导数压轴题之隐零点问题专辑含答案纯

1、导数压轴题之隐零点问题导数压轴题之隐零点问题(共13题)1.已知函数f(x)=(aex-ax)ex(a>0,e=，e为自然对数的底数)，若f(x)>0对于xCR包成立.(1)求实数a的值；(2)证明：f(x)存在唯一极大值点xo,且0<£(而)<工.u4【解答】(1)解：f(x)=ex(aexax)>0,因为ex>0,所以aex-a-x>0包成立，即a(ex-1)x包成立，x=0时，显然成立，x>0时，ex-1>0,故只需a>-在(0,+00)恒成立,eT令h(x)=-,(x>0),e-1h'(x)Ji<

2、0,(ex-l)故h(x)在(0,+8)递减,而lim=1inr7T=1，空t叱-1故a>1,x<0时，ex-1<0,0)恒成立,故只需a<在(-00eT令g(x)=芯,(x<0),ex-1g'(x)丁-1/I/0,故h(x)在(-oo,0)递增,而liur-：=1inr-"=1，交t已-1故a01,综上：a=1；(2)证明：由(1)f(x)=ex(exx1),故f(x)=ex(2exx2),令h(x)=2ex-x-2,h'(x)=2e<-1,所以h(x)在(-oo,lnX)单调递减，在(l仁，+°°)单调递增，

3、22h(0)=0,h(畤)=2e畤-l*-2=ln2-1<0,h(-2)=2e-2-(-2)-2号>0,.h(-2)h(l*)<0由零点存在定理及h(x)的单调性知，方程h(x)=0在(-2,ln；)有唯一根，设为x。且2ex0-x0-2=0,从而h(x)有两个零点x0和0,所以f(x)在(-8,x0)单调递增，在(x°,0)单调递减，在(0,+8)单调递增，从而f(x)存在唯一白极大值点x0即证，耳+2由2ex0x02=0得ex0=5,x°w1,2“孙+2町+2111一知+2+而f(x0)=ex0(ex0-x0-1)=-(-x0-1)石(-x0)(2+x

4、0)<(,；a的取值范围是-2,+8).(1,+°0)(2)a=1时，f(x)=x+lnx,kCZ时，不等式k(x1)<f(x)在xC上包成立,当xC(xi,X2)时f(x)>0,函数f(x)的单调速递增，当xC(x2,+00)时f(x)<0,函数f(x)的单调递减；综上所述，(i)当&时f(x)的单调递减区间是(0,+°°),二k<K-l!?niui令g(x)-k+kLiixK-1，则g'(x)=4、-(i-l)2令h(x)=x-lnx-2(x>1).则h'(x)=1一l-i-l>0,h(x)在(

5、1,+8)上单增,.h(3)=1-ln3<0,h(4)=2-2ln2>0,存在x0C(3,4),使h(x0)=0.即当1<x<xO时h(x)<0即g'(x)<0x>xo时h(x)>0即g'(x)>0g(x)在令h(刈)(1,x0)上单减，在(x0+°°)上单增.=x0lnx02=0,即lnx0=x02,g(x)min=g(x0)=0(141nx0)工口-1口(1+乂口-2)天口-1=x0(3,4).k<g(x)min=x0(3,4),且kZ,kmax=3.3,函数f(x)=alnx-x2+x,(1)

6、当a00时，讨论函数g(x)=(x2)ex-x2+m(其中e=).f(x)的单调性；(2)当a=-1,x(0,1时，f(x)>g(x)恒成立，求正整数m的最大值.【解答】解：(1)函数f(x)定义域是(0,+OO),F=2-2/1二"II当合看时，1+8a&0,当xC(0,O函数f(x)的单调递减区间是(0,+°°);+8)时f(x)<0,(ii)当看<立0.l+Sai>C,2x2+x+a=0的两根分另1J是:8>0i上个(当xC(0,x1)时f(x)<0.函数f(x)的单调递减.(ii)当时，f(x)的单调递增区间是(

