B)273(C)2(D)3(11)已知函数f X是定义在R上的偶函数，且f1,0 时,3f X X ,则关于X的万程f

4、X |cos x|在5 1-,-上的所有实数解之和为(A) -7 (B) -6 (Q -3 (D) -1(12)已知曲线C1： y24x 1tx t 0在点M 丁2处的切线与曲线C2: yex 11也相切,433 7士则t In"的值为t(A) 4e2 (B) 8e (C)(D) 8第R卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共(13)若复数z -a-1 i4小题，每小题5分，共20分.(其中a R, i为虚数单位)的虚部为 1,则a的梯形，且当实数t取0,3上的任意值时，直线(14)我国南北朝时代的数学家祖咂提出体积的计算原理(祖的I原理)：“哥势既同，则积不容异”.“势”即是高

5、，“哥”是面积.意思是，如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.类比祖咂原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底为1yt被图1和图2所截得的两线段长始终相等，则图1的面积为2xy40(15)若实数x,y满足约束条件x2y20,则的最小值为xx103(16)已知ABC中，ACJ2,BC旗,ABC的面积为,若线段BA的延长线2上存在点D,使BDC_,则CD.4三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分)已知数列an满足a12,an12an4.(I)证明数列

6、an4是等比数列;(II)求数列an的前n项和Sn.(18)(本小题满分12分)某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制.各等级划分标准为：85分及以上，记为A等；分数在70,85)内，记为B等；分数在60,70)内，记为C等；60分以下，记为D等.同时认定A,B,C为合格，D为不合格.已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在50,100内，为了比较两校学生的情况，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计.按照50,60),60,70),70,80),80,90),90,100的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，作出乙校的样本中等级为C,D的所有

7、数据的茎叶图如图2所示.(I)求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；(II)在选取的样本中，从甲，乙两校C等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用X表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量X的分布列和数学期望.(19)(本小题满分12分)如图1,正方形ABCDK点E,F分别是ABBC的中点，BD与EF交于点H,G为BD中点,点R在线段BH上，且邺(0),现将RHAED,CFD,DEF分别沿DE,DF,EF折起，使点AC重合于点B(该点记为P),如图2所示.(I)若=2,求证：GR平面PEF;(II)是否存在正实数，使得直线FR与平面DEF所成角的正弦值为292?若存在，求出

8、的值；若不存在，请说明理由5(20)(本小题满分12分)22xy,一已知椭圆1的右焦点为F，记直线l:x5与x轴的交点为E,过点F且54斜率为k的直线li与椭圆交于A,B两点，点M为线段EF的中点.(I)若直线11的倾斜角为一，求ABM的面积S的值；4(II)过点B作直线BN1于点N,证明：AMN三点共线.(21)(本小题满分12分)1已知函数fxxlnx1(a)x2a,aR.2，,，一，.1(I)当x0时，求函数gxfxInx1x的单调区间；2(II)当aZ时，若存在x>0,使fx0成立，求a的最小值.请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题计分.(22)

9、(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为 (一)的直线l的参数方程为2x 1 t cos y tsin(t为参数).以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是cos24sin0.(I)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(n)已知点P(1,0),点M的极坐标为(1,一)，直线l经过点M且与曲线C相交于A,B2两点，设线段AB的中点为Q求PQ的值.(23)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数fxx13x,x>1.(I)求不等式fxW6的解集;(n)若fx的最小值为n,正数a,b满足2naba2b

10、,求2ab的最小值.文科第I卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)设集合UR,Ax|x1x20,则eA(A),1U2,(B)1,2(C),1U2,(D)1,2命题“若ab,则acbc”的逆命题是(C)若 a(A)若ab,则ac<bc(b)若ac<bc,则a.bcbc,则ab(D)若a.b,则ac<bc22(3)双曲线xy1的离心率为453,5,n0,那么(A)4(B)(C)<5_(D)I(4)已知为锐角，且sin-,则cos5(A)(B)(C)(D)一(5)执行如图所示的程序框

