《数学物理方法》定解问题

1、? ?数学物理方法数学物理方法? ?第九章第九章 定解问题定解问题2l第第9章章 讨论定解问题，是将物理问题转化为数学上的讨论定解问题，是将物理问题转化为数学上的定解问题，即建立有关物理量遵守的泛定方程和定解定解问题，即建立有关物理量遵守的泛定方程和定解条件条件l第第10章章 介绍行波法和平均值法，行波法是先求出偏介绍行波法和平均值法，行波法是先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定定解问题的解；微分方程的通解，然后用定解条件确定定解问题的解；平均值法是将行波法一维的结果推广到三维平均值法是将行波法一维的结果推广到三维l第第11章章 介绍别离变量法，它是先求出具有变量别离形介绍别离变量法，它

2、是先求出具有变量别离形式且满足边界条件的特解，然后将这些特解进行线性式且满足边界条件的特解，然后将这些特解进行线性叠加，最后由其余定解条件求出待定系数而得解叠加，最后由其余定解条件求出待定系数而得解l第第12章章 介绍积分变换法，它是通过方程的积分变换，介绍积分变换法，它是通过方程的积分变换，减少自变量的个数，直至化为常微分方程来求解减少自变量的个数，直至化为常微分方程来求解 59.1 波动问题本节首先介绍支配波动现象的假设干物理定律，随后导出杆的纵振动方程和弦的横振动方程，最后介绍波动问题的定解条件69.1.1 支配波动现象的假设干物理定律支配波动现象的假设干物理定律l设设u(x,t)是杆是

3、杆(或弦或弦)上平衡时坐标为上平衡时坐标为x的点在的点在t时时刻的位移因此，杆刻的位移因此，杆(或弦或弦)上任一小段上任一小段 (x,x+ +dx) 的伸长为的伸长为u(x+ +dx,t)- -u(x,t)，相对伸长，相对伸长为为 本节着重讨论本节着重讨论一维波动现象一维波动现象71.胡克胡克(Hooke)定律定律l在弹性限度内，作用于物体的应力在弹性限度内，作用于物体的应力(单位横截单位横截面上的内力面上的内力)与应变与应变(物体的相对伸长物体的相对伸长)成正比，成正比，即即l比例系数比例系数Y称为杨氏模量称为杨氏模量82.牛顿牛顿(Newton)第二定律第二定律l在惯性参考系中，作用于物体

4、的合外力平比在惯性参考系中，作用于物体的合外力平比于物体动量的时间变化率，即于物体动量的时间变化率，即l对于一维运动对于一维运动, 上式可改写为标量形式上式可改写为标量形式l如果物体的质量如果物体的质量m不随时间变化，动量不随时间变化，动量p=mut中的中的m可提出微商号外由此得可提出微商号外由此得99.1.2 杆的纵振动方程杆的纵振动方程l考虑一均匀细杆沿考虑一均匀细杆沿杆长方向的微小振杆长方向的微小振动，见图动，见图9.1.现在寻现在寻找细杆上各点的运找细杆上各点的运动规律动规律l为此，研究杆的一小段为此，研究杆的一小段(x,x+dx)与外界的相互与外界的相互作用来建立方程由于小段两侧都受

5、到应力作用来建立方程由于小段两侧都受到应力的作用，根据胡克足律，作用于该小段的合的作用，根据胡克足律，作用于该小段的合外力为外力为1011l设细杆的密度为设细杆的密度为r,那么那么(x,x+dx)小段的质量为小段的质量为lm=rdV=rSdx (9.1.6)l将式将式(9.1.5)和式和式(9.1.6)代入牛顿定律，即有代入牛顿定律，即有l (9.1.7) l引入常数，并采用简写记号引入常数，并采用简写记号l那么上式可简写为那么上式可简写为l utt-a2uxx = 0 (9.1.8)l这是细杆作自由振动时各点的运动规律，称这是细杆作自由振动时各点的运动规律，称为杆的纵振动方程，又称一维波动方

