电动力学复习题

1、电动力学复习题填空题1 .电荷守恒定律的微分形式可写为 J+责=0。 ft, 一 一、一一 一一一 - d -2 .一般介质中的Maxwell万程组的积分形式为EE d =-BdS、 1dts,H dl = If + fD dS、,D dS = Qf、B dS = 0。1dtssS3 .在场分布是轴对称的情形下，拉普拉斯方程在球坐标中的通解为巴r,e)=£ &rn + 与 Ricos )。n ar J4 .一般坐标系下平面电磁波的表示式是E(x,t)= E0ei(k xt&)。5 .在真空中，平面电磁波的电场振幅与磁场振幅的比值为光速C。6 .引入了矢势和标势后，电场

2、和磁场用矢势和标势表示的表达式为 d二 *。E = 5A,和 B =寸父A .£t7 .核能的禾I用，完全证实了相对论质能关系。8 .洛仑兹规范条件的四维形式是 必 =0。Xj9.真空中的Maxwell方程组的微分形式为c 苍 cBV x E = _ Ft E= 、V B =0、VmE = N j+N £no ;0 00 0 ft10 .引入磁矢势A和标量势下，在洛伦兹规范下，满足的波动方程是2 %.，:，.A； A = A -11 .电磁场势的规范变换为Id l rft12 .细导线上恒定电流激发磁场的毕奥-萨伐尔定律可写为B（x）=413 .介质中的Maxwell方程组

3、的微分形式为二 B、- '、E = D = Pf、 B = 0、 MH = Jf14.时谐电磁波的表达式是E(x,t)= E(x)e-i以和17.18.狭义相对论的质速关系是m00m 二B x,t = B x e i '15 .在两介质界面上，电场的边值关系为 n ID2 - D=仃和nE2 - Ei = 016 .库仑规范和洛伦兹规范的表达式分别为 7 A =-1 6cpR A+-=0°c ：t狭义相对论的二个基本原理分别是狭义相对性原理和光速不变原理。1 - vc219.真空中位移电流的表达式可写为Jd =力0-:t20.在场分布球对称的情形下，拉普拉斯方程在球坐

4、标中的通解为v（rF ）= a + .< rJ21 .满足变换关系vj=a»"的物理量称为相对论四维矢量。22 .揭示静电场是保守力场的数学描述是 Vx E = 0,或者寸E d=0。23 .介质中的Maxwell方程组的边值关系为n x（E2 - E1 ）= 0、4伯2 - H1 ）= J、二 1 1 一 - -n 0-D1 ）=仃、n B2 - B1 ）=0。24 .介质的极化现象是当介质置于外电磁场中，分子中的电荷将发生相对位移，分子的电偶极矩的取向呈现一定的规律性而出现束缚电荷的现象。25 .波导中截止波长入c其物理意义是只有波长 入小于入c的波才能在波导中传

5、播26 .电荷守恒定律的四维形式为 J = 0。fx27 .揭示磁单极不存在的数学描述是 > B = 0 。28 .在介质中，电磁波的传播速度与相对电容 率和相对磁导率的 关系是1VQ. r ；r29 .波导中截止频率s0的物理意义是只有频率大于或等于 & °的波才能在波导中传播。30 .麦克斯韦理论上预言了电磁波的存在，赫兹从实验上证实了电磁波的存在。31 .相对论指出了同时是相对的。32 .相对论的质能关系是 E=mC33 . 1820年 奥斯特 在讲课中发现电流附近的小磁针微微跳动了一下、苦苦进行了三个月的连续实验研究，终于向科学界宣布了 “电流的磁效应”，轰动了

6、整个欧洲。34 .法国物理学家安培提出了圆形电流产生的可能性，报告了 “右手定则”。35 . 1831年11月24日，法拉第 写了一篇论文,向英国皇家学会报告了 “电 磁感应现象”这一划时代的发现。36 .法拉第 类比于流体力学,提出用磁感线和电场线的几何图形形象地描述电 场和磁场的状况。37 .变化的磁场 能够激发涡旋电场。38 .变化的电场产生了位移电流。39 .介质置于外电磁场中，“分子的磁偶极矩”受到电磁场的作用而发生变化， 介质中将出现宏观的磁偶极矩即宏观的电流分布，这种现象称为介质的磁化40 .用假想的点状像电荷，代替比较复杂的边界，保持原来的边值条件不变，同 时不改变空间的电荷分

