习题分析和解答

1、习题分析和解答说明：本栏内容对学生是有条件地开放第一章1.3.6一抽气机转速，抽气机每分钟能抽出气体20l(升)。设容器的容积V0=2.01，问经过多长时间后才能使容器内的压强由0.101Mpa降为133Pa。设抽气过程中温度始终不变。分析：抽气机每打开一次活门,容器内气体的容积在等温条件下扩大了V,因而压强有所降低。活门关上以后容器内气体的容积仍然为V0。下一次又如此变化，从而建立递推关系。解：抽气机抽气体时，由玻意耳定律得：活塞运动第一次：活塞运动第二次：活塞运动第n次：（1）抽气机每次抽出气体体积将上述数据代入（1）式，可解得。则1.3.8两个贮着空气的容器A和B，以备有活塞之细管相连接

2、。容器A浸入温度为的水槽中，容器B浸入温度为的冷却剂中。开始时，两容器被细管中之活塞分隔开，这时容器A及B中空气的压强分别为，。它们的体积分别为试问把活塞打开后气体的压强是多少？分析：把活塞打开后两容器中气体混合而达到新的力学平衡以后，A和B中气体压强应该相等。但是应注意到,由于A和B的温度不相等，所以整个系统仍然处于非平衡态。我们不能把A和B气体的整体作为研究对象,而先把从A流入B的那部分气体作为研究对象，求出它的物质的量（即mol数），然后按照混合前后A和B总的物质的量不变这一点列出方程。解：设原容器A中有体积的气体进入容器B，且打开活塞后气体压强为p。对原容器A中剩下的体积的气体进行研究

3、，它们将等温膨胀到体积，因而有（1）按照理想气体方程,有关系，原容器A中体积的气体和原容器B中体积的气体进行研究，它们合并前后物质的量应该不变，所以（2）由（1）式、（2）两式化简可得代入上述数据，可以得到活塞打开后气体的压强。1.3.10一端开口，横截面积处处相等的长管中充有压强p的空气。先对管子加热，使从开口端温度1000K均匀变为闭端200K的温度分布，然后把管子开口端密封，再使整体温度降为100K，试问管中最后的压强是多大？分析：开始时长管中气体有温度分布，所以它不处于平衡态。但是整体温度降为100K以后,长管中气体处于平衡态了。关键是求出开始时长管中气体的总的分子数，而它是和整体温度

4、降为100K以后的分子数相等的。在计算分子数时要先求出长管中的温度分布，然后利用p=nkT公式。解：因为管子是一端开口的，所以。显然，管子中气体的温度分布应该是（1）由于各处温度不同，因而各处气体分子数密度不同。考虑xx+dx一段气体,它的分子数密度为n(x),设管子的横截面积为S,考虑到p=nkT,则这一小段中的气体分子数为管子中气体总分子数为利用（1）式可得管中气体最后的压强是p1（）,温度是T，.则由上面两式相等,最后可以计算出即：管中气体最后的压强为。1.4.1在什么温度下，下列一对温标给出相同的读数（如果有的话）：(1)华氏温标和摄氏温标；（2）华氏温标和热力学温标；（3）摄氏温标和

5、热力学温标?提示：利用，。答：（1）40；（2）575K；（3）没有。1.4.2定体气体温度计的测温泡浸在水的三相点槽内时，其中气体的压强为。（1）用温度计测量300K的温度时，气体的压强是多少？（2）当气体的压强为时，待测温度是多少？提示：。利用如下公式进行计算：(体积不变)答：（1）；（2）371K。1.4.3用定体气体温度计测得冰点的理想气体温度为273.15K，试求温度计内的气体在冰点时的压强与该气体在水的三相点时压强之比的极限值。解：利用公式.所以1.5.2试估计水的分子互作用势能的数量级，可近似认为此数量级与每个分子所平均分配到的汽化热数量级相同。再估计两个邻近水分子间的万有引力势