7、口画：上且已)，S44单调递减区间是g上叵近)和(2±叵a，0)(2)当a=1,x(0,1时，f(x)>g(x),即m<(x+2)ex-lnx+x,设h(x)=(-x+2)ex-lnx+x,x(0,1,.y(宣)二(1-m)(u*)，.当0<x<1时，1-x>0,设u(x)二巳*贝U(gj=巳工0,'u(x)在(0,1)递增，置j又;u(x)在区间(0,1上的图象是一条不间断的曲线，且uC：)二五2<0.=三工0£得p1)使得u(x0)=0,即已。二1In篡。二-工。,当xC(0,xO)时，u(x)<0,h'(x)&

8、lt;0;当xC(x0,1)时，u(x)>0,h'(x)>0;函数h(x)在(0,x0单调递减，在x。，1)单调递增，-h(K)jnin=h(y0)=(-xo+2)=°了0+口一(一工0+2)丁+2工。=-1+丁+2工1，Koso|y=_l+-x(0,1)递减，K沟心，1)，.二-1+2工14),上Ko二当m03时，不等式m<(-x+2)ex-lnx+x对任意xC(0,1恒成立，正整数m的最大值是3.4,已知函数f(x)=ex+a-lnx(其中e=，是自然对数的底数).(I)当a=0时，求函数a=0的图象在(1,f(1)处的切线方程；(n)求证：当日>

9、1时,f(x)>e+1.c【解答】(I)解：a=0时，(必二lnx,产二小十G>0),f(1)=e,f'(1)=e-1,函数f(x)的图象在(1,f(1)处的切线方程：y-e=(e-1)(x-1),即(e-1)x-y+1=0；(R)证明：f(二产儿©)，设g(x)=f'(x),则1，-g(x)是增函数,.exaAea,.由.当x>e-a时，f'(x)>0；若0<x<1exa<ea1,由ea+1<,.,当0<x<min1,ea1时,f'(x)<0,故f'(x)=0仅有一解，记为xo

10、,则当0Vx<xo时，f'(x)<0,f(x)递减;当x>x0时，f'(x)>0,f(x)递增；,)皿二兴町)二一。、口而，而严(工0)二口氢"二)=0=Tungr。,xoxo记h(x)=lnx+x,贝U式工口)-1口红二,KoKoa>l-a<Lh(刈)<h(),而h(x)显然是增函数，口<丫力20-h-)>h(E)二七+1.口巳打为综上，当时，f(x)>e+1.巳5.已知函数f(x)=axex-(a+1)(2x1).(1)若a=1,求函数f(x)的图象在点(0,f(0)处的切线方程;(2)当x>0时，

11、函数f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围.【解答】解：(1)若a=1,贝Uf(x)=xex-2(2x-1),当x=0时，f(0)=2,f(x)=xex+ex-4,当x=0时，f(0)=-3,所以所求切线方程为y=-3x+2.(3分)(2)由条件可得，首先f(1)>0,得3>±>0,而f(x)=a(x+1)ex-2(a+1),令其为h(x),h'(x)=a(x+2)ex恒为正数，所以h(x)即f(x)单调递增，而f(0)=-2-a<0,f(1)=2ea-2a-2>0,所以f(x)存在口t一根xoC(0,1,且函数f(x)在(0,x0)上单调

12、递减，在(x0+°°)上单调递增，所以函数f(X)的最小值为£(工口)二,口，只需f(刈)>0即可，又x。满足。二,2"2,心口+1)41日Q+1)(-2町'+工口+1)代入上式可得:,Uxo+l,刈(0,1,.一2町？+又口+1,0,即：f(x0)>0包成立，所以启士.(13分)e-l|6.函数f(x)=xe<-ax+b的图象在x=0处的切线方程为：y=-x+1.(1)求a和b的值；(2)若f(x)满足：当x>0时，f(x)>lnx-x+m,求实数m的取值范围.【解答】解：(1)f(x)=xe<-ax+b,f

13、'(x)=(x+1)ex-a,由函数f(x)的图象在x=0处的切线方程为：y=-x+1,知：法雨.f(0)=1-3=-l解得a=2,b=1.(2)f(x)满足:当x>0时,f(x)>lnx-x+m,m<xex-x-lnx+1,令g(x)=xe<-x-lnx+1,x>0,贝1g"(刘二£，_="+1)。巳/T)，设g'(X0)=0,x0>0,贝U.%,从而lnx0=-xo,gz(y)=3(除T)<0，g()=2(e-1)>0,由g'(9g'(i)<0,知：均i),当xC(0,X0)