7、布。用这样的方法来求解静电场就称为电象法三、简答题1 .简述超导体的主要电磁性质。答：超导体的主要电磁性质有二个：零电阻性质和完全抗磁体。2 .简述什么效应指出了电磁场的矢势和标势具有可观察的物理效答：阿哈罗诺夫一玻姆效应（A B效应）指出了电磁场的矢势和 标势具有可观察的物理效应。3 .简述推迟势的物理意义答：推迟势的物理意义是反映了电磁相互作用有一定的传播速度。4 .写出x特殊方向的洛仑兹变换。答：x特殊方向的洛仑兹变换为：x -vtx 二-2 cy =yZ = zt -v2xt:c1:,1 c25 .简述平面电磁波的主要性质。（1） 电磁波为横波，E和B都与传播方向垂直；（2） E_lB

8、,EmB油波矢量k方向。（3）E和Bwj相，振幅比为v = 历6 .简述规范变换。 d, d EirA > A =A答：规范变换是刘 （中为任意的时空函数）邛T邛'=邛Ft7 .简述规范不变性。答：电场强度和磁感应强度作规范变换，贝,有B'A =1- A q （韦='、A = BLA.：t每组（A,甘作规范变换时，粉口 B保持不变，这种不变性称为规范不变性8 .简述光速不变原理。c,并与光源运动无关。答：真空中的光速相对于任何惯性系沿任一方向恒为9 .试定性简述电像法的主要物理思想。答：电像法主要的物理思想是根据静电场的唯一性定理，在不改变空间电荷分布的情况下，用

9、少数几个点电荷充当的像电荷来等效地替代边界上的极化电荷或感 应电荷计算电场强度。10 .简答时谐电磁波的概念答：所谓时谐电磁波是指满足 E（ x,t）= E（ x）e i"和的电磁波B x,t = B x e i t11 .简答推迟势的物理意义。答：推迟势的物理意义在于：对势有贡献的不是同一时刻 t的电荷密度或电流密 度值，而是在较早时刻的电荷密度或电流密度值。 说明电磁作用具有一定的传播 速度。12 .试从电磁场理论的角度简答光速不变原理的依据。答：从电磁场理论可知，真空中电磁波满足的波动方程并不依赖于哪个具体的参 考系，而真空电磁波就是以光速传播的，所以这就隐含了光速不变原理。1

10、3 .试写出静电场场强和势的边值关系。T T T(中=中n (E2 -E1) =0 .试写出真空中麦克斯韦方程组的微分形式，并导出自由空间的波动方程。 2答：静电场的边值关系为：( 2 1) 或| 讲， 现2 一 ；1 - fn (D2 - D1)= ； f2 ；:n1 ；:n14 .简述位移电流及其物理意义。答：J。：3空，位移电流说明变化的电场也能产生电流和磁场J D 02t15 .试写出一般电磁场的边值关系：n (E2 - EV 0n (H2 - H1) fn (D2 - DJ =二 fn (B2 - B1) = 0四、证明和计算题解：真空中麦克斯韦方程组为,左=£ _ 已=_

11、空；:t f尸E= N J+N £n 。00 0 ft对于自由空间，=0,J =0.贝U: VxE = 0ftVxB = k £ n 0 ft两边取旋度得：(v E) = ( E)-V2E = -v 2E 2分E而" V x (V x E) B b B = po So () ：tr Ft：2E=Po 屯 2 (2分)一 t?E=0 1分在球体内,M点的象电荷M一等=-与球心离P之距离为2a,离M之距离为4a,求作用在P电荷上的合力P o： P、M二点电荷分别为Q和3Q,它们相距为6a,有一半径为a的接地导体球,E _ 一同理：B B - po a2=0,?Mc =

12、 十21 1E c V E - f=0，c ft二 V2B-4*=0c 二 tc为传播速度，c是最基本的物理常数之 一。（2分）2a a二 M ： = 二 4a 4p点的象电荷p'Q1=2a2a aop =二2a 2作用在p点电荷上的合力为:4 二；°2(Q23Q23a 29a 2)24( )2243Q2 ,3/Q22- 二2(6 a)2432 二；0a2负号表示引力大于斥力3、地球上测得太阳的能流密度平均值为|(S)| 二1300瓦/米2 .设太阳光是单色平面线偏振电磁波(实际上不是偏振光，也不是单色光)(1)试估计地球上太阳光中的电场和磁场振幅(2)求太阳的平均辐射功率(