6、能的数量级，判断分子力是否可来自万有引力。分析：水中的分子热运动而不分散开,是因为分子之间有作用力。水的汽化是某些水分子有足够大的热运动能量，足以克服分子之间作用力而跑到外面成为自由的气体分子。我们知道分子之间作用力势能是负的,气体分子的势能为零。所以汽化热是用来增加分子之间作用力势能的。另外也要考虑到,液体转变为气体时体积扩大作等压膨胀要对外做功，它所需要的能量也由汽化热提供。但是一般说来这两者的数量级差不多相等，而且后者小于前者。所以可以利用前者来估计分子互作用势能的数量级。解：水的汽化热为，它的摩尔汽化热为每摩尔有NA个分子，每个分子平均分摊到的汽化热为可以认为就是水的分子互作用势能的数

7、量级。至于水中两邻近分子的万有引力势能的数量级，可以利用万有引力势能公式来估计。假定水中两最邻近分子质量中心之间的距离为（利用上题的结果），则每个分子所平均分摊到的万有引力势能的数量级为。讨论：我们发现万有引力势能的数量级要比分子互作用势能小。由于分子互作用势能来自电磁相互作用，这说明万有引力相互作用要比电磁相互作用弱得多。1.6.3一容积为的真空系统已被抽到1.3310-3Pa的真空。为了提高其真空度，将它放在温度为的烘箱内烘烤，使器壁释放出所吸附的气体。若烘烤后压强增为1.33Pa，问器壁原来吸附了多少个气体分子？分析：烘烤时温度上升,器壁所吸附的气体分子有足够大的能量克服器壁对它的吸引力

8、而释放出来。真空系统的压强相应增加。利用公式可以计算出吸附气体分子数。答：。1.6.4一容器内贮有氧气，其压强为，温度为，试求：（1）单位体积内的分子数；(2)氧气的密度；(3)分子间的平均距离：(4)分子的平均平动动能。分析：利用公式可以得到单位体积内的分子数。利用和公式可以得到氧气的密度和分子质量。利用和可以分别求得分子间的平均距离和分子的平均平动动能。答：（1）；（2）；（3）；（4）。第二章222量的概率分布函数具有形式,式中A和是常数，试写出的值出现在7.9999到8.0001范围内的概率P的近似表示式。解：归一化，在上述积分中考虑到f(x)是偶函数，所以有可以知道处于7.99998

9、.0001范围内概率为2.3.1求下的氮气中速率在到之间的分子数。分析：这是一个在麦克斯韦速率分布中求某一速率区间内分子数的问题,应该用相对于最概然速率的麦克斯韦速率分布,即使用误差函数来求解。但是注意到,到之间仅仅差，它要比小得多。可以认为在到范围内麦克斯韦速率分布是不变的。它的概率等于在横坐标为到之间的麦克斯韦速率分布曲线线段下面的面积（这个梯形可以看作矩形）。解：设下，中的理想气体分子数为,利用洛施密特常量可以得到利用麦克斯韦速率分布可以得到速率在之间的分子数为（1）现在其中的,氮气温度，而氮分子质量。将它们代入（1）式即得到在到之间的分子数为。,利用洛施密特常量可以得到利用麦克斯韦速率

10、分布可以得到速率在之间的分子数为（1）现在其中的,氮气温度，而氮分子质量。将它们代入（1）式即得到在到之间的分子数为。2.4.1因为固体的原子和气体分子之间有作用力，所以在真空系统中的固体表面上会形成厚度为一个分子直径的那样一个单分子层，设这层分子仍可十分自由地在固体表面上滑动，这些分子十分近似地形成2维理想气体。如果这些分子是单原子分子，吸附层的温度为，试给出表示分子处于速率为v到v+dv范围内的概率f(v)dv表达式。解：我们知道,通常的麦克斯韦速度分布是3维的（1）其中速度在的3个分量上的分布函数都具有如下形式：（2）显然，只能在XY平面上运动的2维理想气体的麦克斯韦速度分布应该是（3）

11、这就是2维理想气体的麦克斯韦速度分布公式。（3）式也可以写为（4）其中实际上就是在2维速度空间中位置在，范围内的正方形这一微分元的面积，而是气体分子的代表点在这一微分元上的分布概率。设在2维速度空间中位置在，范围内的这一微分元上的分子代表点数为。显然它被除以微分元的面积，就是在2维速度空间中的分子代表点的数密度，所以（5）下面我们从速度分布导出速率分布。我们知道2维理想气体的麦克斯韦速率分布表示了分子处在2维速度空间中,半径为的圆环内的概率。是在半径为的圆环内的分子代表点数。它等于圆环面积乘上分子代表点的数密度。利用（5）式可以得到所以分子处于速率为v到v+dv范围内的概率f(v)dv的表达式

