2022届上海市高三第二次联考数学试卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷请考生注意：1请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用05毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2答题前，认真阅读答题纸上的注意事项，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1公差不为零的等差数列an中，a1+a2+a5=13，且a1、a2、a5成等比数列，则数列an的公差等于( )A1B2C3D42已知是函数的极大值点，则的取值范围是ABCD3在明代程大位所著的算法统宗中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷

2、吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样马吃了牛的一半，羊吃了马的一半”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ）ABCD4如图是函数在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将的图象上的所有的点( )A向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变B向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐

3、标不变C向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变D向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变5已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，以（为坐标原点）为直径的圆交双曲线于两点，若直线与圆相切，则该双曲线的离心率为（ ）ABCD6某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（ ）A方差B中位数C众数D平均数7已知向量，则向量在向量方向上的投影为（ ）ABCD8已知全集U=x|x24,xZ，A=1,2，则CUA=（ ）A-1B-1,0C-2,-1,0D-2,-1,0,

4、1,29已知双曲线的左、右焦点分别为，圆与双曲线在第一象限内的交点为M，若则该双曲线的离心率为A2B3CD10已知等比数列满足，等差数列中，为数列的前项和，则（ ）A36B72CD11复数的共轭复数在复平面内所对应的点位于( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限12我国古代数学名著九章算术有一问题：“今有鳖臑(bi na)，下广五尺，无袤；上袤四尺，无广；高七尺.问积几何？”该几何体的三视图如图所示，则此几何体外接球的表面积为( )A平方尺B平方尺C平方尺D平方尺二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13在正方体中，已知点在直线上运动，则下列四个命题中：三棱锥的体积不变；当为中

5、点时，二面角 的余弦值为；若正方体的棱长为2，则的最小值为；其中说法正确的是_（写出所有说法正确的编号）14已知“在中，”，类比以上正弦定理，“在三棱锥中，侧棱与平面所成的角为、与平面所成的角为，则_15在中，则绕所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为_.16平面向量与的夹角为，则_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若的解集包含，求的取值范围.18（12分）已知椭圆（）的离心率为，且经过点.（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线与椭圆交于不同的两点，试问在轴上是否存在定点使得直线与直线恰关于轴对称？若存在，求

6、出点的坐标；若不存在，说明理由.19（12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，其短半轴长为1，一个焦点坐标为，点在椭圆上，点在直线上，且（1）证明：直线与圆相切；（2）设与椭圆的另一个交点为，当的面积最小时，求的长20（12分）在中，角所对的边分别为，若，且.（1）求角的值；（2）求的最大值.21（12分）某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参与问卷调查的100人的得分（满分：100分）数据，统计结果如表所示：组别男235151812女051010713 (1)若规定问卷得分不低于70分的市民称为“环保关注者”，请完成答题卡中的列

7、联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为是否为“环保关注者”与性别有关？(2)若问卷得分不低于80分的人称为“环保达人”视频率为概率在我市所有“环保达人”中，随机抽取3人，求抽取的3人中，既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率；为了鼓励市民关注环保，针对此次的调查制定了如下奖励方案：“环保达人”获得两次抽奖活动；其他参与的市民获得一次抽奖活动每次抽奖获得红包的金额和对应的概率.如下表：红包金额（单位：元）1020概率现某市民要参加此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参加间卷调查获得的红包金额，求的分布列及数学期望附表及公式：0.150.100.050.0250.0100.0

8、050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822（10分）追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数（）的检测数据，结果统计如下：空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染天数61418272510（1）从空气质量指数属于，的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；（2）已知某企业每天的经济损失（单位：元）与空气质量指数的关系式为，试估计该企业一个月（按30天计算）的经济损失的数学期望.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

9、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1B【解析】设数列的公差为.由，成等比数列，列关于的方程组，即求公差.【详解】设数列的公差为，.成等比数列，解可得.故选：.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题.2B【解析】方法一：令，则，当，时，单调递减，时，且，即在上单调递增，时，且，即在上单调递减，是函数的极大值点，满足题意；当时，存在使得，即，又在上单调递减，时，所以，这与是函数的极大值点矛盾综上，故选B方法二：依据极值的定义，要使是函数的极大值点，须在的左侧附近，即；在的右侧附近，即易知，时，与相切于原点，所以根据与的图象关系，可得，故选B3D【解析】设羊户赔粮升,马户