13、3)估计太阳表面的电场和磁场振幅(已知日地距离为1.5X1011米，太阳半径为7X108米，提示户E；n) 21。1解：(1) 丁 =L0E；n,二 E0 = !，；0(s在2 0；0> I1=4“父102 T(2父1300)2 =103(v m，)心85父10 2 JB0 =C1033 108= 3.3 10 * T(2)以太阳为中心，以日地距离为半径的大球面积为：A=4nR2 =4(1.51011 2 = 2.83父 1023(m2 )平均辐射功率 P； = a| S 卜 283 1023 1300 = 3。68 1026 w太阳的表面积为 A' = 4nR02 =4n(7M

14、108 )= 6.15父 1018(m2 )26所以太阳的能流密度平均值为 fs) =;=18 = 6.00父107(W m2)A 6.1510111:.E0 = ! T(2|(s，)| 2 = 47T .10，(216.00父107 f =4.2M106(v m")0 V£03.85父10 JB 一旦B0 -C4.21 1063 108= 1.4 104 T4.一恒星与地球相距5l.y.（光年），从地球上向它发射宇宙飞船，设宇宙飞船的速度是 0.8c,问飞船到达恒星需要多长时间？宇航员的钟看来是多少时间？如果飞船的速度是0.99c ,其结果又如何？解：（1） v=0.8c

15、,地球观察者：飞船到达恒星需要时间（单位：a二年）lo 5c-：t =-=6.25 a ,v 0.8c宇航员的钟（由于运动而变慢）所需要时间为:2"”上g=6.25即20.8c2a = 3.75a.c（2）如果v=0.99c,同理可得:l 5ct = = =5.05 a ,v 0.99c宇航员的钟（由于运动而变慢）所需要时间为:t'-.t. 1 -v2 =5.05 1 .c2.20.99c2 a = c0.712a.5.根据四维波矢量（的变换式，导出相对论多普勒效应公式解：洛仑兹变换为y =yt -t -v2 x可写成矩阵形式:0 0 L010000 10_-iPY0 0手_

16、四维的波矢量的变换为.k4'二可一i K k4加即1空=/_侏1 c <c ,1 - - vk1 i12分设波矢k与x轴的夹角为日，则k1 =kcos = cos c0 ' = 为l vco双，这就是相对论的多普勒 效应。（2分）6 证明 （AxB） C =（Bxc） A=（cxA） B。证：.左式=（AB）kCk =djAiBjCk =%BjCkA =（BC）iA =（B乂C）A （4T T T同理,（A 父 B） C = "j A Bj Ck = &jki Ck A Bj=（CA）jBj =（CA）B因此，（A B'）C=（B C）A =（C

17、 A）B7 .试写出真空中麦克斯韦方程组的积分形式，并利用高斯公式和Stokes公式导出对应的微分形式。解：d 一 一- - qE E dl = B dS , c E ds =， 工BdS = 0,Ldt s$切S，一 . d，一口 B dl = N 八 I 十与 % 一 E d s。（4 分）L0 f dt sLE dl i E dS = sB dS = - -B dS,SdtS ：t:tsE dS - J E dV=qdV'' B- 'J ?sB dS = J BdV =0' B = 0- -d - - ElB dl =' B dS=，0, J。；。

18、sE ds=；o J dS ；0 dSdtSS ；t_ 一 一 E.'、 B =0j+.：0；0 8 .接地的空心导体球壳内外半径为 R1和R2 ,在球腔内离球心a (a<R1)处置一点电荷Q用电象法求电势分布。导体球壳上的感应电荷有多少？分布在内表面 还是外表面？解：由于接地导体球壳的静电屏蔽作用，r上Ri区域电势为零。球腔内利用电象法可得=QQ 4 分4二;0 r2 a2 -2racos? . r2 b2 -2rbcos?象电荷q=-3B2分a象电荷的位置在球心与点电荷的连线上：bu国jZ分)，由于球壳及球外电场为零，a感应电荷只能分布于内表面。一 .：1-Q(R -a2/R