6、程为杆的纵振动方程，又称一维波动方程129.1.3 弦的横振动方程弦的横振动方程l考虑一均匀柔软的细弦沿考虑一均匀柔软的细弦沿x轴绷紧，在平衡位置附轴绷紧，在平衡位置附近产生振幅极小的横振动，如图近产生振幅极小的横振动，如图9. 2所示设所示设u(x,t)是平衡时坐标为是平衡时坐标为x的点在的点在t 时刻沿时刻沿y方向的位移方向的位移(为为了绘图方便，图中夸大了这个位移了绘图方便，图中夸大了这个位移)，现在求细弦，现在求细弦上各点的运动规律上各点的运动规律l同样，研究一小段同样，研究一小段(x, x+dx)与外界的相互作用来建立与外界的相互作用来建立方程方程l为简单起见，我们作出如为简单起见，

7、我们作出如下简化假设：下简化假设：13弦横振动方程推导的简化假设弦横振动方程推导的简化假设l(1)、弦是柔软的，弦上的任一点的张力沿弦、弦是柔软的，弦上的任一点的张力沿弦的切线方向的切线方向l(2)、由于振动的振幅是极小的，因此张力与、由于振动的振幅是极小的，因此张力与水平方向的夹角水平方向的夹角a a1与与a a2也很小，仅考虑也很小，仅考虑a a1与与a a2的一阶小量，略去二阶小量，即的一阶小量，略去二阶小量，即14由此可见，在整个振动过程中，弦的长度也近由此可见，在整个振动过程中，弦的长度也近似不变：似不变：由胡克定律可知，弦上各点的张力与时间无关由胡克定律可知，弦上各点的张力与时间无

8、关l(3)弦的质量与张力相比很小，可忽略不计弦的质量与张力相比很小，可忽略不计l这样，应用牛顿第二定律于水平方向，可以这样，应用牛顿第二定律于水平方向，可以证明张力与证明张力与x无关实际上，既然弦只作横振无关实际上，既然弦只作横振动，故弦沿水平方向的加速度为零，牛顿第动，故弦沿水平方向的加速度为零，牛顿第二定律在水平方向的投影为二定律在水平方向的投影为 T(x+dx)cosa a1x T(x)cosa a20l将将cosa a1x及及cosa a2代入，便有代入，便有 T(x+dx)T(x) ()15l应用牛顿第二定律于竖直方向，可以得到弦振动方应用牛顿第二定律于竖直方向，可以得到弦振动方程，

9、设程，设r r为为单位长度弦的质量，单位长度弦的质量，F(x, t)为单位长度弦为单位长度弦所受的强迫力牛顿第二定律在竖直方向的投影为所受的强迫力牛顿第二定律在竖直方向的投影为l利用第利用第2个简化假设及个简化假设及tana a是曲线的斜率，因而是曲线的斜率，因而 l将上两式代入式将上两式代入式(9.1.10)，得，得16l这就是当弦在强迫力作用下各点的运动方程，这就是当弦在强迫力作用下各点的运动方程，称为弦的强迫振动方程称为弦的强迫振动方程 。17utt a2uxx f(x) (9.1.12)l假设弦不受外力作用，即假设弦不受外力作用，即F(x)0, 那么式那么式(9.1.12)化为化为lu

10、tt a2uxx 0 (9.1.13)l这就是弦的横振动方程，又称为一维波动方这就是弦的横振动方程，又称为一维波动方程程18l上述讨论说明，一个是杆，一个是弦；一个上述讨论说明，一个是杆，一个是弦；一个是纵振动，一个是横振动；但它们遵守完全是纵振动，一个是横振动；但它们遵守完全相同的运动方程相同的运动方程波动方程；波动方程；l这两个例子都属于一维空间的机械运动实这两个例子都属于一维空间的机械运动实际上，二维空间、三维空间的机械运动将遵际上，二维空间、三维空间的机械运动将遵守二维、三维的波动方程；守二维、三维的波动方程；l而且，声波的传播，电磁场的运动这些物理而且，声波的传播，电磁场的运动这些物

11、理本质完全不同的过程也都遵守三维波动方程；本质完全不同的过程也都遵守三维波动方程；19l前面已指出，为了完全弄清楚一个物理过程，前面已指出，为了完全弄清楚一个物理过程，还要给出定解条件还要给出定解条件209.1.4 波动问题的定解条件波动问题的定解条件1.初始条件初始条件l初始条件初始条件: 描述所研究系统的初始状态。描述所研究系统的初始状态。l由于波动方程含有由于波动方程含有对时间对时间的的二阶偏导数二阶偏导数，因，因此，要给出此，要给出两个初始条件两个初始条件即要给出系统各即要给出系统各点的初位移和初速度点的初位移和初速度u(x,0) j j (x,0) (9.1.14) ut(x,0)

