数学苏教版必修1指数函数教案

1、指数函数（一）教学目标：使学生理解指数函数的概念，并能正确作出其图象，掌握指数函数的性质；培养学生观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力、化归转化能力；培养学生发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯，体会事物之间普遍联系的辩证观点。教学重点：指数函数的概念、图象、性质教学难点：指数函数的图象、性质教学过程：教学目标（一）教学知识点1 .指数函数.2 .指数函数的图象、性质.（二）能力训练要求1 .理解指数函数的概念.2 .掌握指数函数的图象、性质.3 .培养学生实际应用函数的能力.（三）德育渗透目标1 .认识事物之间的普遍联系与相互转化.2 .用联系的观点看问题.3 .了解数

2、学知识在生产生活实际中的应用.教学重点指数函数的图象、性质.教学难点指数函数的图象性质与底数a的关系.教学方法学导式引导学生结合指数的有关概念来理解指数函数的概念，并向学生指出指数函数的形式特点，在研究指数函数的图象时，遵循由特殊到一般的研究规律，要求学生自己作出特殊的较为简单的指数函数的图象，然后推广到一般情况，类比地得到指数函数的图象，并通过观察图象，总结出指数函数的性质，而且是分a>1与0vav1两种情形.教具准备幻灯片三张第一张：指数函数的图象与性质（记作§2.6.1A）第二张：例1（记作§2.6.1B）第三张：例2（记作§2.6.1C）教学过程I.

3、复习回顾师前面几节课，我们一起学习了指数的有关概念和哥的运算性质.这些知识都是为我们学习指数函数打基础.现在大家来看下面的问题：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个1个这样的细胞分裂x次后,得到的细胞个数y与x的函数关系式是y=2x这个函数便是我们将要研究的指数函数，其中自变量x作为指数，而底数2是一个大于0且不等于1的常量.下面，我们给出指数函数的定义.n.讲授新课1.指数函数定义一般地，函数y=ax（a>0且aw1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R.师现在研究指数函数y=ax（a>0且aw1）的图象和性质，先来研究a>1的情形.例如，我们来画y=2

4、x的图象列出x,y的对应值表，用描点法画出图象：x3-2-1.51-0.50y=2x0.130.250.350.50.711x0.511.523xy=21.422.848再来研究0vav1的情况，例如，我们来画y=2-x的图象.可得x,y的对应值，用描点法画出图象.也可根据y=2-x的图象与y=2x的图象关于y轴对称，由y=2x的图象对称得到y=2-x即y=（°）x的图象.2我们观察y=2x以及y=2-x的图象特征，就可以得到y=ax（a>1）以及y=ax（0vav1）的图象和性质.2.指数函数的图象和性质3.例题讲解例1某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物

5、质是原来的84%,画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩留量是原来的一半（结果彳留1个有效数字）.分析：通过恰当假设，将剩留量y表示成经过年数x的函数，并可列表、描点、作图，进而求彳#所求.解：设这种物质最初的质量是1,经过x年，剩留量是y.经过1年，剩留量y=1X84%=0.841;经过2年，剩留量y=0.84X84%=0.842;般地，经过x年，乘U留量y=0.84x根据这个函数关系式可以列表如下:x0123456y10.840.710.590.500.420.35用描点法画出指数函数y=0.84x的图象.从图上看出y*y=0.5只需x=4.答：约经过4年，剩留

6、量是原来的一半.评述：(1)指数函数图象的应用.(2)数形结合思想的体现.例2说明函数y=2x+1与丫=2勺图象的关系，并画出它们的示意图分析：做此题之前，可与学生一起回顾初中接触的二次函数平移问题解：比较函数y=2x+1与y=2x的关系：y=2-3+1与y=2-2相等，y=2-2+1与y=2-1相等，就得到函数y=2x+1y=22+1与y=23相等，由此可以知道，将指数函数y=2x的图象向左平行移动一个单位长度,的图象.评述：此题目的在于让学生了解图象的平移变换，并能逐步掌握平移规律m.课堂练习1 .课本P74练习1在同一坐标系中，画出下列函数的图象：y=3x;y=(1)x.32 .课本P7