10、赔粮升,牛户赔粮升,易知成等比数列,结合等比数列的性质可求出答案.【详解】设羊户赔粮升,马户赔粮升,牛户赔粮升,则成等比数列,且公比,则,故,.故选:D.【点睛】本题考查数列与数学文化,考查了等比数列的性质,考查了学生的运算求解能力,属于基础题.4A【解析】由函数的最大值求出，根据周期求出，由五点画法中的点坐标求出，进而求出的解析式，与对比结合坐标变换关系，即可求出结论.【详解】由图可知，又，又，为了得到这个函数的图象，只需将的图象上的所有向左平移个长度单位，得到的图象，再将的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）即可.故选:A【点睛】本题考查函数的图象求解析式，考查函数图象间的变换关系，

11、属于中档题.5D【解析】连接，可得，在中，由余弦定理得，结合双曲线的定义，即得解.【详解】连接，则，所以，在中，故在中，由余弦定理可得. 根据双曲线的定义，得，所以双曲线的离心率故选：D【点睛】本题考查了双曲线的性质及双曲线的离心率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.6A【解析】通过方差公式分析可知方差没有改变，中位数、众数和平均数都发生了改变.【详解】由题可知，中位数和众数、平均数都有变化.本次和上次的月考成绩相比，成绩和平均数都增加了50，所以没有改变，根据方差公式可知方差不变.故选：A【点睛】本题主要考查样本的数字特征，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7A【

12、解析】投影即为，利用数量积运算即可得到结论.【详解】设向量与向量的夹角为，由题意，得，所以，向量在向量方向上的投影为.故选：A.【点睛】本题主要考察了向量的数量积运算，难度不大，属于基础题.8C【解析】先求出集合U，再根据补集的定义求出结果即可【详解】由题意得U=x|x24,xZ=x|-2x2,xZ=-2,-1,0,1,2，A=1,2，CUA=-2,-1,0故选C【点睛】本题考查集合补集的运算，求解的关键是正确求出集合U和熟悉补集的定义，属于简单题9D【解析】本题首先可以通过题意画出图像并过点作垂线交于点，然后通过圆与双曲线的相关性质判断出三角形的形状并求出高的长度，的长度即点纵坐标，然后将点

13、纵坐标带入圆的方程即可得出点坐标，最后将点坐标带入双曲线方程即可得出结果。【详解】根据题意可画出以上图像，过点作垂线并交于点，因为，在双曲线上，所以根据双曲线性质可知，即，因为圆的半径为，是圆的半径，所以，因为，所以，三角形是直角三角形，因为，所以，即点纵坐标为，将点纵坐标带入圆的方程中可得，解得，将点坐标带入双曲线中可得，化简得，故选D。【点睛】本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考察了圆与双曲线的相关性质，考查了圆与双曲线的综合应用，考查了数形结合思想，体现了综合性，提高了学生的逻辑思维能力，是难题。10A【解析】根据是与的等比中项，可求得，再利用等差数列求和公式即可得到.【详解】等比数列满

14、足，所以，又，所以，由等差数列的性质可得.故选：A【点睛】本题主要考查的是等比数列的性质，考查等差数列的求和公式，考查学生的计算能力，是中档题.11D【解析】由复数除法运算求出，再写出其共轭复数，得共轭复数对应点的坐标得结论【详解】，对应点为，在第四象限故选：D.【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念，考查复数的几何意义掌握复数的运算法则是解题关键12A【解析】根据三视图得出原几何体的立体图是一个三棱锥，将三棱锥补充成一个长方体，此长方体的外接球就是该三棱锥的外接球，由球的表面积公式计算可得选项.【详解】由三视图可得，该几何体是一个如图所示的三棱锥，为三棱锥外接球的球心，此三棱锥的

15、外接球也是此三棱锥所在的长方体的外接球，所以为的中点， 设球半径为，则,所以外接球的表面积，故选：A【点睛】本题考查求几何体的外接球的表面积，关键在于由几何体的三视图得出几何体的立体图，找出外接球的球心位置和半径，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】，平面，得出上任意一点到平面的距离相等，所以判断命题；由已知得出点P在面上的射影在上，根据线面垂直的判定和性质或三垂线定理，可判断命题；当为中点时，以点D为坐标原点，建立空间直角系，如下图所示，运用二面角的空间向量求解方法可求得二面角的余弦值，可判断命题；过作平面交于点，做点关于面对称的点，使得点在平面内，根据对

