一元二次方程(知识点+考点+题型总结)

1、一元二次方程专题复习考点一、概念（1）定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2,这样的整式方程就是一元二次方程。一般表达式：ax2 bx c 0（ a 0）难点：如何理解 “未知数的最高次数是 2”：该项系数不为“ 0”；未知数指数为“ 2”；若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题：区J 1、下列方程中是关于 x的一元二次方程的是（）211A 3x122x1B 二 2 0x x_222，C ax bx c 0D x 2x x 1变式：当k 时，关于x的方程kx2 2x x23是一元二次方程。快J 2、方程 m 2x网 3mx 10是关于x的一

2、元二次方程，则 m的值为。针对练习： 1、方程8x2 7的一次项系数是 ,常数项是 o 2、若方程 m 2 x m 10是关于x的一元一次方程，求m的值；写出关于 x的一元一次方程。 3、若方程 m 1 x2 Jm?x 1是关于x的一元二次方程，则 m的取值范围是 。 4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（）A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1考点二、方程的解概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：22区J 1、已知2y y 3的值为2,则4y2y 1的值为。22区J 2、关于x的一兀一

3、次方程 a 2 x x a 4 0的一个根为0,则a的值为。2根为 快J 3、已知关于x的一兀一次方程 ax bx c 0 a 0的系数满足a c b ,则此方程必有- 22区J 4、已知a,b是万程x 4x m 0的两个根，b,c是万程y 8y 5m 0的两个根， 则m的值为。针对练习： 1、已知方程 x2 kx 10 0的一根是2,则k为,另一根是 ox 12、已知关于x的万程x2 kx 2 0的一个解与方程 3的解相同。x 1求k的值；方程的另一个解。22 3、已知m是万程xx 1 0的一个根，则代数式 mm 。 4、已知 a是 x2 3x 1 0 的根，贝ij 2a2 6a 。 5、方

4、程a b x2 b c x c a 0的一个根为（）a 1b 1c b cd a 6、若 2x 5y 3 0,贝U 4x ?32y 。方法：直接开方法；因式分解法；配方法；公式法关键点：降次类型一、直接开方法：x2 mm 0 , x . m222对于 x a m , ax m bx n 等形式均适用直接开万法典型例题：伤M、解方程：1 2x2 8 0;2 25 16x2=0;3 1 x 2 9 0;伤J 2、若 9 x 1 2 16 x 2针对练习：下列方程无解的是（ 22,A. x 3 2x 1 B. x2,则x的值为C. 2x 3 1 xD.类型二、因式分解法：x x1x20方程特点：左边

5、可以分解为两个一次因式的积,xx1,或 x右边为“x20”，方程形式：如axbx nx2 2ax典型例题：除J 1、2x x的根为（4x变式1：Cx152,X2变式2:若x变式3:若快J 3、方程2x2xyb2xy3 4xyb20 ,则4x+y的值为0,则 a2y14,b2的值为xy28,则x+y的值为0的解为（A. x13, X2快J 4、解方程：B.xi2 .33, X 2x 2.3 4C.x13, x23 D. x12, x20区J 5、已知2x23xy 2y2x0,则一 xy的值为 y变式：已知2x23xy 2y20,且 x0, yc , x0,则一xy的值为 y针对练习： 1、下列说

6、法中:方程x2px6x 80的二根为x1, x2,则(x 2)(x 4). a2 5abpx I 6b2q (x：(aX)(x x2)2)(a3)方程（3x 正确的有（(x1)2)y)( .x ,y)( ,x , y)0可变形为(3x 1 J7)(3x 1.7)A.1个B.2个0C.3个D.4个 2、以 1一 2A. x2x 6 0"为根的一元二次方程是（）2 c c cB. x 2x 6 0_2C. y 2y2 cc cy 2y 6 03、写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为 4、若实数A、-1 或-25、方程:x、y满足 xB、-1 或

7、 21F2的解是x1,2C、1 或-2 6、已知一 6x2xy<,6y2 0,且 7、值为方程1999x1998 2000x类型三、配方法 ax2 bx1,且两根互为倒数: 且两根互为相反数： 0 ,则x+y的值为（D、1 或 20, y 0,0的较大根为r,2x . 6y=的值。3x y2 ,方程2007x2008x 1 0的较小根为s,s-r的x 2ab24ac 4a2在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。 典型例题：除M、试用配方法说明 x2 2x 3的值恒大于0。区2 2>已知x、y为实数，求代数式 x2 y2 2x 4y 7的最小值。已

8、知 x2 y2 4x 6y130, x、y为实数，求xy的值。区J4、 分解因式：4x2 12x 3210x 7x 4的值怛小于0。1,-1x40,则 x xx针对练习： 1、试用配方法说明. 一 j 21 2、已知x x 3、若t 2 / 3x2 12x 9，则t的最大值为2b 3c的值为 4、如果 a b |vc-7 14 da 2 2Vbi 4,那么 a类型四、公式法条件：a 0,且b2 4ac 0- 2b b 4ac, 2公式：x , a 0,且b 4ac 02a典型例题：快J 1、选择适当方法解下列方程：22 31 x 6. x 3 x 68. x 4x 3x2 4x 1 0(5)3