7、3例2(2).说明函数y=2x2与指数函数y=2x的图象的关系，并画出它们的示意图解：比较y=2x2与y=2x的关系y=2»2与y=2-3相等,y=20一2与y=2-2相等，y=23-2与y=21相等，由此可以知道，将指数函数y=2x的图象向右平移个单位长度，就得到函数y=2x-2的图象.IV .课时小结师通过本节学习，大家要能在理解指数函数概念的基础上，掌握指数函数的图象和性质，并会简单的应用V .课后作业(一)1.在同一坐标系里画出下列函数图象：x(1)y=10；(2)y=()x.102 .作出函数y=2"1和y=2x+1的图象，并说明这两个函数图象与y=2x的图象关系

8、.答：如图所示，函数y=2xT的图象可以看作是函数y=2x的图象向右平移两个单位得到.函数y=2x+1的图象可以看作是函数y=2x的图象向上平移1个单位得到(二)1.预习内容：课本P73例33 .预习提纲：(1)同底数哥如何比较大小？(2)不同底数哥能否直接比较大小？板书设计§ 2.6.1 指数函数1 .指数函数定义：形如y=ax(a>0且a1)的函数叫指数函数2 .指数函数的图象性质3 .例1例24 .学生练习I.复习引入引例1:某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，.1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系是什么？分裂次数：1,2,3,4,，x细

9、胞个数：2,4,8,16,，y由上面的对应关系可知，函数关系是y=2x引例2:某种商品的价格从今年起每年降低15%,设原来的价格为1,x年后的价格为v,则y与x的函数关系式为y=0.85x.在y=2x,y=0.85x中指数x是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量.我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数.n.讲授新课1.指数函数的定义函数y=ax(a>0且aw1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R探究1：为什么要规定a>0,且aw1呢？若a=0,则当x>0时，ax=0;当xW0时，ax无意义.11右a<0,则对于x的

10、某些数值，可使a无息义.如丫=（-2）,这时对于x=4,x=,等等，在实数范围内函数值不存在.若a=1,则对于任何xCR,ax=1,是一个常量，没有研究的必要性.为了避免上述各种情况，所以规定a>0且aw1。在规定以后，对于任何xCR,ax都有意义,且ax>0.因此指数函数的定义域是R,值域是（0,+8）.探究2：函数y=23x是指数函数吗？指数函数的解析式y=ax中，ax的系数是1.有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如y=ax+k（a>0且aw1,kCZ）；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如y=a-x（a>0,且a1）,因为它可以化为y=（a-1）x,其中a

11、-x>0,且a-xw1.活动设计：教师提出问题，学生思考、分析、讨论，教师引导、整理2.指数函数的图象活动设计：学生分别取不同的a值，用计算器作出函数图像，观察、分析讨论函数性质，教师辅导、启发、整理作图：（以下几例由学生作出类似情况，然后展示）1、在同一坐标系中分别作出函数y=2x,y=%）x,y=10x的图象.1、先分别列出y=2,y=（2）,y=10中x、y的对应值表:x-3-21.51-0.500.511.523xy=20.130.250.350.50.7111.422.848x一3一2一1.5一1一0.500.511.5231-xy=（2）x842.821.410.710.50

12、.350.250.13x1-0.5-0.2500.250.51/-Xy=100.10.320.5611.783.1610注意：用图形计算器函数值表填写列表，列表时注意x的广泛代表性，即对于负数、零、正数都要取到；要画出渐近的“味道”观察、总结aA>10<a<1图像定义域RR值域x>0时，y>1y>0)x<0时,0<y<1x>0时,0<y<1y>0jx<0时,y>1定点过点（0,1）过点（0,1）单调性单调递增单调递减m.例题分析例1（课本第81页）比较下列各题中两个值的大小：1.72,5,1.73;0.8

