空间解析几何与向量代数习题与答案

1、1第七章 空间解析几何与向量代数A A、1 1、 平行于向量a= (6,7,-6)的单位向量为 _ . .2 2、 设已知两点M,(4,-21)和M2(3,0,2)，计算向量M,M2的模，方向余弦和方向角3 3、设m =3i 5j8k, n二2i4j7k,p =5i j4k，求向量a二4m3np在 x x 轴上的投影，及在 y y 轴上的分向量. .1 1、设a =3i- j -2k,b = i2j-k，求a b及a b；2)(-2a) 3b及a 2ba a、b b 的 夹角的余弦2 2、知M m2), M2(3,3,1), M3(3,1,3)，求与M,M2,M2M3同时垂直的单位向量23 3

2、、设a =(3,5,/),b =(2,1,4)，问x与卩满足_时，孙a + Ab丄z轴. .1 1、 以点(1,3,-2)(1,3,-2) 为球心，且通过坐标原点的球面方程为 _. .2 2 22 2、方程x + y +z 2x + 4y+2z = 0表示_ 曲面. .3 3、1)1)将 xOyxOy 坐标面上的y2=2x绕 x x 轴旋转一周，生成的曲面方程为 _ ，曲面名称为_ . .2)2) 将 xOyxOy 坐标面上的x2y2= 2x绕 x x 轴旋转一周，生成的曲面方程 _ ，曲面名称为_ . .3)3) 将 xOyxOy 坐标面上的4x2-9y2=36绕 x x 轴及 y y 轴旋

3、转一周，生成的曲面方程为_，曲面名称为_. .4 4)在平面解析几何中y =x2表示_ 图形。在空间解析几何中2y = x表示_ 图形. .5 5)画出下列方程所表示的曲面(1)(1)z2=4(x2y2)z =4(x2y2)四、2 2x_+y_=i1 1、 指出方程组49 在平面解析几何中表示 _图形，在空间解3y = 3析几何中表示_ 图形. .2 2、求球面x2y2z2=9与平面x z=1的交线在 xOyxOy 面上的投影方程. .3 3、求上半球0岂z乞.a2-X2- y2与圆柱体X寸_ ax (a - 0)的公共部分在 xOyxOy 面及 xOzxOz 面上的投影. .五、1 1、求过

4、点(3,0,-1)(3,0,-1) 且与平面 3x-7y+5z-12=03x-7y+5z-12=0 平行的平面方程2 2、求过点(1,1,-1)(1,1,-1)，且平行于向量 a=(2,1,1)a=(2,1,1)和 b=(1,-1,0)b=(1,-1,0)的平面方程3 3、求平行于 xOzxOz 面且过点(2,-5,3)(2,-5,3)的平面方程43 3、求过点(2,0,-3)(2,0,-3)且与直线丿 x x2y+4z7=0垂直的平面方程、3x+5y _2z + 1 =04 4、求过点(3,1,-2)(3,1,-2)且通过直线 匸电二丄卫二 Z Z 的平面方程5215 5、求直线*y与平面X

5、 yz+1=0的夹角. .x -y z =04 4、求平行于 x x 轴且过两点(4,0,-2)(4,0,-2)和(5,1,7)(5,1,7)的平面方程六、1 1、求过点 (1,2,3(1,2,3) )且平行于直线-2八3 3z z7 7 的直线方程. .52 2、求过点 (0,2,4(0,2,4) )且与两平面x 21, ,y - 3z = 2平行的直线方程. .56 6、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系x + 2v z = 71 1）直线丿丫与直线_2x +y +z =72 2）直线 2 2= = 匚2二匸3和平面 x+y+z=3.x+y+z=3.3147 7、求点(3,-1,2)(