12、为（7）它就是2维理想气体的麦克斯韦速率分布。2.4.2分子质量为m的气体在温度T下处于平衡。若以及分别表示分子速度的x、y、z三个分量及其速率，试求下述平均值：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。分析：在求上述统计平均值时要用到概率的基本性质,即互相排斥事件概率相加法则和相互统计独立的事件概率相乘法则。另外,因为麦克斯韦速度分布函数是个偶函数,所以在积分时要区分被积函数是偶函数还是奇函数。对于偶函数，因为积分范围是对称区间,所以应该分区间积分。解：（1）麦克斯韦的速度的x、y、z三个分量分布可以表示为.（3）由于vx和v2相互独立,利用概率相乘法则,并且考虑到vx的平均值等于零,则有（4

13、）同样vx,vy相互独立,和“（3）”类似（5）利用概率相加法则2.5.1一容积为1升的容器，盛有温度为300K，压强为的氩气，氩的摩尔质量为0.040kg。若器壁上有一面积为1.010-32的小孔，氩气将通过小孔从容器内逸出，经过多长时间容器里的原子数减少为原有原子数的？分析：这是一个泻流问题,可以应用气体分子碰壁数来解。应该注意,容器内的分子数(或者说容器内的分子数密度)是随时间而减少的,所以是个变量。或者说相等时间内流出去的分子数是不相等的，应该建立微分方程。考虑在到时间内,容器内的分子数由于泻流从变化为,其中就是在时间内泻流流出去的分子数,列出和之间的关系,这就是解本题所需要的微分方程

14、。经过分离变量,积分,就可以得到所需要的结果。解：在时间内在面积为的小孔中流出的分子数为其中为气体分子数密度。考虑到气体的流出使得分子数减少,所以在上式中加一负号。现在在上式两边都除以容器体积,并且在0到之间进行积分现在要求容器中的原子数最后减少到1/e,即即：经过100s容器内原子数减为原来的。.2.5.2一容器被一隔板分成两部分，其中气体的压强分别为。两部分气体的温度均为，摩尔质量均为。试证明：如果隔板上有一面积为A的小孔，则每秒通过小孔的气体质量为分析：容器被隔板分成两部分以后,隔板左右两边的气体都可以通过小孔从一边流向另一边,和上一题一样利用气体分子碰壁数来解。解：利用平均速率公式可以

15、把气体分子碰壁数公式变换为现在分别用下标1，2分别表示隔板左、右气体的各个物理量。在时间内通过单位面积小孔,隔板左边净增加的分子数为在内通过小孔的气体质量为2.5.3处于低温下的真空容器器壁可吸附气体分子，这叫做“低温泵”，它是提高真空度的一种简便方法。考虑一半径为的球形容器，器壁上有一面积为的区域被冷却到液氮温度(77K)，其余部分及整个容器均保持300K。初始时刻容器中的水蒸气压强为，设每个水分子碰到这一小区域上均能被吸附或被凝结在上面，试问要使容器的压强减小为，需多少时间?解：设t时刻分子数密度为，则时间内碰在面积上的分子数为利用p=nkT公式,它可以化为经过积分,可以得到2.5.5若使

16、氢分子和氧分子的等于它们在地球表面上的逃逸速率，各需多高的温度?若使氢分子和氧分子的等于月球表面上的逃逸速率，各需多高的温度?已经知道月球的半径为地球半径的0.27倍,月球的重力加速度为地球的0.165倍。分析：在离地球中心距离为R的高层大气中，必有某些气体分子的速率大于从该处脱离地球引力而逃逸的最小速率vmin（它称为逃逸速率）,这些分子向上运动时,只要不和其它分子碰撞,就可以逃逸出大气层。其逃逸速率满足在忽略重力加速度随高度的变化的情况下,可以用地球表面的数据替代,则（1）其中是地球重力加速度，ME是地球质量,是地球半径。同样，在月球表面上也有逃逸速率。和（1）式类似,有如下表达式（2）其