14、时，g'(x)<0；当xC(x0,+oo)时，g'(x)>0,函数g(x)在(0,xO)上单调递减，在(x0,+00)上单调递增.g(x)min=g(x。)x0一lnx0=yQeK°x0一lnxo=xx0+x0=1.mWxxlnx+1恒成立m<g(x)min,实数m的取值范围是：(-8,i.7.已知函数f(x)=3ex+x2,g(x)=9x-1.(1)求函数小(x)=xe<+4x-f(x)的单调区间;(2)比较f(x)与g(x)的大小，并加以证明.【解答】解：(1)(T(x)=(x-2)(ex-2),令|x)=0,得x1=ln2,x2=2;令小

15、x)>0,得x<ln2或x>2;令小x)<0,得ln2Vx<2.故小(x)在(-8,帖2)上单调递增，在(ln2,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增.(2) f(x)>g(x).证明如下：设h(x)=f(x)g(x)=3ex+x2-9x+1,=h'(x)=3ex+2x-9为增函数，.可设h'(刈)=0,.h'(0)=-6<0,h'(1)=3e-7>0,.x0e(0,1).当x>x0时，h'(x)>0;当x<x0时，h'(x)<0.h(x)min=h(x0)=3e

16、6;4耳(-9町+1,又3叫2K口-9=0,30二-加0+9,h(K)电3二Kq+9+工J-9k1=kJ-Ux口+10=(x0-1)(x0-10),vx0(0,1),；(x01)(x0-10)>0,h(X)min>0,.f(X)>g(X).8,已知函数f(x)=lnx+a(x1)2(a>0).(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)在区间(0,1)内有唯一的零点x0,证明：e"T<T<-1.2【解答】解：(1)p(R)/a工T-+1当0<a02时，f(x)>0,y=f(x)在(0,+oo)上单调递增，当a>2时，设2ax2-2

17、ax+1=0的两个根为勺，x2(0<7(<<x£)，且l*-V"一组a*町一力'"一2a，y=f(x)在(0,x1),(x2,+00)单调递增，在(x1,x2)单调递减.(2)证明：依题可知f(1)=0,若f(x)在区间(0,1)内有唯一的零点x。，由(1)可知a>2,且工0=盯(05§)于是：1口工0+aG0T)2an0z_2axo+l=O由得0口.；口1二心设晨义)二1nQE3*1),ZKq2K则屋/*,因此g(x)在(0,上)上单调递减，2i23_1y-i又晨巴2)3W>0,式/I)露尸<口_2根据零点存

18、在定理，故已一万<运<曰7.9 .已知函数f(x)=,其中a为常数.(1)若a=0,求函数f(x)的极值；(2)若函数f(x)在(0,-a)上单调递增，求实数a的取值范围；(3)若a=-1,设函数f(x)在(0,1)上的极值点为x0,求证：f(x0)<-2.【解答】解：(1)f(x)以晋4|勺定义域是(0,+8),f，(x)上里詈，令f'(x)>0,解得0<x<加，令f'(x)<0,解得：x>F,则f（x）在（0,正）递增，在（y，+8）递减，故f（x）极大«=f（Ve）,无极小值；2e（2）函数f（x）的定义域为x|x

19、>0且xw-a.H石一（k+5）-1nx（2x+2a）H21nx=（工3”（x+a）3'要使函数f（x）在（0,-a）上单调递增，则a<0,又xC(0,一a)时，a<x+a<0,只需1-2lnx<0在（0,-a）上包成立,即a2xlnxx在（0,一a）上恒成立,由y=2xlnx-x的导数为y'=21+lnx)-1=1+2lnx,函数y递增，0<x<1时，函数y递减,即-3<a<0时，函数递减，可得a>0,矛盾不成立;Vea<一,函数y在（0,-L-）递减，在（,a)递增,可得y<2aln(a)+a,可得a&