6、3,-1,2)到直线严+八十仁。的距离. .2x_y + z_4=0B B1 1、已知a b c = 0（a, b, c为非零矢量），试证: :a b=b c = c a. .62、a b =3,a b =1,1,1,求/(a,b). .3 3、已知a和b为两非零向量，问t取何值时，向量模| a tb |最小？并证明此时4 4、求单位向量n,使门_8且门_乂轴，其中a =(3,6,8). .5 5、求过z轴，且与平面2x y - 5z = 0的夹角为一的平面方程36 6、求过点M,(4,1,2)，M2( -3,5, -1)，且垂直于6x - 2y 3z 7=0的平面x 2y+z1=0 xyz7

7、 7、求过直线丿，且与直线l2：= 平行的平面、2x+y_z_2=01 -1 2b_(a tb). .7一v =18 8、求在平面jr：x + y+z=1上，且与直线L:垂直相交的直线方程z = 19 9、设质量为100kg的物体从空间点M/3,1,8），移动到点M2（1,4,2），计算重力所做的功 （长度单位为m）. .线？1111、已知OA =i 3k, OB二j 3k，求OAB的面积1212、求直线丿2x4y+z=0在平面4x_y+z=1上的投影直线方程3x _y _2z_9 = 0C C1010、2求曲线vz2-2xz =30在xov坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲81

8、1、设向量a,b, c有相同起点，且：b c =0，其中-0，:,不全为零，9证明：a,b,c终点共线2 2、 求过点M0(1,2,_1)，且与直线L:=.-相交成一角的直线方程. .2-1133 3、过(-1,0,4)且平行于平面3x4yz_10=0又与直线 =：=：?相交的直线方1 1 2程. .4 4、 求两直线L1: 口 =丄 -与直线L2:XZ 2的最短距离0-1-16-305 5、 柱面的准线是xoy面上的圆周(中心在原点，半径为1 1)，母线平行于向量g =1,1,1，求此柱面方程na + xb ab =2,(a,b)=亍，求lim11|x =2y7 7、求直线L:1绕 y y

9、轴旋转一周所围成曲面方程. .z= -? (y -0第七章 空间解析几何与向量代数习题答案A A一、 1 1、卫上,兰J1 11 11：-1212 - 3-:2 2、MtM2=2,=2,cos =, cos =,cos, ,2223433 3、a在 x x 轴上的投影为 1313,在 y y 轴上的分量为 7j7j二、 1 1、1 1)a b =3 1 (-1) 2 (-2) (-1) =3ijka汇b = 3 -12 =5i + j + 7k12-12 (-2a) 3b = -6(a b) =-18，a 2b = 2(a b) =10i 2j 14k6 6、设向量 a,ba,b 非零,(3)

10、(3)Acos(a, b)=a_ba| |b|32、21102 2、M1M2二2,4,-1, M2M3二0,-2,2113 3、 = 2.!_：、1 1、(x -1)2(y 3)2(z 2)2=142 2、以(1,-2,-1)(1,-2,-1)为球心, ,半径为.6.6 的球面3 3、 1)1)y2z2=2x, ,旋转抛物面2)x2y2z 2x, ,球面3)3)绕 x x 轴：4x2-9y2-9z2=36旋转双叶双曲面绕 y y 轴：4x2 4z2_9y2=36旋转单叶双曲面4 4、抛物线，抛物柱面5 5、四、1 1、平面解析几何表示椭圆与其一切线的交点；空间解析几何中表示椭圆柱面与其切平面的

11、交线。2 2、；2x2x=0五、1 1、3x-7y 5z-4=02 2、1 (x-1)1 (y-1)-3(z 1) =03 3、y，5=04 4、9y-z-2=0k1 =6i 4j 4k2a2在 xOzxOz 面的投影为:x2+z2兰a2y = 0在 xoyxoy 面的投影为:12即a b a b a c=0，又a a=0,.a b = -a c =c a同理得a b = b ca：b =abs in (a, b) a b=芈cos(a,b)。答案：(a, b)3 3、思路| a tb |2= (a tb) (a tb) =| a |2t2| b |22t(a b)该式为关于t的一个 2 2

