空间向量与立体几何(建系途径)

1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业空间向量与立体几何建立空间直角坐标系的途径途径一：利用图形中现成的垂直关系建立坐标系:当图形中有明显互相垂直且交于一点的三条直线，可以利用这三条直线直接建系垂直线线垂直线面垂直面面垂直1、如图，在长方体ABCDEA1B1C1D1xyz中，AD=1，AB=2，点E在棱AB上移动。建立如图所示的空间直角坐标系。 （1）证明：；（2）求平面的一个法向量及单位法向量。解：设，则，。 （）证明：由，有，于是。 （），。设平面的法向量为，单位法向量为，由，解得。于是。2、如图，四棱

2、锥中，底面ABCD为矩形，底面ABCD，AD=PD，E，F分别CD、PB的中点。（）求证：EF平面PAB；（）设AB=BC，求AC与平面AEF所成角的正弦值。 ABCDEFxyzP图 5法1：（）证明：取PA中点G，连结FG，DG，。法2：证明：建立空间直角坐标系（如图5），设AD=PD=1，AB=（），则E(a,0,0),C(2a,0,0),A(0,1,0),B(2a,1,0),P(0,0,1), .得，。由，得，即， 同理，又， 所以，EF平面PAB。（）解：由，得，即。得，。 有，。 设平面AEF的法向量为，由，解得。于是。 设AC与面AEF所成的角为，与的夹角为。 则。3、在长方体AB

3、CDA1B1C1D1中，已知ABAA1a，BCa，M是AD的中点。求证：平面A1MC平面A1BD1；解:以D点为原点,分别以DA,DC,DD1为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系D-xyz如图所示.,求出平面A1MC的一个法向量为: ,又,求出平面A1BD1的一个法向量为: , ,即平面A1MC平面A1BD1.4、在正三棱锥ABCA1B1C1中，求证：.途径二：利用图形中的对称关系建立坐标系:图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系5、如图，在正四棱锥中，, 求二面角的余弦值.解：设二面角的平面角为，平面的法向量为.

4、设平面的法向量为, . 6、如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱， ， ，为的中点。求异面直线AB与MD所成角的大小。方法1：作于点P，如图，分别以AB，AP，AO所在直线为轴建立坐标系.方法2：（利用菱形对角线互相垂直）连结BD，设交AC于E，取OC中点为F，以E为原点，EB、EC、EF所在直线为x, y, z轴建立空间直角坐标系. 途径三利用面面垂直的性质建立坐标系:图形中有两个互相垂直的平面，可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且交于一点的三条直线，建立坐标系7、在四棱锥PABCD中，平面PAB平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PAB等边三角形. 求二面角BACP的余弦值

5、。解 （1）建立如图的空间直角坐标系Oxyz，则A（1，0，0），B（1，0，0），则P（0，0，），C（1，2，0）设为平面PAC的一个法向量，则又令z=1，得得又是平面ABC的一个法向量，设二面角BACP的大小为，则8、如图，在三棱锥中，平面平面. （）求证：； （）求二面角的余弦值；（）求异面直线和所成角的正弦值. 解：作于点， 平面平面，平面.过点作的平行线，交于点.如图，以为原点，直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系 . . .，. （）证明 . 又. （）解 作于点，连结.平面， 根据三垂线定理得 ，是二面角的平面角. 在中， ， 从而，。 （）解，异面直线和所成角的正弦值为平

6、行于垂直证明A1C1CBAB1一、平行9、已知正三棱柱ABCA1B1C1，D为AC中点。求证：直线AB1平面C1DB；二、求角10、如图在直三棱柱点是的点求异面直线与所成角的余弦值解:(1)以为为单位正交基底建立空间直角坐标系 则 异面直线与所成角的余弦值为 11、如图所示，AF、DE分别是O、O1的直径.AD与两圆所在的平面均垂直，AD8,BC是O的直径，ABAC6，OE/AD.()求二面角BADF的大小；()求直线BD与EF所成的角的余弦值.解 ()AD与两圆所在的平面均垂直,ADAB, ADAF,故BAD是二面角BADF的平面角，依题意可知，ABCD是正方形，所以BAD450.即二面角B