16、称性和两点之间线段最短，可求得当点在点时，在一条直线上，取得最小值.可判断命题.【详解】，平面，所以上任意一点到平面的距离相等，所以三棱锥的体积不变，所以正确；在直线上运动时，点P在面上的射影在上，所以DP在面上的射影在上，又，所以，所以正确；当为中点时，以点D为坐标原点，建立空间直角系，如下图所示，设正方体的棱长为2.则:，所以，设面的法向量为，则，即，令，则，设面的法向量为， ，即， ，由图示可知，二面角 是锐二面角，所以二面角的余弦值为，所以不正确；过作平面交于点，做点关于面对称的点，使得点在平面内，则，所以，当点在点时，在一条直线上，取得最小值. 因为正方体的棱长为2，所以设点的坐标为

17、，所以，所以，又所以，所以，故正确.故答案为：.【点睛】本题考查空间里的线线，线面，面面关系，几何体的体积，在求解空间里的两线段的和的最小值，仍可以运用对称的思想，两点之间线段最短进行求解，属于难度题.14【解析】类比，三角形边长类比三棱锥各面的面积，三角形内角类比三棱锥中侧棱与面所成角【详解】，故，【点睛】本题考查类比推理类比正弦定理可得，类比时有结构类比，方法类比等15【解析】由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，根据圆锥侧面积计算公式可得.【详解】解：由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，在中，如下图所示，底面圆的半径为，则所形成的几何体的表面积为.故答案为：.【点睛

18、】本题考查旋转体的表面积计算问题，属于基础题.16【解析】由平面向量模的计算公式，直接计算即可.【详解】因为平面向量与的夹角为，所以，所以;故答案为【点睛】本题主要考查平面向量模的计算，只需先求出向量的数量积，进而即可求出结果，属于基础题型.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）；（2）.【解析】（1）对范围分类整理得：，分类解不等式即可（2）利用已知转化为“当时，”恒成立，利用绝对值不等式的性质可得：，问题得解【详解】当时，当时，由得，解得；当时，无解；当时，由得，解得，所以的解集为（2）的解集包含等价于在上恒成立，当时，等价于恒成立，而，故满足条件的的取值

19、范围是【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的解法，还考查了转化能力及绝对值不等式的性质，考查计算能力，属于中档题18 (1) (2)见解析【解析】（1）由题得a,b,c的方程组求解即可（2）直线与直线恰关于轴对称，等价于的斜率互为相反数，即，整理.设直线的方程为，与椭圆联立，将韦达定理代入整理即可.【详解】(1)由题意可得，又， 解得，.所以，椭圆的方程为 (2)存在定点，满足直线与直线恰关于轴对称.设直线的方程为，与椭圆联立，整理得，.设，定点.(依题意则由韦达定理可得，. 直线与直线恰关于轴对称，等价于的斜率互为相反数. 所以，即得. 又，所以，整理得，.从而可得， 即，所以，当，即时，直

20、线与直线恰关于轴对称成立. 特别地，当直线为轴时，也符合题意. 综上所述，存在轴上的定点，满足直线与直线恰关于轴对称.【点睛】本题考查椭圆方程，直线与椭圆位置关系，熟记椭圆方程简单性质，熟练转化题目条件，准确计算是关键，是中档题.19（1）见解析； （2）.【解析】（1）分斜率为0，斜率不存在，斜率不为0三种情况讨论，设的方程为，可求解得到，可得到的距离为1，即得证；（2）表示的面积为，利用均值不等式，即得解.【详解】（1）由题意，椭圆的焦点在x轴上，且，所以所以椭圆的方程为由点在直线上，且知的斜率必定存在，当的斜率为0时，于是，到的距离为1，直线与圆相切当的斜率不为0时，设的方程为，与联立得

21、，所以，从而而，故的方程为，而在上，故，从而，于是此时，到的距离为1，直线与圆相切综上，直线与圆相切（2）由（1）知，的面积为，上式中，当且仅当等号成立，所以面积的最小值为1此时，点在椭圆的长轴端点，为不妨设为长轴左端点，则直线的方程为，代入椭圆的方程解得，即，所以【点睛】本题考查了直线和椭圆综合，考查了直线和圆的位置关系判断，面积的最值问题，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于较难题.20（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理可得，再用余弦定理即可得到角C；（2），再利用求正弦型函数值域的方法即可得到答案.【详解】（1）因为，所以.在中，由正弦定理得，所以，即.在中，由余弦定理得，又因为，所以.（2）由（1）得，在中，所以.因为，所以，所以当，即时，有最大值