2020年高考文数(人教版)教学案第10讲对数与对数函数

1、第 10 讲对数与对数函数I复习目标“1 理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化为常用对数或自然对数；了解对数在简化运算中的作用.2 理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象经过的特殊点，会画底数为 2,10,-的对数函数的图象.23 体会对数函数是一种重要的函数模型.4了解指数函数与对数函数互为反函数._ 知识梳理1 对数(1) 对数的定义：如果 ab= N(a0,且 a丰1),那么 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 b= logaN ,其中 a 叫做对数的底数，N 叫做对数的真数.(2) 指数式与对数式的关系：ab= NlogaN= b (a0, a 工 1,

2、 N0).(3) 几个常用等式：1loga1 =0: logaa=1: alogaN = N .(4) 对数运算性质：如果 a0，且 a 工 1, M0, N0，那么1lOga(MN) = logaM + logaN ；2logajN = logaM logaN ；3logaMn=nlogaM.(5) 换底公式：logaN=(a0, a丰1, b0 , b 1, N0) 2 对数函数(1)对数函数的定义函数 y= logax(a0,且 a丰1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0,+ ).(2)对数函数的图象热身练习1 .已知 4a= 2, lg x= a,则 x=,10 .底

3、US 因为 4a= 2,所以 a = log42= *log44= 2，1 1 _又因为 lg x= a，所以 lg x = ?，所以 x = 10? = . 10.5112.(经典真题)lg2 + 2lg 2 Q = 1 .莎 lg| + 2lg 2 (|)1= lg 5 lg 2 + 2lg 2 2(3)对数函数的性质：1定义域： (0, +m);2值域：(a,+a)；3图象过定点(1,0)，即 x = 1 时，y= 0 .4当 a1 时，y= logax 在(0,+a)上是增函数；当 0a0,且 a丰1)的关系指数函数 y= ax(a0 且 a* 1)和对数函数 y= logax(a0

4、且 1)互为 反函数，它们的图象关于直线 y= x 对称.1换底公式的1(1)logab=阪；(2)logambn= miogab.其中 a0，且 a丰1, b0 , b* 1, m, n R.12.对数函数 y= logax(a0，且 a* 1)与 y= log：x 的图象关于 x 轴对称. a3.对数函数 y= logax的底数 a1时， a越大， 增长越慢， 图象在 x轴上方越靠近 时);0a1).x 轴(x1常用=(lg 5 + lg 2) 2= 1 2=1.3 .若函数 y= f(x)是函数 y= ax(a0 且 a丰1)的反函数，且 f(2) = 1,贝 U f(x)= (A)1A

5、. log2x B.X1x2C. log 2x D . 2GZ3 指数函数 y = ax的反函数是 f(x)= logax,又 f(2) = 1, 即卩 Ioga2= 1,所以 a= 2,故 f(x)= log2x.4.当 a 1 时，在同一坐标系中，函数y= ax与 y=logax 的图象大致是(A)1因为 a 1,所以 Ov v1，所以函数 y= a-x单调递减，y= logax 单调递增，故选 aA.5.当 x ( 1,0)时，f(x)= Iog2a(x+ 1)0，则 a 的取值范围为(A)1 1 1A . (0，2)B .(2, 4)1 1C.(2+ ) D . (2 1)03 当一

6、1x0 时，0 x+ 10，知 02a1，1所以 0abc B. bacC. cba D. cab1因为 c=log3= log35,35又 y = log3x 在(0,+a)上是增函数，所以 log35log3log33 = 1,所以 ca1.1x因为 y=4 在(一g,+m)上是减函数，111所以()3；= 1，即 bab.44S3D对数函数值大小比较一般有三种方法:1单调性法，在同底的情况下直接得到大小关系，若不是同底，先化为同底；2“中间量”法，即寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用0” “或其他特殊值进行“比较传递”；3图象法，根据图象观察得出大小关系.1.（经典真题）设 a =

7、log32, b = log52, c= log23，则（D）A. acb B. bcaC. cba D. caba = log32log22 = 1,由对数函数的图象和性质可知，log52log32,所以 bac.对数函数的图象与性质7 a=log32,E3(经典真题)当 0 xW1, 4xiogax，则 a 的取值范围是A (0,亍)B (芬，1)C. (1 ,2) D. ( ,2, 2)（方法一）画出指数函数与对数函数的图象（如图）,当对数函数经过（1, 2）时,所对应的对数函数为y= logx,1x当 0 xw2 时，41，则 logax0 不满足，所以排除 C, D,x当 0a1 时

8、，令 f(x) = 4 - logax,1问题转化为求 a 的范围，使 f（x）在（0, ?的最大值小于 0.1因为 f（x）在（0, 2 上单调递增,所以1 1 1f(x)max= f(2)= 4? loga2logaa2,21V2因为 0a2，所以a0,且 a工 1,若关于 x 的不等式 logax(x 1)2恰有三个整数解，则a 的取值范围为(B)2,3,4，则应满足:loga4 412,loga5w512,解得165wa0 , a 1).当 x 0,2时，函数 f(x)恒有意义，求实数 a 的取值范围.因为 a0，且 a丰1，设 t(x) = 3 ax,则 t(x)为减函数，x 0,2

9、时，t(x)min= 3 2a,因为 x 0,2时，f(x)恒有意义，所以 3 2a0，所以 a0,且 1,所以 a (0,1)U(1, ?).(1)与对数型函数有关的恒成立问题多与其定义域和值域有关.对于函数y =logaf(x)，若定义域为 R(即对任意 x 都有意义)，则 f(x)0 在 R 上恒成立；若函数 y= logaf(x) 的值域为R，则 f(x)能取遍所有的正实数.a1，其整数解集为已知函数A. 165,94 B. 165, 9.4)本题中 f(x)恒有意义，即 t(x)= 3 ax 在 x 0,2上的最小值 t(X)min0.变式採穽变式採穽3.已知函数 f(x)=loga

10、(3 ax)(其中 a0, a丰1)，是否存在这样的实数a,使得函数 f(x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为1?如果存在，试求出 a 的值；如果不存在，请说明理由.薛 3 令 t(x)= 3 ax,则 t(x)为减函数，又 f(x) = logat(x)为减函数，所以 a1.当 x 1,2时，t(x)min= 3 2a,f(x)max= f(1) = loga(3 a),如果存在满足条件的 a，则 a 需满足:a1,d31a0,即3.loga3 a = 1,a2.故不存在这样的实数 a，使得函数 f(x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为1.I 课 0 刑 _ .1. 对数的定义揭示了指数式与对数式的内在联系，为对数的计算、化简、证明等问题 提供了有效方法.2. 对数的单调性是解决含有对数式的各种问题的最常用知识，应熟练掌握其应用.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)首先要研究函数的定义域；(2)要注意对数底数的取值范围.3. 比较幕、对数大小的常用方法：(1)利用单调性；