11、图，如果输出的结果为5555输入的x为(A)1(B)-1或1(C)-1(D)19(6)已知x与y之间的一组数据：x1234ym3.24.87.5若y关于x的线性回归方程为?2.1x1.25,则m的值为(A) 1(B) 0.85(C) 0.7(D) 0.5(7)定义在R上的奇函数f x满足f x 3f x ,当 0,3 时，f x2x3,则(A)1(B)1(C)125(D)8888(8)如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的所有棱中，最长的棱的长度为(A)/4T(B)34(C)5(D)3.2(9)将函数fxsin2xJ3cos2x的图象上的所有点向右平移一

12、个单位长度，得到函数6gx的图象，则该图象的一个对称中心是(A)(一，0)(B)(，0)(C)(一,0)(D)二,034122(10)在直三棱柱ABCABC中，平面与棱AB,AC,ACi,AB分别交于点E,F,G,H,且AA/平面，有下列三个命题：四边形EFGH是平行四边形；平面/平面BCCiBi；平面平面BCFE.其中正确的命题有(A)(B)(C)(D)右口22uuuuiuir5uuu2uur(11)已知A,B是圆O:xy4上的两个动点，AB=2,OC-OAOB,若点M33uuuruuur是AB的中点，则OCOM的值为(A)3(B)2M(C)2(D)3(12)已知曲线G： y2 tx y0,

13、t 0在点M4-,2处的切线与曲线 tC2： y也相切，则t的值为2e(A)4e2(B)4e(C)J(D)44第R卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.(13)复数z-2(i为虚数单位)的虚部为-1i(14)我国南北朝时代的数学家祖附I提出体积的计算原理(祖的I原理)：“哥势既同，则积不容异”.“势”即是高，“哥”是面积.意思是，如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.类比祖的I原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个矩形，且当实数t取0,4上的任意值时，直线yt被图1和图2所截得

14、的线段长始终相等，则图1的面积为.2xy4(15)若实数x,y满足约束条件0,则3xy的最大值为(16)已知ABC中，ACJ2,BCABC的面积为,若线段BA的延长线2上存在点D,使BDC_,则CD4三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(17)(本小题满分12分)某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制.各等级划分标准为：85分及以上，记为A等；分数在70,85)内，记为B等；分数在60,70)内，记为C等；60分以下，记为D等.同时认定A,B,C为合格，D为不合格.已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在50,100内

15、，为了比较两校学生的情况，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计.按照50,60),60,70),70,80),80,90),90,100的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，作出乙校的样本中等级为C,D的所有数据的茎叶图如图2所示.(I)求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；'-(II)在乙校的样本中，从成绩等级为C,D的学生中随机抽取2名学当5t生进行调研，求抽出的2名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率.:,(18)(本小题满分12分)图2在等比数列an中，348al，且a1，a21,a3成等差数列(I)求数列an的通项公式；(II)求数列an4的前n

16、项和Sn.(19)(本小题满分12分)如图1,正方形ABCDK点E,F分别是ABBC的中点，BD与EF交于点H,点G,R分别在线段DHHB上，且DG里，将AED,CFD,BEF分别沿DE,DF,EF折起，GHRH使点AB,C重合于点P,如图2所示.(I)求证：GR平面PEF;(II)若正方形ABCD勺边长为4,求三棱锥PDEF的内切球的半径.圉1圉22x已知椭圆一5(20)(本小题满分12分)2y,一1的右焦点为F，记直线l:x5与x轴的交点为E,过点F且4斜率为k的直线li与椭圆交于A,B两点，点M为线段EF的中点.(I)若直线li的倾斜角为一，求AB的值；4(II)设直线AM交直线l于点N

17、,证明：直线BNl.(21)(本小题满分12分)已知函数fXxlnx(1k)xk,kR.(I)若k1,求fx的单调区间;(II)当x1时，求使不等式fx0恒成立的最大整数k的值.请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题计分.(22)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为 (一)的直线l的参数方程为2x 1 t cos y tsin(t为参数).以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是cos24sin0.(I)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(n)已知点P(1,0),点M的极坐

18、标为(1-),直线l经过点M且与曲线C相交于a,B，2两点，设线段AB的中点为Q求PQ的值.(23)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数fxx1(i)求不等式fxW6的解集；(n)若fx的最小值为n,正数a,b满足2naba2b,求2ab的最小值.参考答案理科一、选择题1.B;2,D;3.D4.B;5.B;6.C;7.B;8.D;9.C;10.A;11.A;12.D.二、填空题13.214.915.316.322三、解答题17. (I)Qa12,a142Qan12an4,a0142a82(%4)an14A24分an4an4是以2为首项，2为公比的等比数列.5分(II)由(I)可知