12、y y (x,0) (9.1.15)21【9.1.1】一根长为一根长为l , 两端固定的弦，用手把它两端固定的弦，用手把它的中点横向拉开距离的中点横向拉开距离b(图图9.3), 然后放手任其自然后放手任其自由振动由振动, 写出它的初始条件写出它的初始条件l解解 t = 0时，各点的位移时，各点的位移由图中折线确定；由图中折线确定； t = 0时，即放手那一瞬间各时，即放手那一瞬间各点的速度为零，故点的速度为零，故22l边界条件描述系统在边界上的状况，从数边界条件描述系统在边界上的状况，从数学上归结为三类边界条件学上归结为三类边界条件(1)、第一类边界条件：、第一类边界条件：给出未知函数给出未知

13、函数u在在边界上的值边界上的值 如在弦的横振动中，弦的两端固定，其边如在弦的横振动中，弦的两端固定，其边界条件为界条件为 u(0, t)0 (9.1.16) u (l, t)0 (9.1.17)23(2)、第二类边界条件：、第二类边界条件：给定未知函数给定未知函数u在边界在边界上的法向导数值上的法向导数值 如杆在如杆在x=0端固定，在端固定，在x=l端受外力端受外力F(t)的作用的作用(图图9.4)，其边界条件为，其边界条件为 u(0, t) 0 (第一类第一类)； ux(l, t) (第二类第二类)24l证明证明 考虑细杆考虑细杆x = l端的一小段端的一小段( l-e, l)，由牛，由牛顿

14、第二定律，胡克定律及顿第二定律，胡克定律及 m = reS 可得可得l mutt=F(t) -SP(l-e,t)l即即 reSutt=F(t) -SYux(l-e,t)l令令e0，因，因utt有限，故等式左端为零因而有限，故等式左端为零因而0=F(t) -SYux(l,t) ，即，即l假设端点自由假设端点自由(既不固定，又不受既不固定，又不受F(t)作用作用)，将将F(t) =0代入上式，仍得第二类边界条件代入上式，仍得第二类边界条件lux(l, t) 0 (9.1.19)25(3)第三类边界条件：第三类边界条件：l给出边界上给出边界上u及其法向导数及其法向导数ux之间的线性关系之间的线性关系

15、如杆在如杆在x=0端固定，在端固定，在 x=l 端受弹性系数为端受弹性系数为k的弹簧的拉力的弹簧的拉力(图图9.5)，其边界条件为，其边界条件为 u(0, t) = 0 (第一类第一类)ux(l,t)+hu(l, t) = 0 (第三类第三类) 26 u(0, t) = 0 (第一类第一类)ux(l,t)+hu(l, t) = 0 (第三类第三类) l证明证明 将将F(t) = ku(l, t) 代入式代入式(9.1.8)，得，得273.街接条件街接条件l在研究具有不同介质的问题中，在不同介质在研究具有不同介质的问题中，在不同介质的分界面处有衔接条件例如，在用两根不的分界面处有衔接条件例如，在

16、用两根不同介质的杆连接成一根杆的纵振动问题中，同介质的杆连接成一根杆的纵振动问题中，在连接处的位移相等，应力也相等因此在在连接处的位移相等，应力也相等因此在连接点连接点x=x0处有下述衔接条件处有下述衔接条件l其中其中u1(l,t)和和u2(l,t)分别代表两根不同介质的分别代表两根不同介质的杆的位移，杆的位移，Y1和和Y2分别是它们的杨氏模量分别是它们的杨氏模量28l 除了上述三种定解条件之外，还有除了上述三种定解条件之外，还有l有限性条件、有限性条件、l周期性条件等周期性条件等l后两者在稳定场问题中用得比较多，在后两者在稳定场问题中用得比较多，在节将作更详尽的介绍节将作更详尽的介绍 29l