20、gt;2aln(a)+a,解彳3-1&a<0,则a的范围是-1,0);(3)证明：a=-1,贝Uf(x)=-1口'三(x-1)2导数为f'(x)=亲,(x-n3设函数f（x）在（0,1）上的极值点为x0,可得1-2lnx0-=0,肛即有21nx0=1Ko要证f（x。）<-2,即+2<0,由于-+2=+22(yQ-lK2工口(工口-1)由于xoC(0,1),且x°=L2,21nx0=1+2<0,故f(刈)<-2成立.10 .已知函数f(x)=lnx-x+1,函数g(x)=ax-4x,其中a为大于零的常数.(I)求函数f(x)的单调区

21、间;(n)求证：g(x)2f(x)>2(Ina-ln2).x(0,1)时，f(x)>0,y=f(x)单增;xC(1,+oo)时，f(x)<0,y=f(x)单减.(4分)(H)证明：令h(x)=axex-4x-2lnx+2x2=ax2x2lnx2(a>0,x>故h'=.(-7分)令h'(x)=0即两边求对数得：lna+x0=ln2lnx。即lnxo+x0=ln2lna.(9分)hmin二匕(算口口日口-2x0-21nx0-2=-2x0-21nu0=-2(ln2-lna),h(x)>2lna-2ln2(12分)11 .已知函数f(x)=W-(a-

22、2)x-alnx(aR).(I)求函数y=f(x)的单调区间;(H)当a=1时，证明：对任意的x>0,f(x)+ex>x2+x+2.【解答】解：(I)函数f(x)的定义域是(0,+8),f(x)=2x-(a2)aS+l)以-一当a00时，f'(x)>0对任意xC(0,+8)包成立,所以，函数f(x)在区间(0,+oo)单调递增；(4分)当a>0时，由1(x)>0得x>*由f'(x)<0,得0<x<所以，函数在区间(+8)上单调递增，在区间(0,)上单调递减;1工口当x变化时,g'(x)和g(x)变化情况如下表(0,x

23、o)xo(xo,00(H)当a=1时，f(x)=x2+x-lnx,要证明f(x)+ex>x2+x+2,只需证明exlnx2>0,设g(x)=ex-lnx-2,则问题转化为证明对任意的x>0,g(x)>0,令g'(x)=ex-=0,彳3ex,容易知道该方程有唯一解，不妨设为x0,则x0满足ex0=g'(x)g(x)g(x)min=g(x。)=ex0递增因为xo>0,且x°W1,所以g(x)min>2/12=0,因此不等式得证.12.已知函数f(公=1”工-1-二(I)当a=2时，(i)求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;

24、(ii)求函数f(x)的单调区间；(n)若1<a<2,求证：f(x)<-1.【解答】解：(I)当a=2时，=2x,定义域为(0,+00),9皿、2-1hk2-lnx-2xrlx?=22f'(1)=-1-2=-3,f(1)=2-2=0;所以切点坐标为(1,-3),所以切线方程为y=-3；切线斜率为0(ii)令g(x)=2-lnx-2x2,一%)二十4。所以g(x)在(0,+00)上单调递减，且g(1)=0所以当x(0,1)时，g(x)>0即f(x)>0所以当x(1,+oo)时，g(x)<0即f(x)<0综上所述，f(x)的单调递增区间是(0,1)

25、,单调递减区间是(1,+8).(R)证明：f(x)<1,即应仁设h(E)二干F，+l&>0)，卜产+2，设d(x)=-ax2-lnx+2乾&)4_2如工T<0KI所以小x)在(0,+°°)小于零包成立即h'(x)在(0,+00)上单调递减因为1<a<2,所以h'(1)=2-a>0,h'(e2)=-a<0,所以在(1,e2)上必存在一个-<)<ooXn-I-1_2口=0即或%二且说+2,所以当x(0,X0)时，h'(x)>0,h(x)单调递增,当xC(xo,+oo)时，h'(x)<0,h(x)单调递减，小、|lnsD-l所以京意)见砺=h(上口)=-s0+i,K0因为1口Xq=-0谥+本2-ZaKn+xn+l所以hG口二5-令h(x0)=0得“口L±Vl+8a4a因为1<a<2,所以14dL+8已<4a因为耳，(1,曰2),所以h(x0)<0包成立,即h(x)<0恒成立,综上所述，当1<a<2时，f(x)<-1.13.已知函数f(x)=(x-a)Inx