13、0.1,0.80.2;1.70,3,0.93.1活动设计：理解用函数单调性来比较大小，教师引导、整理解：利用函数单调性1.72.5与1.73的底数是1.7,它们可以看成函数y=1.7x,当x=2.5和3时的函数值；因为1.7>1,所以函数y=1.7x在R是增函数，而2.5<3,所以，1.72.5<1.73；略在下面个数之间的横线上填上适当的不等号或等号：1.70.3>1.70>1；0.93.1<0.90<1;1.70.3>0.93.1/、结：对同底数哥大小的比较用的是指数函数的单调性，必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；对不同底数是

14、哥的大小的比较可以与中间值进行比较W.课堂练习24比较大小：一0.7-0.2-1.70.3；（2.5）3（2.5）5已知下列不等式，试比较m、n的大小：（2）m>（2）n，mn;1.1mv1.1n,mn.33比较下列各组中数的大小：1°,0.425,2一：2.51.6V.课时小结指数函数的定义；图象的作法；性质VI.课后作业课本P54习题：1,2.指数函数（教学目标：使学生巩固指数函数性质的理解与掌握、并能应用；培养学生观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力、化归转化能力；培养发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯，体会事物之间普遍联系的辩证观点。教学重点：指

15、数函数的性质的应用教学难点：指数函数的性质的应用教学过程：教学目标（一）教学知识点1 .指数形式的函数.2 .同底数哥.（二）能力训练要求1 .熟练掌握指数函数概念、图象、性质.2 .掌握指数形式的函数求定义域、值域.3 .掌握比较同底数哥大小的方法.4 .培养学生数学应用意识.5 三）德育渗透目标1 .认识事物在一定条件下的相互转化.2 .会用联系的观点看问题. 教学重点比较同底哥大小. 教学难点底数不同的两哥值比较大小. 教学方法启发引导式启发学生根据指数函数的形式特点来理解指数形式的函数，并能够利用指数函数的定义域、值域，结合指数函数的图象，进行同底数哥的大小的比较在对不同底指数比较大小

16、时，应引导学生联系同底哥大小比较的方法，恰当地寻求中间过渡量，将不同底哥转化同底哥来比较大小，从而加深学生对同底数哥比较大小的方法的认识.教具准备幻灯片三张第一张：指数函数的定义、图象、性质（记作§2.6.2A）第二张：例3（记作§2.6.2B）第三张：例4（记作§2.6.2C）师这一节，我们主要通过具体的例子来熟悉指数函数的性质应用n.讲授新课例3求下列函数的定义域、值域教学过程I.复习回顾师上一节，我们一起学习了指数函数的概念、图象、性质，现在进行一下回顾.(打出幻灯片内容为指数函数的概念、图象、性质)1(1)y=0.4x；(2)y=35xJ.(3)y=2x+

17、1分析：此题要利用指数函数的定义域、值域，并结合指数函数的图象.注意向学生指出函数的定义域就是使函数表达式有意义的自变量x的取值范围.解：(1)由x1W0得xwl所以，所求函数定义域为xIxW11由W0得yW1xT所以，所求函数值域为“|丫>0且丫才11，.评述：对于值域的求解，在向学生解释时，可以令=t.考查指数函数y=0.4t,并结x-1合图象直观地得到，以下两题可作类似处理.，/口1(2)由5x1>0得x>一x|x>155所以，所求函数定义域为由v5x-1>0得y>1所以，所求函数值域为yIy>1所求函数定义域为R由2x>0可得2x+1&g

18、t;1所以，所求函数值域为yIy>1师通过此例题的训练，大家应学会利用指数函数的定义域、值域去求解指数形式的复合函数的定义域、值域，还应注意书写步骤与格式的规范性例4比较下列各题中两个值的大小(1)1.72.5,1,73(2)0.80.1,0.80.2(3)1.70.3,0.93.1要求：学生练习(1)、(2),并对照课本解答，尝试总结比较同底数哥大小的方法以及一般步骤.解：考查指数函数y=1.7x又由于底数1.7>1,所以指数函数y=1.7x在R上是增函数2.5V31.72.5<1.73(2)考查指数函数y=0.8x由于0V0.8V1,所以指数函数y=0.8x在R上是减函数