17、【例例9.1.2】长为长为 l 的弦两端固定，线密度为的弦两端固定，线密度为r r，开始时在开始时在|x- -c|e e处受到冲量处受到冲量I的作用。的作用。l写出定解条件。写出定解条件。l解解 (1) 初始条件初始条件初位移初位移t=0时弦来不及振动，故时弦来不及振动，故u(x,0) =0.初速度初速度 在在 |x- -c|e e 段，由动量定律段，由动量定律 而动量的变化为而动量的变化为 两式联立，即有两式联立，即有 30在在 |x- -c|0)q-k-ku (9.2.1)l热流强度热流强度q的大小是单位时间内垂直通过等温的大小是单位时间内垂直通过等温面单位面积的热量，即面单位面积的热量，

18、即lq的方向是等温面的法线方向的方向是等温面的法线方向(由高温指向低由高温指向低温温)34 2. 能量守恒与转化定律能量守恒与转化定律l自然界一切物体都具有能量，能量有各种不自然界一切物体都具有能量，能量有各种不同形式，它能从一种形式转化为另一种形式，同形式，它能从一种形式转化为另一种形式，从一个物体传递给另一个物体，在转化和传从一个物体传递给另一个物体，在转化和传递的过程中能量的数量保持不变。递的过程中能量的数量保持不变。353. 牛顿冷却定律牛顿冷却定律l单位时间从物体内部通过单位外表积流到周单位时间从物体内部通过单位外表积流到周围介质的热量，跟物体外表与外界的温差成围介质的热量，跟物体外

19、表与外界的温差成正比，即正比，即lq(S,t)Hu(x, y, z, t)|s-u1 (9.2.2)l式中式中H0是热交换系数，是热交换系数，u1是周围介质的温是周围介质的温度度364. 斯特藩斯特藩-玻尔兹曼玻尔兹曼(Stefan-Boltzmann)定律定律l假设物体外表的绝对温度为假设物体外表的绝对温度为u,那么它在那么它在dt时时间内通过间内通过dS面向外辐射的热量为面向外辐射的热量为ldQsu4dSdt (9.2.3)l式中式中s 为斯特藩为斯特藩-玻尔兹曼常量玻尔兹曼常量379.2.2 热传导方程热传导方程l考察介质中任一小体积考察介质中任一小体积D DV，其边界面为，其边界面为S

20、，介质的比热为介质的比热为c，质量密度为，质量密度为r r介质中的热源介质中的热源,在单位时间、单位体积中放出的热量用热源在单位时间、单位体积中放出的热量用热源密度密度F(x,y,z,t)表示表示l现在求现在求t 时刻介质内各点温度时刻介质内各点温度 u(x,y,z,t) 应遵守应遵守的规律的规律l首先，位于首先，位于D DV内的介质吸收的热量来自热传内的介质吸收的热量来自热传导和热源导和热源38根据傅里叶定律，单位时间流入根据傅里叶定律，单位时间流入D DV的总的总热量为热量为(参看附录参看附录A)l单位时间内，在体积单位时间内，在体积D DV中热源释放的热量为中热源释放的热量为l单位时间内

21、，在体积单位时间内，在体积D DV中介质温度升高所需中介质温度升高所需要的热量是要的热量是(9.2.4)39由能量守恒定律可知由能量守恒定律可知Q3=Q1Q2，即，即l由于由于D DV是任意的，故有是任意的，故有l假设介质均匀假设介质均匀(k为常数为常数), 可提到微分算符之外，可提到微分算符之外，引入引入 ， 那么式那么式(9.2.7)可简写可简写为为l这就是非齐次热传导方程，它给出介质中各这就是非齐次热传导方程，它给出介质中各点温度点温度u(x,y,z,t)所遵守的规律。所遵守的规律。40l非齐次热传导方程中，如果在非齐次热传导方程中，如果在DV内没有热源，内没有热源，即热源密度即热源密度

22、 f(x,y,z,t) = 0,l那么得齐次热传导方程那么得齐次热传导方程l ut(x,y,z,t) = a22u(x,y,z,t) (9.2.9)41l扩散方程具有相同的形式，见习题扩散方程具有相同的形式，见习题l尽管热传导现象与扩散现象的物理本质不同，尽管热传导现象与扩散现象的物理本质不同，一个是热量的传递，一个是粒子的运动，但一个是热量的传递，一个是粒子的运动，但它们都满足同一偏微分方程，都遵守输运过它们都满足同一偏微分方程，都遵守输运过程的共同规律程的共同规律 。42l【例例9.2.1】匀质导线的横截面积为匀质导线的横截面积为S，电阻率为，电阻率为h h，通有均匀分布的直流电电流密度为

