初高中数学衔接教材(已整理精品)

1、例2解)(2因式分解初高中数学衔接教材1乘法公式=(X2一1)(x4+x2+1)立方和公式立方差公式三数和平方公式两数和立方公式两数差立方公式(a+b)(a2一ab+b2)=a3+b3；(a一b)(a2+ab+b2)=a3一b3；(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+be+ac)；(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；(a一b)3=a3一3a2b+3ab2一b3.有兴趣的同学可以自己去证明.我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：(1) 平方差公式(a+b)(a-b)=a2一b2；(2) 完全平方公式(a土b)2=a2土2ab+b2.我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：(1

2、)(2)(3)(4)(5对上面列出的五个公式，例1计算：(X+1)(x一1)(x2一X+1)(x2+X+1).解法:原式=(X2-1)(X2+1)2-X2=X61解法二：原式=(X+1)(x2一X+1)(x一1)(x2+X+1)=(X3+1)(X3一1)因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法.1十字相乘法(2)不论a,b为何实数，a2+b22a一4b+8的值()(A)总是正数(B)总是负数(C)可以是零(D)可以是正数也可以是负数例1分解因式：(1)x23x+2；(3)X2一(a+b)Xy+aby2；(2)x2+4x12；(4)Xy一

3、1+X一y.练习1.填空：117丄1、(1)a2一b2=(b+a)(9423(2)(4m+)2=16m2+4m+(3)(a+2b一e)2=a2+4b2+e2+().2.选择题：(1)若X2+2mX+k是一个完全平方式，则k等于11(A)m2(B)一m2(C)一m243a2+b2+e2=(a+b+e)2一2(ab+be+ae)=8.1(D)16m2已知a+b+e=4,ab+be+ae=4，求a2+b2+e2的值.初中升高中数学教材变化分析解：(1)如图1.1-1,将二次项X2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成一1与一2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为一3x,就是x23x+2中的

4、一次项，所以，有x23x+2(x1)(x2).x2图1.11x图1说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1.来表示(如图1.12所示).(2)ayby1411中的两个x用13)4)由图1.13，得x2+4x12(x2)(x+6).由图1.14，得x2一(a+b)xy+aby2(x-ay)(x-by)xy-1+x-yxy+(xy)1(x1)(y+1)(如图1.15所示)、把下列各式分解因式：(1)x2+5x-6=。2)x2-5x+6=。3)x2+5x+6=。4)x2-5x-6=。5)x2-(a+1)x+a=6)x211x+18=。7)6x2+7x+2=。8)4m2-12m+9=。

5、9)5+7x-6x2=。课堂练习一、填空题：1(10)12x2+xy-6y2二。2、x2一4x+=(x+3)C+)3、若x2+ax+b二Cx+2)C4)贝ya=,b=。二、选择题：(每小题四个答案中只有一个是正确的)1、在多项式(1)x2+7x+6(2)x2+4x+3(3)x2+6x+8(4)x2+7x+10(5)x2+15x+44中，有相同因式的是()A、只有(1)(2)B、只有(3)(4)C、只有(3)(5)D、(1)和(2)；(3)和(4)；(3)和(5)2、分解因式a2+8ab-33b2得()A、(a+11)(a一3)B、(a+11b)(a一3b)c、(a一11b)(a一3b)D、(a

6、一11b)(a+3b)3、(a+b上+8(a+b)-20分解因式得()A、(a+b+10)(a+b2)B、(a+b+5)(a+b4)C、(a+b+2)(a+b10)D、(a+b+4)(a+b5)4、若多项式x2-3x+a可分解为(x-5)(x-b),则a、b的值是()A、a二10，b二2B、a二10，b=-2c、a=-10,b=-2D、a=-10,b二25、若x2+mx-10=(x+a)(x+b)其中a、b为整数，则m的值为()A、3或9b、土3c、土9d、土3或土9三、把下列各式分解因式2初中升高中数学教材变化分析1、6(2p-q-ll(q-2p)+32、a3-5a2b+6ab21、x944