19、.-0.1>-0.2.0.80.1<0.80.2师对上述解题过程，可总结出比较同底数哥大小的方法，即利用指数函数的单调性，其基本步骤如下：(1)确定所要考查的指数函数；(2)根据底数情况指出已确定的指数函数的单调性；(3)比较指数大小，然后利用指数函数单调性得出同底数哥的大小关系解：(3)由指数函数的性质知：1.7°.3>1.70=1,0.93.1<0.9°=1,即1.70.3>1,0.93.1<1,1.70.3>0.93.1.说明：此题难点在于解题思路的确定，即如何找到中间值进行比较.(3)题与中间值1进行比较，这一点可由指数函数

20、性质，也可由指数函数的图象得出，与1比较时，还是采用同底数哥比较大小的方法，注意强调学生掌握此题中“1”的灵活变形技巧.师接下来，我们通过练习进一步熟悉并掌握本节方法出.课堂练习1 .课本P78练习2求下列函数的定义域1(1)y=3x；(2)y=5-x-1.-,1解：(1)由有息乂可得xw0x故所求函数定义域为x|xw0)(2)由x1>0得x>1故所求函数定义域为xIx>1).2 .习题2.62比较下列各题中两个值的大小(1)30.8,30.7(2)0.75°,，0.750.1(3)1.0产，1.013.50.993.3,0.994.5解：(1)考查函数y=3x由于

21、3>1,所以指数函数y=3x在R上是增函数.10.8>0.730.8>307(2)考查函数y=0.75x由于0V0.75V1,所以指数函数y=0.75x在R上是减函数.0.K0.10.750.1>0.750.1考查函数y=1.01x由于1.01>1,所以指数函数y=1.01x在R上是增函数.2.7V3.51.012.7<1.013.5x(4)考查函数y=0.99由于0V0.99V1,所以指数函数y=0.99x在R上是减函数.3.3V4.50.993.3>0.994.5.IV .课时小结师通过本节学习，掌握指数函数的性质应用，并能比较同底数哥的大小,提高

22、应用函数知识的能力.V .课后作业(一)课本P78习题2.61.求下列函数的定义域(i)y=2(2)y=32x+1/1、5x(3)y=(-)1(4)y=0.7x解：(1)所求定义域为R.(2)所求定义域为R.(3)所求定义域为R.由x丰0得所求函数定义域为x|xw0.3.已知下列不等式，比较m、n的大小2mv2n(2)0.2m>0.2n(3)aman(0vav1)am>an(a>1)解：(1)考查函数y=2x,2>1,函数y=2x在R上是增函数. 2mv2nm<n;(2)考查函数y=0.2x 0V0.2V1，指数函数y=0.2x在R上是减函数. -0.2m>

23、0.2nmvn;考查函数y=ax .-0<a<1，函数y=ax在R上是减函数. .am<anm>n;考查函数y=axa>1，函数y=ax在R上是增函数，am>anm>n.(二)1.预习内容：函数单调性、奇偶性概念2.预习提纲(1)函数单调性，奇偶性的概念.(2)函数奇偶性概念.(3)函数单调性，奇偶性的证明通法是什么？写出基本的证明步骤板书设计§2.6.2指数函数的性质应用(一)1 .比较同底数哥的方法：利用函数的单调性.例3例4(1) (1)(2) (2)(3) (3)2 .基本步骤3 1)确定所要考查的指数函数.4 2)确定考查函数的单调

24、性.比较指数大小，然后利用指数函数单调性.3.学生练习I.复习引入指数函数的定义与性质n.讲授新课例1某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%.画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩留量是原来的一半(结果保留一个有效数字).解：先求出函数关系式：设这种物质最初的质量是1,经过x年，剩留量是y.那么经过1年，剩留量y=1X84%=0.841；经过2年，剩留量y=0.84X84%=0.842；经过x年，乘U留量y=0.84x(x>0)描点作图：根据函数关系式列表如下:x0123456y10.840.710.590.500.420.3