23、通有均匀分布的直流电电流密度为j，试导出导线内，试导出导线内的热传导方程。的热传导方程。l解解 首先计算位于首先计算位于(x,x+dx)的小体积元在的小体积元在dt时间内净时间内净增加的热量根据傅里叶定律，在增加的热量根据傅里叶定律，在dt时间内，由左时间内，由左边通过边通过x横截面沿横截面沿ex方向方向流入流入dV的热量是的热量是l从右边通过从右边通过x+dx截面截面流出流出dV的热量是的热量是(图图9. 6) - -kux(x+dx,t)Sdt43故在故在dt时间内流入时间内流入dV的净热量为的净热量为l 根据焦耳一楞次根据焦耳一楞次(Joule-Lenz)定律，电流定律，电流I在在电阻为

24、电阻为R的导线上产生的焦耳热为的导线上产生的焦耳热为Q=I2Rt.因因此，在此，在dt时间内，电流密度时间内，电流密度j在电阻率为小体在电阻率为小体积为积为dV=Sdx的导线中产生的焦耳热为的导线中产生的焦耳热为?44l根据能量守恒定律，流入根据能量守恒定律，流入dV中的净热量中的净热量Q：与热源在与热源在dV中产生的热量之和等于体积元中产生的热量之和等于体积元dV内导体温度升高内导体温度升高du所需要的热量所需要的热量cr rdVdu,其中其中c为导体的比热为导体的比热, r r为导体的密度，因此为导体的密度，因此l整理后可得整理后可得l这就是导线内的热传导方程这就是导线内的热传导方程459

25、.2.3 热传导问题的定解条件热传导问题的定解条件l 1.初始条件初始条件l热传导方程含有对时间的一阶偏导数，故只热传导方程含有对时间的一阶偏导数，故只要一个初始条件要一个初始条件-初始时刻的温度分布初始时刻的温度分布u(x,y,z,t)|t=0=j j (x,y,z) (9.2.10)46(1) 第一类边界条件：给定温度在边界上的值第一类边界条件：给定温度在边界上的值在一维问题中，假设导热杆在在一维问题中，假设导热杆在x=0端保持为零端保持为零度，度，x=l端保持为端保持为T度，那么有度，那么有u(0,t) 0，u(l,t)T (9. 2. 11)在三维问题中，给定区域在三维问题中，给定区域

26、V的边界面的边界面S上的温度上的温度分布为分布为j (x,y,z, t)，那么，那么u(x,y,z,t)|S=j (x,y,z,t) (9.2.12)47(2) 第二类边界条件：给定温度在边界上的法第二类边界条件：给定温度在边界上的法向导数值向导数值l设单位时间内通过边界面单位面积沿外法线方向流设单位时间内通过边界面单位面积沿外法线方向流出的热量为出的热量为q(t).l在一维问题中，在导热杆的两端取在一维问题中，在导热杆的两端取0,e或或l-e,l)薄层当薄层当e0时，薄层介层的质量和热容量趋于零，时，薄层介层的质量和热容量趋于零，薄层介质升温所需要的热量也就趋于零；根据能量薄层介质升温所需要

27、的热量也就趋于零；根据能量守恒定律，从边界面守恒定律，从边界面x=0(x=l)流出的热量应等于通流出的热量应等于通过过x=e面面(或或x=l-e面面)流入薄层的热量流入薄层的热量l因此，可以根据傅里叶定律因此，可以根据傅里叶定律(q=-ku)计算从边界流计算从边界流出的热量出的热量48首先，在首先，在x=0处，在边界面单位面积上单位时处，在边界面单位面积上单位时间沿边界外法线间沿边界外法线(- -ex)方向流出的热量为方向流出的热量为l这说明，假设这说明，假设ux(0,t)0，即，即x=0处温度随处温度随x增增大而增大时，那么杆通过大而增大时，那么杆通过x=0面流出的热量面流出的热量q(0,t