7、ADF的大小为450.()以O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O（0，0，0），A（0，0），B（，0，0）,D（0，8），E（0，0，8），F（0，0）所以，.12、如图，在三棱锥中，平面平面，于点， ，（1）证明为直角三角形；（2）求直线与平面所成角的正弦值（1）证明1：因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面1分记边上的中点为，在中，所以因为，所以3分因为，所以为直角三角形因为，所以4分连接，在中，因为，所以5分因为平面，平面，所以在中，因为，所以6分在中，因为，所以所以为直角三角形7分证明2：因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面1分记边上

8、的中点为，在中，因为，所以 因为，所以3分连接，在中，因为，所以4分在中，因为，所以，所以5分因为平面，平面，所以6分因为，所以平面 因为平面，所以所以为直角三角形7分（2）解法1：过点作平面的垂线，垂足为，连，则为直线与平面所成的角8分由（1）知，的面积9分因为，所以10分由（1）知为直角三角形，所以的面积11分因为三棱锥与三棱锥的体积相等，即，即，所以12分在中，因为，所以13分因为所以直线与平面所成角的正弦值为14分解法2：过点作，设，则与平面所成的角等于与平面所成的角8分由（1）知，且，所以平面因为平面，所以平面平面过点作于点，连接，则平面所以为直线与平面所成的角10分在中，因为，所以

9、11分因为，所以，即，所以12分由（1）知，且，所以13分因为，所以直线与平面所成角的正弦值为14分解法3：延长至点，使得，连接、，8分在中，所以，即在中，因为，所以，所以因为，所以平面9分过点作于点，因为平面，所以因为，所以平面所以为直线与平面所成的角11分由（1）知，所以在中，点、分别为边、的中点，所以12分在中，所以，即13分因为所以直线与平面所成角的正弦值为14分解法4：以点为坐标原点，以，所在的直线分别为轴，轴建立如图的空间直角坐标系，8分 则，于是，设平面的法向量为，则即取，则，所以平面的一个法向量为12分设直线与平面所成的角为，则所以直线与平面所成角的正弦值为14分第（1）、（2

10、）问都用向量法求解：（1）以点为坐标原点，以，所在的直线分别为轴，轴建立如图的空间直角坐标系，1分 则，于是，因为，所以所以所以为直角三角形7分（2）由（1）可得，于是，设平面的法向量为，则即取，则，所以平面的一个法向量为12分设直线与平面所成的角为，则所以直线与平面所成角的正弦值为14分13、如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,BA A1=60.()证明ABA1C;()若平面ABC平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值.解()取AB中点E,连结CE, AB=,=,是正三角形, AB, CA=CB, CEAB, =E,AB面

11、, AB; ()由()知ECAB,AB, 又面ABC面,面ABC面=AB,EC面,EC, EA,EC,两两相互垂直,以E为坐标原点,的方向为轴正方向,|为单位长度,建立如图所示空间直角坐标系, 有题设知A(1,0,0),(0,0),C(0,0,),B(-1,0,0),则=(1,0,),=(-1,0,),=(0,-,), 设=是平面的法向量, 则,即,可取=(,1,-1), =, 直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为 14、如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点。（）求证：AB1面A1BD；（）求二面角AA1DB的大小；（）求点C到平面A1BD的距离；（）证明

12、 取中点，连结为正三角形，在正三棱柱中，平面平面，平面xzABCDOFy取中点，以为原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，平面（）解 设平面的法向量为，令得为平面的一个法向量由（）知平面，为平面的法向量，二面角的大小为（）解 由（），为平面法向量，点到平面的距离图形的翻折问题15、如图，平面四边形ABCD中，AB=BC=CD=a，B=90，C=135，沿对角线AC将此四边形折成直二面角B-AC-D（1）求证：AB平面BCD（2）求平面ABD与平面ACD所成的角；（3）求点C到平面ABD的距离解：（1）ABC中，AB=BC=a，ABC=90，BAC=ACB=45ACD=135-45=90，得ACCD二面角B-AC-D为直二面角，平面ACD平面ABCCDAC，平面ACD平面ABC=AC，DC平面ABCAB平面ABC，CDAB又ABBC， AB平面BCD16、如图1,在等腰直角三角形中,分别是上的点,为的中点.将沿折起,得到如图2所示的四棱锥,其中.() 证明:平面; () 求二面角的平面角的余弦值.COBDEACDOBE图1图2() 在图1中,易得 连结,在中,由余弦定理可得 由翻折不变性可知, 所以,所以, 理可证, 又,所以平面. () 传统法(几何法):过作交的延长线于,连结, 因为平面,所以, 所以为二面角的平面角. 结合图1