17、中下标M表示月球的各物理量。答：氢分子和氧分子的分别等于地球表面上的逃逸速率时的氢气和氧气的温度分别为,.氢分子和氧分子的分别等于它们在月球表面上的逃逸速率时的氢气和氧气温度分别为，261试证若认为地球的大气是等温的,则把所有大气分子压缩为一层环绕地球表面的、压强为一个大气压的均匀气体球壳，这层球壳厚度就是大气标高。分析：在离地高为的范围内的球壳体积为（1）说明：这是因为地球大气标高只有8km,它比地球半径RE要小得多,所以那一层球壳相对于地球来讲相当于一层“纸”。而“纸”的体积就等于球面面积再乘以“纸”的高度。当然,我们也可以如下更清楚地求出：忽略dz的二次方和三次方项,同样有解：若设在海平

18、面处的气体分子数密度为n(0),在球壳体积dV(z)范围内的分子数令称为大气标高,设在海平面处的气体分子数密度为，所有大气的总分子数为，则：（2）现在来估计的数量级。设地球大气为平均温度T=273K的等温大气，而且（3）利用（3）式可以看到,（2）式的方括号中的第二项比第一项小3个数量级,第三项又比第二项小3个数量级。我们完全可以忽略其中的第二项和第三项。显然，用近似方法进行计算要简便得多。这时其中为大气标高。由此看来，把地球的所有大气分子压缩为一层环绕地球表面的、压强为一个大气压的均匀气体球壳，这层球壳厚度就是大气标高。2.6.2试估计质量为的砂粒能像地球大气一样分布的等温大气温度的数量级。

19、分析：（1）我们知道，布朗粒子和分子之间没有本质区别，仅不过布朗粒子的质量比一般的分子大几个数量级。从能量均分定理可以知道，若布朗粒子和分子分别处于相同温度的系统中，则布朗粒子的均方速率要比分子的均方速率小好几个数量级。同样，砂粒和布朗粒子之间也没有本质区别，也仅不过砂粒的质量比一般的布朗粒子大十几个数量级，相应地其均方速率要小十几个数量级。当砂粒的均方速率小到如此情况，它在1秒内的均方位移也要比砂粒本身的大小还要小数个数量级时，其宏观位移根本测量不出,则砂粒的布朗运动（或者说无规运动）可以不必考虑。可以估计到，当温度上升的足够高时，砂粒也会像分子那样作热运动的。（2）布朗粒子或者砂粒在地球重

20、力作用下能够像地球大气一样分布的条件是它们的大气标高kT/mg应该都相同。答：。2.7.1求常温下质量M1=3.00g的水蒸气与M2=3.00g的氢气组成的混合理想气体的摩尔定体热容。分析：显然，3.00g水蒸气的物质的量是，3.00g氢气的物质的量是。由于氢气有5个自由度，水蒸气有6个自由度，根据能量均分定理，氢气的内能为，水蒸气的内能为。M1=3.00g的水蒸气与M2=3.00g的氢气组成的混合理想气体的内能为。混合理想气体的物质的量为，所以这种混合理想气体的内能为气体的定体热容2.7.3一粒小到肉眼恰好可见、质量约为kg的灰尘微粒落人一杯冰水中。由于表面张力而浮在液体表面作二维自由运动，

21、试问它的方均根速率是多大?分析：灰尘微粒作二维布朗运动，它应该有如下关系按照能量均分定理答：。第三章3.1.1一细金属丝将一质量为m、半径为R的均质圆盘沿中心轴铅垂吊住。盘能绕轴自由转动。盘面平行于一水平板，盘与平板间充满黏度为h的液体。初始时盘以角速度旋转。圆盘面与大平板间距离为d，且在圆盘下方任一竖直直线上液体的速度梯度处处相等。试求t秒时盘的旋转角速度。分析：因为圆盘与水平板之间存在相对运动，故存在如下的黏性力，在不同r处的线速度不同，但是圆盘下方任一竖直直线上的速度梯度都处处相等，所以在r处任一竖直直线上液体的速度梯度是。现在以离开中心轴距离的小圆环上，中心角为的一小块圆盘为研究对象（