19、)。公0f %豆 3一4.(R2 +a2 -2Racos3/2)对= R的球面积分，得到总感应电荷Q总= bfds = -Q.(2 分)9 .试由一定频率的时谐电磁波和麦克斯韦方程出发，证明电场满足的亥姆霍兹方程为：v2E+ k2E = 0。(k = ®g时谐电磁波(单色波)为E(x,t) =E(x)eB(x,t) =B(x)e-iwt-iwt(2分)在一定频率下，D=sE,B = NH(2分)所以麦克斯韦方程可写为：- 7 : E = i Di H- H = -i .二二 E- 7 E =0- ，HI = 0(2 分)( E )” (i , ) H = i.，/k H= i-J (

20、_i.E) = .2；E而？ ( E ) = k ( 5 . E ) k 2 E = . 2；E而 V .E = 0(4 分):V 2 Ek2F = 0,(亥姆霍兹方程)其中 k = « J'PV。10.试由洛仑兹变换来阐明同时的相对性。解:洛仑兹变换为:X - vt在参考系工上，以（Xi, ti ）代表为原因第一事件 以（X2,t2）代表为结果第二事件变换到£'上，这两事件用（x：,t；）和（x；,t；）表不.t2 -ti =vt2 - ti - 5(X2 - Xi)C2对于11=t2（ £系同时），而X1 # X2则一定有t；¥ t；

21、工,系上一定不同时。11 .设惯性系S'相对于惯性系S沿X轴正向以速度v运动，试由洛仑兹变换解:导出势的变换关系丁 A和蛤为一个四维矢量（2分）Lorentz变换为：-尸00二例AyAzicp*<c )F00-iPYAz1中C )Ax =AxAy = Ay,Az = Az,vAx .12 .试写出真空中麦克斯韦方程组的积分形式，并说明对应的实验定律。解：真空中麦克斯韦方程组的积分形式为cf E dl|B dS , 勺 E dS = , 1f B 1ds = 0Ldt sSpSd 一B B dl = R 0L 匕诙工E ds。L0 f dt sdd ，对于第一个方程，由于6 =勺E

22、 d =B dS =,所以对应于法Ldt sdt拉弟电磁感应定律（2分）；对于第二个方程，由于高斯定理是来源于库仑定 律，所以它对应于库仑定律（2分）；对于第三个方程，由于磁场的高斯定理 对应于磁单极不存在的实验事实，所以它对应于磁单极不存在；对于第四个 方程，由于位移电流的引入，它对应于广义的安培环路定律。13. 试证明:（1）真空中或绝缘介质中的平面单色波是横波;（2）它的电场能量密度等于磁场能量密度。证：（1）平面单色波的电场矢量为(1分)E x,t = Eoei k一因为假定在电磁波传播的空间中P =0,所以。E =0(1 分)而eixW Lie中 2 K代入到V .E =0,则 i

23、k x_，.：t E = ik E0e '=ik E = 0 (2)按照上述方法，根据v B = 0,同理可证：ik 'B = 0 ,（i分）1 C(2)电场的能量密度We = - EE2 , (2)由E/B=C,可得:14.试由麦克斯韦方程组推导出势A和邛所满足的微分方程，并且分别用库仑规范和洛仑兹规范简化方程的形式。1 B 二0JJ。；。-Ft- 一 A而 B = .» A,E =二- fti ：2a 一0*代入上式得A A=°J0；0一二 t:t2 - - '、. A=一 1. 一而c = t, 代入上二式整理得一；0. -2 一，-JA-WA

24、 -12- ) - -%J,c 二 tc 二t3 1P2： .A = _一若用库仑规范，A = 0,则A和平满足的方程为：21 F2A 1、A -1-. 二 一0 JC2 干 C2 Ft2 ：2r=；0-E A1,若采用洛仑兹规范 v A+ = 0 ,则:c ft1 1A2-2c 二 t=J0J1 ： 2：2.2c t 015 .试由特殊方向的洛仑兹变换出发论证运动的钟变慢和运动的尺子长度缩短。解：特殊方向的洛仑兹变换的逆变换为xt X vt212cy =y z = zvt-x Xc21<2(+2)所以12 T所以静系上的人看，运动的钟变慢了。（+3）(+2)两式相减，利用匕=4，有 f

