勾股定理的十六种的证明方法

1、勾股定理的十六种的证明方法【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形.设它们的两条直角边长分别为3瓦斜边改为5再做三个边长"别为去&c的正方形，把它f像上图那样拼成两个正方牍从图上可以音到.这两个正方形的翅长都是ab,所以面积相竽.即121a口能+1T十4冥一二+才工一口71整理得/十力=1.【证法2】（邹元治证班）以心b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积1_,等于3".把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E.B三点在一条直线匕B、八C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.；RtAHAERia三BEANAHE=ZBE

2、KTZAEH-ZAHE=90:.ZAEH+ZBEF=9T./.ZHEF=180"-900=90二四边形EFGH是一个边长为正方形.它的面积等于上RQGDH逐R工劣晒，ZHGD-ZEHA,*.*ZHGD+ZGI®=90°,二ZEHA+ZGHD=90°.又二.ZGHE=9(T,二ZDHA=9(T+90“=1SOABCD是一个边长为a+b的正方形，它的面积等于以“上（心上炉=4乂Lb2r.【证法3】（部爽证明）以a、b为直角边lb>a）,以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角%三角形的面积等于21.把这四个直角三盘形拼成如图所示形状.,/RtADA

3、H经Rt白责呢二ZEDA=/EAB./HAD-/HAD=907:,ZEAB-/HAD=90%*.ABCD是一个边长为c的正方形.它的面积等于J/EF二FG-GH=HE=b-a,ZH£F:90”.，EFGH是一个边长为b女的正方形，它的面积等于（人.4又1口匕十俗一切了=c2*2B.ac.【证法4】（1876年美国总统GarH“d证明）以ab为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于2,把这两个直角三角形生成如图所示形状.使A、匹B三点在一条直线上.RtAEAD迫RC匚及，,vjauVJhvrvihmw-j/ADE=/BEC.ZAED+ZADE=9(ftZA

4、ED*ZBEC=90".ZDEC=18，-9，=9，AB英是一个等猥直角三角形,-c1它的面积等于二.又丁/DAE-90、ZEBC=9n.AU/BC.，AfiCD是一个直角梯形，它的面积等于比-G+力=2/at+1cJ*11T.,/+5：=小1证法5】(梅文鼎证明)做四个全等的直角二角电，设它们的两.条直一角边长分别为3、b,斜边长为C.把它们拼成如图那样的一个多边形，便及ErF在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P'：D.E”F在一条直线上且R-GEF色RtAEBD,；x£EGF=二BED,ZEGF+ZGEF=90：,二ZBED+ZGEF=9(F,:*ZBE

5、G=180o-90a=g(T.又TAB=BE=E&=GA=e,AEEG是一边长为c的正方形.工/ABC+ZCBE-90*RrAABC/R八汕，/ABC=ZEBD.，/EBD+/CEE-90L即ZCBI>9(T.又二ZBDE=90)ZBCP9(T,成二BD二柔二BDPC是一个边长为a的正方形.同理，HPFG是一个边长为b的正方形.设塞边形GHCBE的面积为5,则1证法6(项明达证明)傲两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为猷b(b>a),斜边长为c,再做一个边长为。的正方形.把它打拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上，过点Q作QP.VBG交AC于点R过

6、点B作EM_LN,垂足为犯再过点F作F¥_LPq,垂足为工VZBCA=9丸QP/7BC,二zmpc=s(r,VBM±?Q,，ZBMP=90°,*BCPM是一个矩形，即NMBC=9(T旨ZQBW-/MBA=ZQBA=9tT,/ABC十ZMBA二ZMBC二9(T1:.ZQBM=XABC,c.又上BMP二90ZBCA=9(T,BQBA=工RxABSft=RiAB&同理可证RUQ典典RtAAEF.-lYVw-yvw-wvT-wwvV"”1qWii一从而将问即转汇为计注4(骑文鼐证明).【证法/）（欧几里得证明）做三个乃.长分则为a、b、在一条直线上，连结

7、BF.CD.过。作CLLD&c的正方形,把它们折成如图所示形状使乐ab三点交AB于点U,交DE于点:AF=ZF.4HAC,AB=AD,=/CAD,HAL：丁白F钻的印根等于3,3G知的面积等于短形ADUM的面积的一半，J.电电ADLM的面根二口;同理可证：定形MLEB的面枳二兄BV正方形ADEB的面积=短形曲1的面枳矩形3LEE的面积二占3,即0：4,：=0上，I证法8】利用相似三角形性质证明）如配在触士?至中.设直角边AC、BC的长度分别为心h,斜-力NB的长为,过点C作CD_LAB：豌亘D.在3如。和3ACB中.:ZADC-ZACB二900ZCAD=ZBAC,二AADCsAACB.

8、AD：AC=AC：AB.即MC士*也同理可证，上£第s2AB-从而有RD：那,-也dC"+3C-L12?+A3-即+fr?c'|【证法9（场作攻证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a，b（b）aX纂边长为仪再做一个边长为亡的正方形.把它仃拼成如图所示的多边形.过A作AFLK,AF交GT于产，炉交口T于R.过E作阳，灯.垂足为F.可口作DF与Cfi的延长钱垂直,垂足为E,证交AF于H./BAD=,ZPAC=9>,二ZDAH=ZBAC天:ZDHA=此ZBCA=9吃AD=AB=和二既4四名Rt白6cA二DH=BC=a,AH=AC=b.由作法可知，