22、它的面积时可以近似认为它是底边为高为的矩形）。计算它受到的黏性力以及这一黏性力所施予中心轴的力矩。解：圆盘受到的黏性力以及这一黏性力所施予中心轴的力矩分别为对上式中的从积分，再对从0R积分。可以得到（1）利用刚体动力学中的转动定律，其中J为圆盘转动惯量，现在。把（1）式代入转动定律分离变量后两边积分，最后得到t秒时圆盘的旋转角速度为3.3.3两个长圆筒共轴套在一起，两筒的长度均为，内筒和外筒的半径分别为R1和R2，内筒和外筒分别保持在恒定的温度T1和T2，且T1T2，已知两筒间空气的导热系数为，试证明每秒由内筒通过空气传到外筒的热量为分析：在这里的温度梯度不是常数，即否则,若把内筒和外筒之间的

23、空间分割为一系列厚度相等的圆柱壳层。按照这一计算公式,从逐步变化到,则在时间内,由内筒向外传递的热量将逐步增加。这不符合稳态传热（在时间内,在每一圆柱面上通过的热量应该是相等的）条件。唯一的可能是在内筒和外筒之间的温度梯度不是常数。为此必须取半径为的某一圆柱壳层为对象，研究它的传热过程。解：设在时间内,由内筒向外传递的热量为常量。现在取半径的某一圆柱壳层为研究对象。则两边积分，可以得到3.3.6两根金属棒A、B尺寸相同，A的导热系数是B的两倍，用它们来导热。设高温处与低温处的温度保持恒定，求将A、B并联使用和串联使用时热传递能量之比(设棒的侧面是绝热的)。分析：对于一个存在稳定热流的均匀棒可以

24、将傅里叶定律表示为热欧姆定律，也就是说（其中分别是金属棒的热导系数、长度和截面积）可以被改写为（1）其中称为温压差（相当于欧姆定律中的电势差），称为热阻（相当于电阻），称为热流（相当于电流）。（1）式称为热欧姆定律。我们可以利用它来解决一些类似于串、并联的传热问题。解：设A、B金属棒的导热系数分别是，热阻分别是，它们的串联热阻和并联热阻分别为。考虑到，则（2）（3）（2）式被（3）式除，可以得到3.3.7半径的铀球，在原子裂变过程中以体积热产生率均匀地、恒定不变地散发出热量。已知铀的热导率，试问达稳态时，铀球的中心与外表面间的温度差是多少?分析：对于球体内部有恒定不变地均匀散发出热量的传热问题

25、，它达到稳态的条件是：单位时间内，从半径为的球壳向外传递的热量，应该等于单位时间内以为半径的球内所产生的总的热量。假如前者小于后者，铀球内部温度会升高，稳态尚未达到；假如后者小于前者，铀球内部温度会降低，稳态仍然未达到。解：现在以半径为的球壳为研究对象，设及处的温度分别为。由于球壳内、外表面之间存在温度梯度，有热量从球壳向外传输，球壳通过的热量达到稳态时球壳在单位时间内透过的热流应该等于以为半径的铀球在单位时间内产生的热量（假如前者小于后者，铀球内部温度会升高，稳态尚未达到），所以3.5.1热容为C的物体处于温度为的媒质中，若以的功率加热，它所能达到的最高温度为。设系统的漏热遵从牛顿冷却定律，

26、试问加热电路切断后，物体温度从降为时所需的时间是多少?分析：牛顿冷却定律可以表示为其中为环境温度。若以的功率加热，它所能达到的最高温度为,这说明的功率加热恰好被温度时物体向环境的漏热相平衡,因而温度不再上升，由此可以定出。解：从上面的分析可以得到如下关系：，另外又有将上述3个公式联立后积分，最后得到3.6.5试估计宇宙射线中质子抵达海平面附近与空气分子碰撞时的平均自由程。设质子直径为1015m，宇宙射线速度很大。分析：这个问题的情况和上一题十分类似，碰撞截面可以利用公式，平均自由程可以利用公式。这里的就是空气分子的有效直径，简单地认为。而是空气的分子数密度，简单认为。答：。3.6.6从反应堆(

27、温度)中逸出一个氢分子(有效直径为)以方均根速率进入一个盛有冷氩气(氩原子的有效直径为，氩气温度为300K)的容器，氩原子的数密度为。试问：(1)若把氢分子与氩原子均看作刚性球，它们相碰时质心间最短距离是多少?（2）氢分子在单位时间内受到的碰撞次数是多少?分析：（1）分子之间相碰时质心间最短距离就是分子碰撞有效直径，对于刚性分子，它就是两个相碰分子的半径之和。（2）在计算分子之间碰撞的平均频率时要用到相对运动平均速率。对于温度相同的同种分子，但是对于异种分子，特别是平均速率不相同的分子之间的碰撞，我们可以这样利用近似方法得到它。把1分子相对于2分子的相对运动速度矢量写为其相对运动速率的平方（1