7、、b4-2b2-83、2y2-4y-62提取公因式法例2分解因式：(1) a2(b-5)+a(5-b)(2)x3+9+3x2+3x解：(1).a2(b-5)+a(5-b)=a(b-5)(a-1)(2) x3+9+3x2+3x=(x3+3x2)+(3x+9)=x2(x+3)+3(x+3)=(x+3)(x2+3)或x3+9+3x2+3x=(x3+3x2+3x+1)+8=(x+1)3+8=(x+1)3+2=(x+1)+2(x+1)2-(x+1)X2+22=(x+3)(x2+3)课堂练习：一、填空题：多项式6x2y-2xy2+4xyz中各项的公因式是m(x-y)+n(y-x)=(x-y)m(x一y+n

8、(y一x鸟=(x一ym(x-y-z)+n(y+z-x)=6-y-z)m(x-y-z)-x+y+z=(x-y-z)一13ab2x6一39a3b2x5分解因式得计算992+99=、判断题：(正确的打上“V”错误的打上“X”)1、2、3、45、(6、7)3：公式法例3分解因式：(1)-a4+16(2)(3x+2y)2-(x-y)2解：(1)-a4+16=42-(a2)2=(4+a2)(4-a2)=(4+a2)(2+a)(2-a)(2)(3x+2y)2-(x-y)2=(3x+2y+x-y)(3x+2y-x+y)=(4x+y)(2x+3y)课堂练习一、a2一2ab+b2,a2一b2,a3一b3的公因式是

9、.、判断题：（正确的打上“V”错误的打上“X”）4x2-0.01=-(0.1)2=2x+0.1、13丿2x-0.1、13丿初中升高中数学教材变化分析2、345、)9a2-8b2-(3a)2-(4b)2-(3a+4b)(3a-4b)25a2-16b二(5a+4b)(5a-4b)-x2-y2二-'x2-y2)=-(x+y)(x-y)a2-(b+c=(a+b+c)(a-b+c)五、1、把下列各式分解-9(m-n)2+(m+n)22、3x2-33、4-(x2-4x+2)24、x4-2x2+14分组分解法例4(1)x2-xy+3y-3x(2)2x2+xy-y2-4x+5y-6.(2)2x2+xy

10、-y2-4x+5y-6=2x2+(y-4)x-y2+5y-6=2x2+(y-4)x-(y-2)(y-3)=(2x-y+2)(x+y-3).或2x2+xy-y2-4x+5y-6=(2x2+xy-y2)-(4x-5y)-6=(2x-y)(x+y)-(4x-5y)-6=(2x-y+2)(x+y-3)-课堂练习：用分组分解法分解多项式(1)x2-y2+a2-b2+2ax+2by(2)a2一4ab+4b2一6a+12b+95关于x的二次三项式ax2+bx+c(a0)的因式分解.若关于x的方程ax2+bx+c=0(a丰0)的两个实数根是x、x,则二次三项式ax2+bx+c(a丰0)12就可分解为a(x-x

11、)(x-x)12例5把下列关于x的二次多项式分解因式：(1) x2+2x一1；(2)x2+4xy-4y2.解：(1)令x2+2x1=0，则解得x=-1+<2，x=-1-，12x2+2x1=x(1+x(12)=(x+1-再(x+1+価.(2) 令x2+4xy-4y2=0,则解得x=(-2+22)y,x=(-2-2j2)y,11x2+4xy4y2=x+2(12)yx+2(1+悩2)y.练习1. 选择题：多项式2x2-xy-15y2的一个因式为()10(A)2x-5y(B)x-3y2. 分解因式：(1) x2+6x+8；(3)x22x1；1. 分解因式：(1)a3+1；(3) b2+c2+2a

12、b+2ac+2bc；2. 在实数范围内因式分解：(1)x25x+3；(3)3x2+4xyy2；(C)x+3y(D)x5y(2) 8a3b3；(4) 4(xy+1)+y(y2x).习题1.2(2)4x413x2+9；(4)3x2+5xy一2y2+x+9y一4.(2)x22:2x3；(4)(x22x)27(x22x)+12.3.AABC三边a,b,c满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，试判定AABC的形状.4.分解因式:x2+x(a2a).5.(尝试题)已知abc=l,a+b+c=2,a2+b2+c2=,求一1一ab+c-11+be+a-11ea+b-1的值.3.元二次不等式的解法1、2、兀一