9、PBCA是一个矩形,所以RC&PB及即而二CA=b,AP=从而PH=b-a.VRtADGTh二Uh力Rt3BCA,虹a5V«禺4"Wu1,RrADGTUVm*iaWiMkaaAMaMUUiHiA色R»DBA.8xAfl£:*DH=DG=aZGDI=ZHDA.又丁ZDGT=9(T,ZDHF=90T,：DGFH是一本边长为a的止方形.，GF=FH=a.TF±AF,IF=GT-GF=b-a.:,TFPB是一人直角梯形，上底TF电-用数字表示面枳的编号（如图），则以c=5+S?+%+S.+S1*下底BP=b,高FFK十(b-a)*一S|十$#%

10、=彳板+0一日）卜卜十0一切$5=SrH凡,:,阳+乂=川-：而-品二b2-s-S,把代入，得c1=5+邑+/§：一冬+§官+方-6"+S+Sgif+£?：_为边长的正方形的面积为b*-ahF8法1。】李锐证明设直角三角形两直角边的长分别为a.b(b>a),斜边的长为a做三个边长分别为配&c的正方形,把它们拼成如图所示形状，使ME、G三点在一条直线上.用数字表示面积的追号(如图).上TBT-ZABH=90°,，ZTBH=ZABE.又ZBTH=/HEA=90BT二BE二b,Rt白HBT谊KtaABE,.'.HT-AE-a-二

11、GH二GT-HT=b一心又;ZG1IT+ZDJIT=90、ZDBt+ZBtn=/T图+，/GHF=ZDBC,;DB二EH-ED=b-a,ZHGF二ZBDC=90%，FtAHGF丝RtaBDC.即廉一另一过。作QV_LAG,垂足是比由/B%=ZBEA=9(T*可知ZABE=ZQAM,而AB=AQ=c,所以RtABEgRtAQAM-又纪RtAABE.所以Rt&HBI9氏AQ?里.即工=邑.由以AAEK与RedQA%又得QM-AE二即/MM=4AE,ZHGF=NBDC=90%；,RtAHGF匕XtAEDO.即§产跖.过Q作Q11_AG,垂足是此由/B4Q=/BEA:9(T,可新zi

12、ABE=ZQAM而起=AQ=仁，所以Rt3ABE妾RtiQAM.XKtARBIqRtAABE,所以RtAHBTmRt&QAM,艮口工=S.由RtAABE经RtAQAM,又得QM=AE二a,ZAQV=ZEAE.ZAQM-ZFQM=90%NBAE+ZCAE=901ZAQU二ZBAE.ZFQM=ZCAJL又又：/QMF=/ARC=901QM=AR=加RtiQMFgRtAARC,即=$，匚口=S十与十号十S*十国=S十S：=5三十5-十Sg£-S*，$=%,$4=邑，a3+A*=5-5审十十5丁十星二£：+53+S：十$5二c45二-c1【证注11】（利用切割线定理证明）在

13、跋2邀.中，设宜角边BC=a,AC=b,斜边AB=c.如图，以B为IS心区为芈径件圆，殳AB友AB的延长线分别于D、£,则ED：EE;BCia.因为/BCA:90"点C在3B上，所以K是的切线,由切割定理，得AC2=AE*.Wt证法121（利用多列米定理证明）在鼠&些中，设直角边BO*AC=b,斜边AB=c（如图）.过点A作AD"CB.过点B福而万&.则MW为矩形，矩形ACBD内接于一个圆.根据多列米定理,圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和.有AJi*DC=AD*RC*工仃*的r:AB=X=c，AD=BC=a,AC=BD=氏二.瓶CF*即匚

14、,;i+"=/【证法14】（利用反证法证明）如图，在RtlUK中，设豆角边4£、融的氏度分别为a、M斜边M的长为a过点C作LAB,秀足是必假设舒十产”,即假设*33,则由AB1=/£45=,百IT。十,门=月£3邓即可知/£?、&也,会SC'Qm一即人以AB,或者RD,ECrRCrAB.在33时和NUR中.VZA=ZA*;若AftACAC：ZADC=ZACB.在&£DE和33CB中，V4=ZB,:.若BDiBC¥=BC：AB,贝！|上SBW/M氏又；/ACB=9tTTac：斗力c、国士的假设不能成立,

15、ZADCrgO：ZCDB90这与作法Cl)AB矛盾.所以,.'a2+£>3-c:I证法Ibl辛卜松证明）设直角三角形两直尚边的长分别为m.b,斜边的长为0作边长是一b的正方形ABCD.把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面枳为值+疗一&尸+“。把正方形亚D划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD的返+&）-=1X-+c:,面积为2二曲+':*1+b"j2a£r=2乩+1,【证法16（陈杰谛明）设直角三角形两直角边的长分别为3、btbXh斜边的长为七，做两个边长分别为心b的正方形（b>aX

16、把它们拼成如图所示形状,使小艮N三点在一条直线上.月数字表示面积的箱号（如图）.在EH二bJL藏嶷ED=3娃结DIDC,则AD=c.：*EM=EH丁HM=b7,ED二，DM=EM-ED-g0一1=b.又；皿=90°,CM=arZAED=90、AE=瓦:RrAAFI）芸RtADMC./.NEAD=Z.UDC,DC=AD=c.丫ZADE+ZADC+ZMDC=180ZADE-+ZMDC=ZADE+ZEAD=90°,/*ZADC=90：二作AB"DC,LBZ'DA,则AHCD是一个边长为匕的正方形一；ZBAF-ZFAD=/DAE-ZFAD=9（T,二/BAF=NDAE.连结FB在色越匕和小力中，:AB=AD=c,AE=AF=b,ZB.AF=ZDAE,二金瓢空6威E，二ZAFB二ZED二9（T,B二DE二a.，点B、F>GxH在一条直线上，在RtSBF和RCECG中，AB=BC=c,BF=CG=ar，RtAABF四§tABCG.hS.+Sj4£+S,a=54=5（+Sr,寸十岁=5手十S=十S；十5：十名=一十一+5+电）=