28、)0；反之亦然；反之亦然l式式(9.2. 13)可改写为可改写为x=0端的边界条件端的边界条件49其次，在其次，在x=l处，在边界面单位面积上，单位处，在边界面单位面积上，单位时间沿界面外法线方向时间沿界面外法线方向ex流出的热量为流出的热量为l由此得由此得x=l端的边界条件端的边界条件l注意注意x=0与与x=l处边界面外法线方向相反，使处边界面外法线方向相反，使式式(9.2.14)与式与式(9.2.16)相差一负号相差一负号50在三维问题中；设在三维问题中；设n为边界面为边界面S的外法线方向，在边界的外法线方向，在边界面单位面积上单位时间沿外法线方向面单位面积上单位时间沿外法线方向n流出的热

29、量为流出的热量为l如果边界绝热，那么式如果边界绝热，那么式9.2.14)，式，式9.2. 16)和式和式9.2.18)分别改写为分别改写为 51(3) 第三类边界条件：给定边界温度与边界温第三类边界条件：给定边界温度与边界温度法向导数的线性关系度法向导数的线性关系l根据能量守恒定律，略去边界薄层温升所需根据能量守恒定律，略去边界薄层温升所需热量将式热量将式(9. 2. 2 )与式与式(9. 2. 17)联立，即有联立，即有l令令h=H/k，那么有，那么有l一维的情形为注意，在一维的情形为注意，在x=0处，处，ex为边界面为边界面的内法线方向，故的内法线方向，故un = - ux)52作业作业-

30、 9.2 第第193页页1组组2组组3组组9.2.19.2.59.2.19.2.39.2.29.2.453 9.3 稳定场问题最常见的稳定场问题是静电场问题和稳定温度场问题我们着重讨论静电场问题，即给定电荷分布、介质分布和边界条件，求静电场分布本节首先介绍支配静电场的假设干物理定律，随后导出静电场的泊松(Poisson)方程与拉普拉斯(Laplace)方程，最后介绍静电场的定解条件549.3.1 支配静电现象的假设干物理规律支配静电现象的假设干物理规律l在介电常数为在介电常数为e的介质中，电荷分布为的介质中，电荷分布为r(x,y,z)，那么静电场的场强那么静电场的场强E(x,y,z)遵守方程：

31、遵守方程：l1.电场的散度方程电场的散度方程l证明证明 电磁学已证明了高斯定理电磁学已证明了高斯定理l将面积分换成体积分，可得将面积分换成体积分，可得l由体积由体积V的任意性可得，的任意性可得， 即静电场是有源场即静电场是有源场55l证明证明 当电荷在静电场中沿闭合回路走一圈，当电荷在静电场中沿闭合回路走一圈，静电场对电荷没做功，即静电场对电荷没做功，即l 将线积分换成面积分，可得将线积分换成面积分，可得l由面积由面积S的任意性可得的任意性可得X XE=0，即静电场是，即静电场是无旋场无旋场56l式中式中D=e eE为电位移矢量，为电位移矢量，q为高斯面为高斯面S内内的自由电荷总电量的自由电荷

32、总电量579.3.2 泊松方程与拉普拉斯方程泊松方程与拉普拉斯方程l由于静电场是无旋场，利用由于静电场是无旋场，利用Xu=0,可引入静电可引入静电势势u表示静电场表示静电场lE=-u (9.3.8)l将式将式(9.3.8)代入式代入式(9.3.1)，即得静电势满足的泊松方，即得静电势满足的泊松方程程l2u = -rf/e 9.3.9)l在没有电荷分布的地方，将在没有电荷分布的地方，将rf (x,y,z)=0代入，即得代入，即得拉普拉斯方程拉普拉斯方程l2u = 09.3.10)l稳定温度场遵守泊松方程，在没有热源的地方，遵稳定温度场遵守泊松方程，在没有热源的地方，遵守拉普拉斯方程，见习题。守拉

33、普拉斯方程，见习题。589.3.3 稳定场问题的定解条件稳定场问题的定解条件l 拉普拉斯方程和泊松方程不含对时间导数项，拉普拉斯方程和泊松方程不含对时间导数项，故稳定场问题的定解条件不含初始条件，只故稳定场问题的定解条件不含初始条件，只含边界条件或其他条件含边界条件或其他条件1边界条件边界条件l和前两节相同，共分三类第一、二、三类和前两节相同，共分三类第一、二、三类边界条件也是分别给出边界上未知数值，未边界条件也是分别给出边界上未知数值，未知函数的法向导数值或两者的线性关系，如知函数的法向导数值或两者的线性关系，如表表9-1所示所示 5960l在两种介质的分界面上，静电场电势在两种介质的分界面