13、次方程、一元二次不等式与二次函数的关系元二次不等式的解法步骤元二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0（a丰0）的解集：设相应的一元二次方程ax2+bx+c二0（a丰0）的两根为x、x且x<x,A=b24ac,则不等式的解1212A>0A二0A<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象y=ax2+bx+cy=a*x2+bx+cp.y=ax2+bx+c0一兀二次方程ax2+bx+c二0（a>0的根有两相异实根x,x(x<x)1212有两相等实根bx=x=122a无实根ax2+bx+c>0:a>0)的解集L<x或x

14、>x12xx.b2aJRax2+bx+c<0(a>0)的解集4x<x<x1200(2)xx2+6<0；(4)x26x+9<0；例1解不等式：(1)x2+2x3<0；(3)4x2+4x+1>0；5)4+xx2<0.的各种情况如下表：例2解关于x的不等式x2xa(a1)>0解：原不等式可以化为：(x+a-1)(x-a)>0若a>-(a-1)即a>2则x>a或xv1-a若a=-(a-1)即a=贝y(x-)2>0x丰,xeR若a<-(a-1)即a<贝0x<a或x>1-a2例3已知不等

15、式ax2+bx+c<0(a丰0)的解是x<2,或x>3求不等式bx2+ax+c>0的解.解：由不等式ax2+bx+c<0(a丰0)的解为x<2,或x>3，可知a<0，且方程ax2+bx+c=0的两根分别为2和3,-=5,ac6=6，abc孑即=-5,=6.aa由于a<0，所以不等式bx2+ax+c>0可变为bcc八x2+x+<0，aa即整理，得5x2+x+6<0,5x2一x一6>0,所以，不等式bx2+ax-c>0的解是x<1,或x>6.说明：本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题.练习1.

16、解下列不等式：1)3x2x4>0；(2)x2x12<0；3)x2+3x4>0；(4)168x+x2<0.2解关于x的不等式x2+2x+1a2<0(a为常数).作业：1.若0<a<1,则不等式(xa)(x丄)<0的解是a1A.a<x<a1B.<x<aaC.x>或x<aD.xv或x>aaa2.如果方程ax2+bx+b=0中，a<0,它的两根x1，x2满足x1<x2,那么不等式ax2+bx+b<0的解是3解下列不等式：1)3x22x+lV0；(2)3x24V0；(4)4x2<0.(5)4

17、+3x2x2±0;(6)9x212x>4;(3) 2xx2>1；4解关于x的不等式x2(1+a)x+aV0(a为常数).5.关于x的不等式ax2+bx+c<0的解为x<一2或x>求关于x的不等式ax2bx+c>0的解.4三角形的“四心”1.“四心”的概念及性质内心：性质：夕卜心：性质：重心：性质：垂心：2.典型例题例1求证：三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.已知D、E、F分别为ABC三边BC、CA、AB的中点，求证AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1.证明连结DE,设AD、BE交于点G,图3.2-3D、E分别

18、为BC、AE的中点，则DE/AB,且DE=1AB,2.GDEGAB，且相似比为1：2,.AG=2GD,BG=2GE.设AD、CF交于点G'，同理可得，AG'=2G'D,CG'=2G'F.则G与G'重合，AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2:1.例2已知ABC的三边长分别为BC=a,AC=b,AB=c,I为ABC的内心，且I在图3AB5的边BC、AC、AB上的射影分别为D、E、F，求证：AE=AF=Wf.证明作AABC的内切圆，则D、E、F分别为内切边上的切点，/AE,AF为圆的从同一点作的两条切线， AE=AF， 同理，BD=BF，CD=CE.:,bca=AF+BFAE+CEBDCD=AF+AE=2AF=2AE即AEAF=b+a.圆在三例3已知求证证明2若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形.O为三角形ABC的重心和内心.三角形ABC为等边三角形.如图，连AO并延长交BC于D.O为三角形的内