二次型及其标准型ppt课件

1、第六章第六章 二次型二次型6.2 化二次型为化二次型为 标准形标准形本节只讨论实数域本节只讨论实数域 上的二次型化为标准形的情况上的二次型化为标准形的情况R实数域实数域 上的二次型称为实二次型上的二次型称为实二次型.R一、用可逆线性替换也称拉格朗日配方）一、用可逆线性替换也称拉格朗日配方） 方法化二次型为标准形方法化二次型为标准形1、预备、预备定理定理6.2：数域：数域 上的任意一个二次型都可经过可上的任意一个二次型都可经过可 逆线性替换化为标准形逆线性替换化为标准形.F注：显然实数域注：显然实数域 上的任意一个二次型都可经过上的任意一个二次型都可经过 可逆线性替换化为标准形可逆线性替换化为标

2、准形.R定理定理6.3：数域：数域 上任意对称矩阵都与一个对角矩上任意对称矩阵都与一个对角矩 阵合同阵合同.F注：显然实数域注：显然实数域 上任意对称矩阵都与一个对角上任意对称矩阵都与一个对角 矩阵合同矩阵合同.R2、用可逆线性替换配方法化二次型为标准形、用可逆线性替换配方法化二次型为标准形 的步骤的步骤若二次型含有若二次型含有 的平方项，则先把含有的平方项，则先把含有 的乘积的乘积 项集中，然后配方，再对其余变量同样进行，直项集中，然后配方，再对其余变量同样进行，直 到都配成平方项为止，经过可逆线性替换，就可到都配成平方项为止，经过可逆线性替换，就可 得到标准形得到标准形.ixix若二次型中

3、不含平方项，但是若二次型中不含平方项，但是 ，则先，则先 作可逆线性替换：作可逆线性替换：)( 0jiaijkkjijjiiuxuuxuux化二次型为含有平方项的二次型，然后再按中化二次型为含有平方项的二次型，然后再按中方法配方方法配方.例例1：用可逆线性替换化下列二次型为标准形：用可逆线性替换化下列二次型为标准形32312123222132162252),(xxxxxxxxxxxxf323121321622),(xxxxxxxxxf二、用正交替换化二次型为标准形二、用正交替换化二次型为标准形1、预备、预备定理定理6.4：实数域：实数域 上的任意一个二次型都可经过可上的任意一个二次型都可经过可

4、 正交替换化为标准形正交替换化为标准形.R2、用正交替换化二次型为标准形的步骤、用正交替换化二次型为标准形的步骤A写出二次型写出二次型 所对应的对称矩阵所对应的对称矩阵 ，求，求 出出 的全部特征值的全部特征值 ；),(21nxxxfAn,21作正交替换作正交替换 ，可得，可得 的标准形的标准形Qyx ),(21nxxxfYYyyyyyyfTnnn222221121),(由于由于 是是 阶的实对称矩阵，求出正交矩阵阶的实对称矩阵，求出正交矩阵 ， 使得：使得： 为对角矩阵为对角矩阵AQQ1AnQ例例2：用正交替换将下列二次型化为标准：用正交替换将下列二次型化为标准形形3221232221321

5、4432),(xxxxxxxxxxf32312123222132184422),(xxxxxxxxxxxxf第六章第六章 二次型二次型6.3 化二次型为化二次型为 规范形规范形本节只讨论实数域本节只讨论实数域 上的二次型化为规范形的情况上的二次型化为规范形的情况R一、二次型的标准形不是唯一的一、二次型的标准形不是唯一的32212322213214432),(xxxxxxxxxxf如：下述二次型如：下述二次型经正交替换经正交替换 ，其中，其中QYX 22121212231Q可使可使 化为标准形：化为标准形：f23222132152),(yyyyyyf经可逆线性替换经可逆线性替换323222113

6、22uuxuxuux可使可使 化为标准形：化为标准形：f2322213213310),(uuuuuuf观察可得：两种标准形中系数不为零的项数是观察可得：两种标准形中系数不为零的项数是 相等的相等的.定理定理6.5：二次型的标准形中系数不为零的平方项的：二次型的标准形中系数不为零的平方项的 个数是唯一确定的个数是唯一确定的.二、实二次型的规范形二、实二次型的规范形1、惯性定理、惯性定理定理定理6.6：任一实二次型：任一实二次型 都可经过可逆线性替换都可经过可逆线性替换 化为规范形，即：化为规范形，即：f22122221rppzzzzzf其中其中 为二次型为二次型 的秩，且规范形是唯的秩，且规范形

7、是唯一的一的.rf注：由于规范形唯一，从而注：由于规范形唯一，从而 是唯一确定的是唯一确定的.r正惯性指数：将实二次型正惯性指数：将实二次型 的规范形中，系数为正的规范形中，系数为正 的平方项个数的平方项个数 称为正惯性指数称为正惯性指数.fp负惯性指数：将实二次型负惯性指数：将实二次型 的规范形中，系数为负的规范形中，系数为负 的平方项个数的平方项个数 称为负惯性指数称为负惯性指数.fpr 符号差：实二次型符号差：实二次型 的规范形中，正惯性指数与负的规范形中，正惯性指数与负 惯性指数的差即为惯性指数的差即为 ） 称为称为 的符号差的符号差.frpprp2)(f推论：实二次形的任一标准形中，

8、系数为正的平方推论：实二次形的任一标准形中，系数为正的平方 项个数唯一确定，等于项个数唯一确定，等于 的正惯性指数，系的正惯性指数，系 数为负的平方项个数也唯一确定，等于数为负的平方项个数也唯一确定，等于 的的 负惯性指数负惯性指数.ff例如：已知一实二次型例如：已知一实二次型32212322213214432),(xxxxxxxxxxf化为规范形是：化为规范形是：232221321),(zzzxxxf于是：二次型于是：二次型 的秩的秩f3r正惯性指数正惯性指数负惯性指数负惯性指数符号差符号差2p1 pr12)(rpprp定理定理6.7：任意实对称矩阵：任意实对称矩阵 与对角矩阵与对角矩阵合同合同. 其中：其中：+1和和-1的个数共有的个数共有 个；个；1的个数由的个数由 唯一确定，称为唯一确定，称为 的正惯性的正惯性指