28、）取平均值（2）上式最右边第二项表示一个分子的速度在另一个分子速度方向上的投影的平均值的2倍，而（3）因为（3）式中的余弦函数是偶函数，它的平均值为零，所以（1）式可以表示为又有如下近似条件可以利用，所以（4）利用这一公式可以计算相对运动平均速率。解：（1）对于刚性分子，氢分子与氩原子相碰时质心间最短距离也就是氢分子与氩原子碰撞的有效直径（5）（2）从反应堆中逸出的一个氢分在单位时间内受到的氩原子平均碰撞总次数为（6）在上面的式子中，所有下标表示是氢分子的物理量，所有下标表示氩原子的各物理量，下标表示氢分子相对于氢原子的各物理量，下标表示氢分子相对于氩原子的各物理量。显然，（7）因为已知氢分子

29、是以方均根速率从反应堆逸出，所以（8）利用（4）式可以得到分子束中的氢分子相对于氩原子的平均速率为（9）现在已经知道，。将上述数据以及（5）式、（7）式、（9）式一起代入（6）式可以得到氢分子在单位时间内受到的平均碰撞总次数3.7.1某种气体分子的平均自由程为10cm，在10000段自由程中，（1）有多少段长于10cm?（2）有多少段长于50cm?（3）有多少段长于5cm而短于10cm?（4）有多少段长度在9.9cm与10cm之间?（5）有多少段长度刚好为10cm?分析：以下两个有关概率的概念是等价的：“一个分子自一次碰撞后又行进路程x而还没有被碰撞的概率”；“在许多段长度不同的自由程中，长度

30、大于自由程x的概率”。因此，分子按照自由程的分布也可以理解为：在段自由程中，长度大于x的自由程数为。解：（1）在10000段自由程中，其自由程长于10cm的段数为（2）在10000段自由程中，其自由程长于50cm的段数为（3）在10000段自由程中，其自由程长于5cm，短于10cm的段数为（4）因为，所以在10000段自由程中，自由程长度在9.9cm与10cm之间的段数为（5）不能这样提问，因为按照概率分布函数（即随机变量为连续变量的概率分布）的概念，只存在随机变量在某一范围内的概率，而不存在随机变量为某一确定数值的概率。3.7.3由电子枪发出一束电子射人压强为p的气体中，在电子枪前相距x处放

31、置一收集电极，用来测定能自由通过(即不与气体分子相碰)这段距离的电子数。已知电子枪发射的电子流强度为100mA，当气压、x=10cm时，到达收集极的电子流强度为37mA。(1)电子的平均自由程为多大?(2)气压降到时，到达收集极的电子流强度是多少?分析：由于电子枪发射的电子流强度为100mA，在气压、x=10cm时，到达收集极的电子流强度为37mA，说明有（10037）/100100%的电子在10cm以前被碰。而（37/100）则是在10cm处电子的残存概率。由此可以求出时电子的平均自由程为；同时也可以求出气压降到时的平均自由程为。当气压降到时在10cm处电子的残存概率可以由求得，而电子的残存

32、概率是直接和到达收集极的电子流强度相对应的。解：（1）设电子的平均自由程为。则电子束行进距离时的残存概率为因而有：得到电子的平均自由程为。（2）因为,说明温度相同时和成反比。而。气压降到时电子的平均自由程为在平均自由程为时，在处的残从而求出电子流强度第四章气体作准静态等温膨胀，由初体积变成终体积，试计算这过程中所做的功。若物态方程式是（1）（是常数）（2）常数，解：（1）因为，即。（2）因为，即,所以图表示有一除底部外都是绝热的气筒，被一位置固定的导热板隔成相等的两部分A和B，其中各盛有一摩尔的理想气体氮。今将334.4J的热量缓慢地由底部供给气体，设活塞上的压强始终保持为，求A部和B部温度的