12、次方程，求其最小值即可。答案：t = -2|b|14 4、思路：取b=i，则n_a,n_b。答案：n= (8j -6k)105 5、思路：平面过z轴，不妨设平面方程为Ax By = 0，则n = A, B,0，又(AB不全为0)1答案：所求平面方程为x，3y=0或x y=036 6、法一：，所求平面法向量n_MW2，且二6,-2,36-23又平面过点”,4,1,2)，则平面方程为6x 3y-10z-7 =0M (x,y,z)，则MM1M1M2和m二6,-2,3共面，由三向量六、1 1、x -1 y-2 z -3x y -2 z -42、16x14y11z 65 =0-234 4、8x - 9y

13、 - 22z - 59 = 0、0 06 6、1 1)垂直 2 2直线在平面上321 1、证明思路：a b c = 0，.a (a b c) = 02 2、思路:取n = M1M2r)1 -74-3二6,3,-10解法 2.2.在平面上任取一点共面的充要条件得y -1 z -2-23=0,整理得所求平面方程-74-3137 7、思路：用平面束。设过直线l1的平面束方程为x - 2y z -1 (2x y - z - 2) = 0答案：平面方程为11x 3y - 4z -11 = 04148 8、思路：求交点(1,1,-1)，过交点(1,1,-1)且垂直于已知直线的平面为x_1=0。答案:3 3

14、、解：设所求直线方程为9 9、思路：重力的方向可看作与向量k方向相反答案：W = F “，“2=0 (-2) 0.3 (_100g)(一6) =600 g = 5880J1010、思路：先求投影柱面方程，答案：原曲线在xoy面上的投影曲线方程为y-2x9=0、22。原曲线是由旋转抛物面y + z -2x = 0被z = 3平面所截的抛物线。1111、1 -思路：S.OAB=|A OB|，答案:191212、思路：利用平面束方程。答案17x+31y34x -y z =11 1、证明：设OA = a，OB = b，OC = c，根据二角形法则。则AB = b - a，AC = c - a，BC=c

15、-b。根据条件:, ,不全为0,不妨设=0,则AB二c-a二-Ja2 2、AC与AB共线。.点A,B,C在一条直线上。解：在已知直线L上任取两点R(-2,1,0)，P2(0,0,1)，则向量RM。=3,1,1RM=1,2,2，则构造直线束方程L:表示过点Mo且与已知直线共面的所有直线。根据已知条件：当L与L成一角时，有3(31) 2( -1)2)1 (；-2) = cos，即4-2 =3x 1所求直线方程为y一221-212315；所求直线与已知平面平行，则3m-4n，p = 0(1 1)416即10m -4n -3p = 0(2 2)由(1 1)( 2 2)，得m : n : p =16:

16、19 : 28二所求直线方程：x 1 y z-416一19一284 4、解：已知两直线的方向向量为3 =0,-1,-1,S2二6,-3,C，故垂直于两方向向量的向量n可取为n = QS2= -3i -6j 6k，又点(1,0,0)在直线L1上.过直线L1且平行于L2的平面为-3(x -1) -6y 6z = 0,即卩x 2y -2z-1 = 0，又点(0,0,-2)在直线L1上，该点到平面x 2y -2z-1 =0的距离d1为所求两直线间的最短距离。1222225 5、解：设柱面上任意一点M (x, y, z)，过M作平行于向量g的母线且准线相交于M(X0, y,0)，又MM | g，即MM Vg，x - x二 ,y - y V,z = 。2 2又幕M0在圆上，.x0y0= 1(x)2(y；)2= 1,即(x -z)2(y -z)2=16 6、解:|a+xb|a|a+xq2|a|2(a+xb) (a十xb) aalim -!=lim , =lim -:_-I0 xt x(|a+xb|十|a|) t x(|a+xb|+同)2 2(a a +2xa b +x2|b| ) a a 2a b +Mb|2a b兀=limlim2 cos 1x0 x(|a xb|：a)xJ0(a xb a) 2a)37 7、解：对旋转曲面上任一点 P(x,y