25、 2 - X；二号其中心'为X上测得的物体长度/ （因为坐标 巧和占是在E上同时测定的），-2式；为2上 测得的物体静止长度R由于物体对£'静止, 所以对测量时亥”:和f、没有任何限制0显然l <l。，所以运动的尺子长度缩短了。（+3）16 .从麦克斯韦方程组的微分形式出发，推导出电荷守恒定律的微分形式。H=0<' H = J , J 1 = 0, ftft即dJ+Hid=0,又；, .D = p, e，J+Q = o ；：t：t解：17 .在均匀、线性且各向同性的绝缘电介质 和e 2界面两侧电场强度分别为 B及E2, 9 i和9 2则为Ei及巳与

26、界面法线的夹角；试证明下式成立。tan 8 i ： tan 8 2= e i ： e 2。证：在绝缘电介质£ 1和8 2界面的边值关系为Elt = E 2t, D 2n= D inEisin 0 i= E 2sin 0 2, D i cos 0 i= D 2 cos 0 2, , D = E E , D = 鸟曰 ，曰 = % E2D1；E_ ； sin-2cos-2tan3；1. . , . 一D2；2E2；2 sin%cos-1tan12；218 .在惯T系S中，有两个事件同时发生在xx轴上相距为1.0M103m的两处，从惯，fIe系S,观测到这两个事件相距为2.0xi03m试问

27、由S,系测得此两事件的时间间隔为多少？解:根据洛仑兹变换,xxvt（+2 分）v2 .以-v，t 1.0 1031（3 分）x' = 2.0M103m,）c2 - x - 2.0 103 - 2（已知 ：x =1.0 103 m, .：t =0,0-j：xt 二 c噌 1.0 1031-v2c10，= -5.7（sec）（2分）20.设u是空间坐标X,证明:du-d4VT5） = Vm， duV x A（li）dn证明:1)可二%V誓十等2)曲一 df dit. dfdu df _=-7-<?*. +%, +<?- =V/ydu班 du by dudz duV . /(&q

28、uot;)=dAx(»)视，+4&卬)du <L4zu)加 _ 卡“ dA du dx rfw d' di dz dtt3)/士 dit/dAx cu=(=:)eT + (一-一du d),du dz du 3二dA. dudu d2 du ._ dA+(一:尼一 =Vu x du dx J du dx du dy' du21 .证明：当两种导电介质内流行恒定电流时，分界面上电场线曲折满足tan 夕？ (7口一 ,IV=« tan %其中6和气分别为两种介质的电导率1讨：明：根据边界条件：并 （耳一瓦）=0!二；£疝1%=弓豆口协由边

29、界曲9F二。1 故二小（£（2 -5）=0,即工 £2E2 cos2 = £E1 COS，有心=姐叫蛆.=&Q）根据：了 =克可得,电场Zf向与电流密度同疗向由于电流I是恒定的.故有，_ =上COS% 8响'|J ： LJ_ =而：“乂（E? - EJ = D 即 E、sin 乩=E &in8COS 62 CO5gt故有：M = Zltg协 力22 .试用边值关系证肌在绝缘介质与导体的分界面上在静电情况E导体外的电场线 总是垂直于导体表面；在恒定电流的情况下，导体内电场段总是平行于导体表面.证明：（1导体在静电条件下达到静电平衡,二导体内M

30、=o而工行x（耳一后）=0二一x瓦=。,故瓦垂直卜导体表面.（2）导体中通过恒定电流时.导体表面0=。 kF导体外E. = 0.因：D、= 0而：斤 *c5? - 6） = b§ = 0,H 1 ；亓, A =亓, /£ = 0.亓E = o导体内电场疔向和法线与白，即平行于导体衣面。24.均匀介质球的中心置 点电荷0f ,球的电容率为£,球外为真空.试用分高变数法求 空间电势，把结果与使用高斯定理所得结果比较。提示：空间各点的电势是总电荷a的电势%由与里面上的极化电椅所产生的电势的 叠加.后者满足拉普拉斯方程。髀| 一，高斯法在球外,R>Rq,由高斯定理由* £E-ds=QQf+QP=Qr（对于整个导体球而言，束缚电荷0F=O）一