33、改变以及各吸收的热量(导热板的热容可以忽略)。若将位置固定的导热板换成可以自由滑动的绝热隔板，重复上述讨论。分析：1，若隔板的位置是固定的而且是导热的，则B部吸收热量后按照等压过程变化；A部既吸收热量，又向B部放热，同时它按照等体过程变化。A部吸收的热量等于A部内能的增加加上向B部释放的热量。2，若隔板是可以自由滑动的而且是绝热的，则A部吸收热量后按照等压过程变化；B部不吸收热量，也不做功（因为它通过活塞和外界相连接，它的压强始终和外界相等），按照热力学第一定律，其内能不变，状态也不变。A部吸收的热量全部用于A部内能的增加和它对外作的等压功。解：（1）隔板是固定的并且是可导热的。设A部和B部净

34、吸收的热量分别为、。A部在定体条件下既吸热又放热，但是其净吸收的热量是。而B部是在定压条件下吸热，其吸的热等于焓的增加。注意到A部和B部的气体都是1摩尔。我们规定：下标“”或者“”表示定体积过程或者定压过程，下标“”表示是1摩尔的物理量，则A部从加热器吸收的热量为两边积分得： 这就是A部的温度改变。因为隔板是导热的，B部的温度改变和A部相等。下面求A部和B部净吸收的热量。两边积分两边积分（2）若隔板换成可以自由滑动的绝热隔板，则A部和B部的压强始终相等，并且等于大气压强，这时A部净吸收的热量A部的温度改变对于B部，由于隔板是绝热的，所以，。B部状态不变化，其温度不变。4.5.5室温下定量理想气

35、体氧的体积为（升），压强为，经过某一多方过程后体积变为，压强为。试求：(1)多方指数；(2)内能的变化；(3)吸收的热量；(4)氧膨胀时对外界所作的功。设氧的。解：（1）多方过程方程为，两边取对数，则有（1）（2），而，（3）由此得到（内能减少）（4）（3）多方过程热容（5）多方过程中吸收的热量（6）联立（3）、（5）、（6）式得到（吸收热量）。（4）气体膨胀，它对外作的功4.5.8利用大气压随高度变化的微分公式，证明高度处的大气压强为其中和分别为地面的温度和压强，为空气的平均摩尔质量。假设上升空气的膨胀是准静态绝热过程。分析：在课本中推导的大气压强公式是假定整个大气处于温度处处相等的平衡态的

36、。实际上大气温度是随高度而变化的。在贴近地面的对流层中，如果不考虑大气环流，则影响大气温度垂直变化的原因是重力和上升空气的准静态绝热膨胀。解：因为上升空气的膨胀是准静态绝热过程，满足准静态绝热方程（1）大气压随高度变化的微分公式（2）由（1）式、（2）式化简，两边积分，可以得到最后得到4.5.11用绝热壁做成一圆柱形的容器，在容器中间放置一无摩擦的、绝热的可动活塞，活塞两侧各有的理想气体。设气体定体摩尔热容为常数，。将一通电线圈放在活塞左侧气体中，对气体缓慢加热。左侧气体膨胀，同时通过活塞压缩右方气体，最后使右方气体压强增为。试问：(1)对活塞右侧气体作了多少功?(2)右侧气体的终温是多少?(

37、3)左侧气体的终温是多少?(4)左侧气体吸收了多少热量?分析：圆柱形容器和活塞都是绝热的，所以活塞右方气体经历的是绝热过程；而活塞左侧有通电线圈加热。左方气体吸收热量后不仅增加它自己的内能，同时还对右方气体做功。这个功全部用来增加右方气体的内能（或者说使得它的温度升高）。另外，可以认为在初始时刻活塞位于圆柱形容器的正中央，左、右方气体的物质的量、体积、压强都相等，因而温度也相等。解：（1）显然初始时刻活塞左、右侧气体的压强都是，最终左、右侧气体压强分别为、，温度分别、，体积分别为、。该过程中左侧气体对右侧气体（视作理想气体）所做准静态绝热压缩功为（2）绝热过程中有如此关系：，所以右侧气体的终温