34、上，静电场电势u的边值关的边值关系为系为l其中其中u1 , u2与与e e 1 , e e 2 分别为界分别为界面两侧介质的电势和介电常面两侧介质的电势和介电常数数, n是界面上由介质是界面上由介质1指向介指向介质质2的法向单位矢量，的法向单位矢量，s s是界是界面上的自由电荷面密度面上的自由电荷面密度61证明证明l(1) 设设P1与与P2分别是介质分别是介质1与介质边界两侧无限靠近的与介质边界两侧无限靠近的两点两点(图图9. 7)，两点间距离，两点间距离，l上式的上式的En可理解为电场强度在可理解为电场强度在P1P2上法向分量的平上法向分量的平均值均值. 考虑到考虑到En为有限量，当为有限量

35、，当D Dn 0时，上式必为零时，上式必为零. 故故u1= u2 ，这就是式，这就是式(9.3.11)62(2) 有介质时的高斯定理为有介质时的高斯定理为l现在取高斯面为边界现在取高斯面为边界上的一个扁平盒上的一个扁平盒(图图9.8),盒的上、下底平盒的上、下底平行于介质行于介质1、2分界面分界面的小面元的小面元Sl盒的高为盒的高为Dh，且，且Dh相对相对DS的线度是高级小的线度是高级小量因此，计算通过盒外表的电位移通量时量因此，计算通过盒外表的电位移通量时略去通过侧面的通量由此得略去通过侧面的通量由此得63利用面电荷密度的利用面电荷密度的 定义，可得定义，可得l将将D = e eE = -

36、- u 代入上式，即有代入上式，即有 l这就是式这就是式(9.3.12)(见附录见附录A)64在导体与介质分界面上电势在导体与介质分界面上电势u的边值关系为的边值关系为 u1 = u2 其中其中u1为导体的电势，为导体的电势，u2为绝缘介质的电势，为绝缘介质的电势，Qf为封闭面为封闭面S所包围的电量的代数和所包围的电量的代数和 由于导体是等势体，由于导体是等势体， 代入式代入式(9.3.12)可得式可得式(9.3.14).在式在式(9.3.14)的两的两边作面积分即得式边作面积分即得式(9.3.15) 65l3.有限性条件有限性条件 例如：例如：u在静电场中常利用在坐标原点电势有在静电场中常利

37、用在坐标原点电势有限的条件限的条件(当原点无点电荷时当原点无点电荷时)；u勒朗德方程的解在勒朗德方程的解在(+/-1)处有限的条处有限的条件。件。66l 4.周期性条件周期性条件u 由于物理量在同一点在同一时刻有确定值，由于物理量在同一点在同一时刻有确定值，在采用球坐标系在采用球坐标系(或柱坐标系或柱坐标系)时，就必然导时，就必然导致周期性条件；致周期性条件；u因为因为(r, q, j+2p, q, j+2p)与与(r, q, j, q, j)均表示空间同一均表示空间同一点，由电势的唯一性可得点，由电势的唯一性可得 u (r, q, j+2p, q, j+2p) = u (r, q, j, q

38、, j)u这就是周期性条件这就是周期性条件67l以上以静电场为例，列举了电势的一些定以上以静电场为例，列举了电势的一些定解条件，在其他问题中也会有类似的定解解条件，在其他问题中也会有类似的定解条件，在学习有关学科时将会具体给出。条件，在学习有关学科时将会具体给出。68【例【例9.3.1】在均匀外电场】在均匀外电场E0中置入半径为中置入半径为R0的导的导体球，假设导体球接有电池，使球与地保持电体球，假设导体球接有电池，使球与地保持电势差势差u0。试写出电势。试写出电势u满足的泛定方程与定解满足的泛定方程与定解条件条件设导体置入前球心位置的电势设导体置入前球心位置的电势u(0)=069l解解 选选

39、z轴沿均匀外电场轴沿均匀外电场E0的方向，见图的方向，见图9. 9.设设球内外电势分别用球内外电势分别用u1表示表示(1) 泛定方程因为除球面上泛定方程因为除球面上(R=R0)有自由电荷有自由电荷分布外，球内外的分布外，球内外的r rf=0，故，故 2 2u1 = 0 R R0 (9.3.17)70(2) 定解条件定解条件l 因为导体外表有限的电荷分布对无穷远处因为导体外表有限的电荷分布对无穷远处电势的奉献可以忽略不计，故无穷远处的电电势的奉献可以忽略不计，故无穷远处的电势与导体置入前相同势与导体置入前相同l当导体球不存在时，由矢量分析可知当导体球不存在时，由矢量分析可知 l现在计算上式从现在