19、an42n,an2n47分当n1时，a120,Si1ali2；8分当n2时，an0,Snaa?Lan9分2(224)L(2n4)2(22L2n)4(n1)4(12")1，c24(n1)24n211分12又Qn1时，上式也满足，n1nN,Sn2n14n212分18. (I)由题意可知，10x0.012100.056100.018100.010101,x0.0042分甲学校的合格率为110x0.963分而乙学校的合格率为1-20.964分50甲、乙两校的合格率均为96%5分(II)样本中甲校C等级的学生人数为0.01210506人6分而乙校C等级的学生人数为4人，随机抽取3人中，甲校学生

20、人数X的可能取值为0,1,2,37分P(X 0)C3C030P(X1)c6c42C1010，P(X 2)c：c4C130C31P(X 3)会 a 611分12分X的分布列为X0123P13031012163119数学期望EX12-3191026519. (I)由题意可知，PE,PF,PD三条直线两两垂直1分PD平面PEF,2分在图1中，QEF/AC,H为EF的中点，又QG为BD的中点，DG2GH分所以在图2中，Q-BRRHc DG 2,且 2,GH1,0),0)7分p在PDH中，GR/DP5分GR平面PEF6分(II)由题意，分别以PF,PE,PD为x,y,z轴建立空间直角坐标系Pxyz,设P

21、D4,则P(0,0,0),F(2,0,0),E(0,2,0),D(0,0,4),H(1,1,0)PRuuuuuirQ,PRPH，R(RH11uuu2RF=(2,0)(,-1111uuuuuur又因为EF(2,2,0),DE(0,2,4),设平面DEF的一个法向量为m(x,y,z),uuurEFm2x则uurDEm2y2y0，取m(2,2,1),4z0Q直线FR与平面DEFW成角的正弦值为2.2,5uurcosm,RFuurmRFtuu4-|m|RF|3(2)2(1)22.22.211分92+1877(舍)3故存在正实数1-,使得直线FR与平面DEFW成角的正弦值为32.2512分20.(I)由

22、题意F(1,0),E(5,0),M(3,0)，设A(xi,y。B(x2,y2),Q直线1i的倾斜角为一,41,1i方程为yx代入椭圆方程可得,9y28yy1y289,y1y2所以SVABM1|fm|y1y21J(yy2)24y1y2(II)设直线(9)24168元-.6分99l1的方程为yk(x1),代入椭圆方程得：(45k2)x210k2x5k2200,则Xix210k22_5k202,Xix2245k245k2Q直线BNl于点NN(5,V2),y13x1kMN而y2(3Xi)2(yi)k(x21)(3x1)2k(x11)kx1x23(x1x2)5k(5k24205k210k245k25)0

23、,11分12分kAMkMN,故A,M,N二点共线.21.(I)由g(x)(x1)ln(x1)(1a)x2a(x0),得g(x)ln(x1)2a.当2a0,即a2时，g(x)0对x(0,)恒成立，此时，g(x)的单调递增区间为(0,)，无单调递减区间2分当2a0即a2时，由g(x)0,得xea21,由g(x)0,得0xea21,a2a2此时，g(x)的单调递减区间为(0,e1),单调递增区间为(e1,).3分综上所述，当a2时，g(x)的单调递增区间为(0,)，无减区间；a2当a2时，g(x)的单倜递减区间为(0,e1),单调递增区间为/a2(e1,)4分1(H)由f(x)0,得(x1)axln(x1)-x2,21xln(x1)x2当x0时，上式等价于a2,5分(x1)1xln(x1)-x2令h(x)2(x0)，x1据题意，存在x0,使f(x)0成立，只需ah(x)min6分ln(x 1) x，""(x 1)22x11ln(x1)-(x1)xln(x1)-x2 h (x)xI22(x1)2一3又令u(x)ln(x1)x3,显然u(x)在0,)上单调递增，231而u(0)0,u(1)ln20,2 2存在x0(0,1),使u(x(o)0,