25、5.从图上看出y=0.5,只需x=4.根据上表描点作出指数函数y=0.84x(x>0)的图象(图略)答：约经过4年，剩留量是原来的一半例2求下列函数的定义域和值域：1解：要使函数有意义，必须1a*0,即ax<1当a>1时xW0；当0vav1时x>0ax>01-0<1-ax<1，值域为0Wyv1要使函数有意义，必须x+3W0即xw31x+3W01/10.y=(2)f金(万)=1又丁丫。，值域为（0,1）U（1,+oo）12八例3求函数y=（2）x的单调区间，并证明活动设计：学生用图形计算器作出函数图像，观察图像，分析讨论单调区间，然后准确解答，教师引导、

26、整理（图见上）解（用复合函数的单调性）：设：u=x22x则：y=（1）u1对任息的1<X1X2,有U1VU2,又=y=（2）是减函数122y1<y2，y=（2）在1,+°°）是减函数1对任息的X1<X2<1,有u1>U2,又=y=（2）是减函数12-y1<y2.-.y=（）x在1,+°°）是增函数1x29X引申：求函数y=（2）的值域（0vyW2）m.课堂总结对于函数y=f（u）和u=g（x）,如果u=g（x）在区间（a,b）上是具有单调性，当xC（a,b）时，uC（m,n）,且y=f（u）在区间（m,n）上也具有单调

27、性，则复合函数y=f（g（x）在区间（a,b）具有单调性：若u=g（x）在（a,b）上单调递增，y=f（u）在（m,n）上单调递增，则复合函数y=f（g（x）在区间（a,b）上单调递增；若u=g（x）在（a,b）上单调递增，y=f（u）在（m,n）上单调递减，则复合函数y=f（g（x）在区间（a,b）上单调递减；若u=g（x）在（a,b）上单调递减，y=f（u）在（m,n）上单调递增，则复合函数y=f（g（x）在区间（a,b）上单调递减；若u=g（x）在（a,b）上单调递减，y=f（u）在（m,n）上单调递减，则复合函数y=f（g（x）在区间（a,b）上单调递增；以上规律还可总结为:复合函数单

28、调性的规律见下表：y=f(u)增/减u=g(x)增/减增/减y=f(g(x)增/减减增/同向得增，异向得减”或“同增异减”活动设计：教师提出问题，学生思考、分析讨论，教师引导、整理下面只证明设x1、x2c(a,b),且x1Vx2(m,u=g(x)在(a,b)上是增函数，g(x1)<g(x2),且g(x1)、g(x2)Cn)-y=f(u)在(m,n)上是增函数，f(g(x)<f(g(x2).所以复合函数y=f(g(x)在区间(a,b)上是增函数。W.课后作业课本P54习题：3,4,5,6.对数(三)教学目标：使学生掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题；培养培养观察分

29、析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力教学重点：换底公式及推论.教学难点：换底公式的证明和灵活应用.教学过程：教学过程：I.复习回顾对数的运算法则若a>0,aw1,M>0,N>0,则loga(MN)=logaM+logaN;M(2)logaN=logaMlogaN;(3)logaMn=nlogaM(nCR)n.讲授新课1 .对数换底公式：logaN=110gmN(a>0,awm>0,mw1,N>0)logma证明：设10gaN=x,则ax=N两边取以m为底的对数：logmax=logmN=xlogma=logmNlogmN.,logmN从而得：x=.l

30、ogaN=,logmalogma2 .两个常用的推论： logab-logba=1 logmbn=nlogab(a、b>0且均不为1)amw证:logab-logb2=北"=110gmabn一1g":nlgb1gamlga_n.-logabmm.例题分析例1已知log23=a,10g37=b,用a,b表示10g4256解：因为log23=a,则1=log32,又log37=b,a110g356_10g37+31og32ab+3og4256log34210g37+log32+1-ab+b+1例2计算：510g023log43-log立-log14322解：原式=10g0.235,110g531二15115153原式=2log23210g32+4log22=4+-=2例3设x、v、zC(0,+°°)且3x=4y=6z1111 求证X+2V=Z；2比较3x,4y,6z的大小证明1°:设3、=4y=6z=k,.xv、zC(0,+00)k>1lgklgklgk取对得x=y=z=取姒行.x1g3'y1g4'lg61工1g31g4_21g3+1g4_21g3+21g2_1g6_1一x+2ylgk+21gk21gk21gk-lgk-z64c,c/lgk,lg”,341g64