9、x 1 3x 1 x 1 2x 522 2x 4xy 5y区J 2、在实数范围内分解因式：(1) x2 2v12x 3；4x2 8x 1.说明：对于二次三项式ax2 bx c的因式分解，如果在有理数范围内不能分解,一般情况要用求根公式，这种方法首先令ax2 bx c=0,求出两根，再写成2ax bx c = a(x x1)(x x2).分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.类型五、“降次思想”的应用求代数式的值；解二元二次方程组。典型例题：x 1 3 x2 1 .快M、已知x2 3x 2 0,求代数式的值x 1快J 2、如果x2 x 1 0,那么代数式区J 3、已知

10、a是一元二次方程 x2 3x2x2 7的值。a3 2a2 5a 10的一根，求-2a一曳的值。a 1区J 4、用两种不同的方法解方程组2x y 6,(1)22x2 5xy 6y2 0.(2)说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：先消元，再降次；先降次，再 消元。但都体现了一种共同的数学思想一一化归思想，即把新问题转化归结为我们已 知的问题.考点四、根的判别式 b2 4ac根的判别式的作用：定根的个数；求待定系数的值；应用于其它。典型例题：快1、若关于x的方程x2 2jkx 1伤J 2、关于x的方程 m 1 x2 2mxa. m 0且m 1 b. m 0区J 3、已知关于x的方程x2 k

11、2 x0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是m 0有实数根，则 m的取值范围是()C. m 1d. m 12k 0求证：无论k取何值时，方程总有实数根；快J 4、已知二次三项式 9x2(m 6)x m 2是一个完全平方式，试求m的值.若等4ABC的一边长为1 ,另两边长恰好是方程的两个根，求ABC的周长。2 2 26除J 5、m为何值时，方程组x y 6,有两个不同的实数解？有两个相同的实数解?mx y 3.针对练习： 1、当k 时，关于x的二次三项式 x2 kx 9是完全平方式。22、当k取何值时，多项式3x 4x 2 k是一个完全平方式？这个完全平方式是什么?23、已知万程 mx mx

12、2 0有两个不相等的实数根，则 m的值是. y kx 2,4、k为何值时，方程组y2 4x 2y 1 0.(1)有两组相等的实数解，并求此解；(2)有两组不相等的实数解；(3)没有实数解.22 5、当k取何值时，万程 x 4mx 4x 3m 2m 4k 0的根与m均为有理数?考点五、方程类问题中的“分类讨论”典型例题：快J 1、关于x的方程m 1 x2 2mx 3 0有两个实数根，则 m为,只有一个根，则 m为 o2、不解方程，判断关于 x的方程x2 2 x k k23根的情况。修J 3、如果关于x的方程x2 kx 2 0及方程x2 x 2k 0均有实数根，问这两方程 是否有相同的根？若有，请

13、求出这相同的根及k的值；若没有，请说明理由。考点六、应用解答题“握手”问题；“利率”问题；“几何”问题；“最值”型问题；“图表”类问题典型例题：1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯 990次，问晚宴共有多少人出席?2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共多少人?3、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场，根据计划，第一年投入资金600万元，第二年比第一年减少1 ,第三年比第二年减少 1 ,该产品第一年收入资金约400万元，公司计划三年内32一一，,1-、，»，-，不仅要将投入的总资金全部收回，还要盈利，要

14、实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少？(结果精确到30.1, a/133.61)4、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出 500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少 10千克，针对此回答：(1)当销售价定为每千克 55元时，计算月销售量和月销售利润。(2)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？5、将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这两段铁丝的长度分别为多少?(2)两个正方形的面积

15、之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。(3)两个正方形的面积之和最小为多少？6、A、B两地间的路程为 36千米.甲从A地，乙从B地同时出发相向而行，两人相遇后，甲再走 2小时30分到达B地, 乙再走1小时36分到达A地，求两人的速度.考点七、根与系数的关系前提：对于ax2 bx c 0而言，当满足 a 0、0时，才能用韦达定理。、一.、b c主要内谷：x1 x2, x1 x2 a a应用：整体代入求值。典型例题：快J 1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程2x2 8x 7 0的两根，则这个直角三角形的斜边是()A.、3B.3C.6D. 62 2区J 2、已知关于x的万程k x 2k 1 x 10有两个不相等的实数根 x1，x2,(1)求k的取值范围；(2)是否存在实数 k,使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出 k的值；若不存在，请说明理由。例3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程(二次项系数为1)时，小明因看错常数项，而得到解为8和2,i列4、 口和a变式：若a 2伤J 5、已知针对练习：1、解方程组小红因看错了