40、计算上式从R=0到到的积分，由于在静电的积分，由于在静电场中，上式的积分与积分的路线无关，故可场中，上式的积分与积分的路线无关，故可取积分路线为直线，如图取积分路线为直线，如图9. 9(b)所示将所示将E0cosq作为常数提出积分号外，并将作为常数提出积分号外，并将u(0)=0代入，便有代入，便有71(2) 定解条件定解条件l球面上电势连续，即球面上电势连续，即lu1(R0) u2(R0) u0 (9.3.20)l因为此题比较简单，有些条件因为此题比较简单，有些条件(如周期性条件如周期性条件等等)不需要列出也可求出结果，就不用列出了。不需要列出也可求出结果，就不用列出了。72作业作业- 9.3

41、 第第197页页1组组2组组3组组9.3.29.3.39.3.4739.4 定解问题小结本节先对定解问题作一小结；随后介绍定解问题的适定性；最后提出求解定解问题的五种常用方法。749.4.1 定解问题小结定解问题小结l科学技术中大量的物理问题，是要研究物理量科学技术中大量的物理问题，是要研究物理量(如位移、温度、浓度、电势等如位移、温度、浓度、电势等)在空间各点随在空间各点随时间变化的规律。为此要建立一个数学模型：时间变化的规律。为此要建立一个数学模型：u一方面要用数学语言描述该物理量的变化规律一方面要用数学语言描述该物理量的变化规律(通常是偏微分方程，称为通常是偏微分方程，称为泛定方程泛定方

42、程)；u另一方面要描述该物理量在研究区域边界上和另一方面要描述该物理量在研究区域边界上和初始时刻的情形初始时刻的情形(即边界条件和初始条件即边界条件和初始条件, 合称合称定解条件定解条件)；u泛定方程泛定方程和和定解条件定解条件就就构成构成了了定解问题定解问题75现在评述一下前面三节的主要结果现在评述一下前面三节的主要结果l1三类典型方程三类典型方程n波动方程波动方程n输运方程输运方程n稳定场方程稳定场方程l从数学观点看，它们正好是二阶线性偏微从数学观点看，它们正好是二阶线性偏微分方程的三类典型方程：双曲型方程、抛分方程的三类典型方程：双曲型方程、抛物型方程以及椭圆型方程。物型方程以及椭圆型方

43、程。76 从物理观点看，它们反映三类不同本质的物从物理观点看，它们反映三类不同本质的物理现象，正好是对时间理现象，正好是对时间 可逆过程可逆过程(波动过程波动过程) 不可逆过程不可逆过程(输运过程输运过程) 与时间无关的过程与时间无关的过程(稳定过程稳定过程)。 这只要在方程中用这只要在方程中用-t代替代替t后，视方程是否不后，视方程是否不变便可知道变便可知道 假设假设0称为非齐次方程称为非齐次方程(有源有源)，假设，假设f = 0称为齐次方程称为齐次方程(无源无源)。772. 三类方程对初始条件的要求三类方程对初始条件的要求l波动方程含有对时间的二阶偏导，故要求波动方程含有对时间的二阶偏导，

44、故要求两个初始条件，即要给出两个初始条件，即要给出ut(x,y,z,0) 及及u(x,y,z,0)的值；的值；l输运方程含有对时间的一阶偏导，故要求输运方程含有对时间的一阶偏导，故要求一个初始条件，即要给出一个初始条件，即要给出u(x,y,z,0)的值；的值；l稳定场方一程与时间无关，不需要初始条稳定场方一程与时间无关，不需要初始条件。件。783. 三类边界条件三类边界条件无论波动过程、输运过程、稳定过程都有三类边无论波动过程、输运过程、稳定过程都有三类边界条件。界条件。第一类边界条件第一类边界条件第二类边界条件第二类边界条件第三类边界条件第三类边界条件假设假设(x, y, z, t)0，称为非齐次边界条件；，称为非齐