38、为（3）左侧气体经历的既不是绝热也不是等压过程，要求出终温，必须知道、，然后通过状态方程求出。但是如果要求出，必须先知道，（因为）。而右侧气体的绝热过程有关系，所以又， 由此我们可以得到左侧气体的这最终温度为4.6.1已知某种理想气体在图上的等温线与绝热线的斜率之比为0.714，现一摩尔该种理想气体在图上经历如右图所示的循环。试问：(1)该气体的是多少?(2)循环功是多少?(3)循环效率是多少?分析：（1）它的等温过程方程为，绝热过程方程为，只要分别对上述方程的两边取微分，就可以求出在图上过程曲线的斜率。（2）在求循环功和循环效率时应该注意到，上图画的是图，而不是图。若要避免错误，可以先把它转

39、换为图，然后进行计算。解：（1）分别对等温过程方程和绝热过程方程的两边取微分，可以得到它们在图上过程曲线的斜率，以下标和下标分别表示等温过程和绝热过程。，比较这两个式子可以知道，由此可得：。（2）现在把循环曲线从图转换为图，如右图所示。这是顺时针循环，是热机。计算系统对外作的功，注意（为外界对系统作的功）：等压膨胀过程，等体过程，等温过程,对外作的循环总功=（2）计算系统吸收或者释放的热量：等压膨胀过程（吸热），等体降温过程（放热），等温压缩过程（放热），（3）热机效率=4.6.2一摩尔单原子理想气体经历了一个在图上可表示为一个圆的准静态过程(如下页图所示)，试求：(1)在一次循环中对外作的功

40、；(2)气体从A变为C的过程中内能的变化；(3)气体在ABC过程中吸收的热量；(4)为了求出热机循环效率，必须知道它从吸热变为放热及从放热变为吸热的过渡点的坐标，试导出过渡点坐标所满足的方程。分析：循环曲线是由一段段实线线段连接而成的闭合曲线，而每一线段都可以被认为是某一多方过程的一部分。应该明确，对于在图上可表示为一个实线圆的过程，圆上任何一个有一定大小的有限线段，都不能被认为是某一多方过程的一部分。但是它的任何一个微小线段却可以被认为是某一多方过程的微小部分。从放热变为吸热的过渡点可以被认为是这样一个特殊点：在这一点既不吸热也不放热，所以它也是某一条绝热曲线上的微小部分。既然该点是绝热曲线

41、的一微小部分，也是圆的一微小部分，则该点在这两条曲线上的斜率也应该是相等的，或者说，绝热曲线和圆应该在该点相切。由此可以确定从吸热变为放热及从放热变为吸热的过渡点的坐标。还有一种确定从放热变为吸热的过渡点坐标的方法，这将在4.B.2中介绍。解：(1)从题图可以看出，圆心的横坐标就是A点和C点的横坐标的和的一半，同样B点和D点的纵坐标的和的一半就是圆的纵坐标。若我们取分别作为纵坐标和横坐标的单位，并且纵坐标和横坐标只标定数字而不标出单位，则这个圆和普通的坐标图上的圆就没有什么区别了。从图上可以看出，该圆的半径是“1”。状态方程可写为这样的圆方程圆的半径。在一次循环中对外作的功就是圆的面积，它应该

42、等于纵坐标半径和横坐标半径的乘积再乘上，所以。（2）要求出内能变化就要求出温度变化。由图知，根据盖-吕萨克定律得：，又由理想气体状态方程得：，所以气体从A变为C的过程中内能的变化为：。(3)气体在ABC过程中对外做的功应该等于曲线ABC下面的面积由热力学第一定律得吸收的热量： （4）吸热和放热的过渡点是绝热点，即过程曲线在该点的斜率与绝热线斜率相等。若要求出这一点，只要将状态方程两边对V求偏微商，偏微商的下标标以，表示这是状态方程曲线上的斜率。得到即（1）又将绝热过程两边对V求微分，得（2）从吸热变为放热及从放热变为吸热的过渡点应该满足（1）式=（2）式，从而得到满足这一等式的坐标，显然它们应

43、该满足如下关系即（3）因为是圆上的点，所以还应该同时满足（4）（3）式和（4）式就是从吸热变为放热及从放热变为吸热的过渡点所应该满足的联立方程。4.7.2某空调器是由采用可逆卡诺循环的制冷机所制成。它工作于某房间(设其温度为)及室外(设其温度为)之间，消耗的功率为P，试问：（1）若在1秒内它从房间吸取热量，向室外放热，则是多大?(以，表示之)。（2）若室外向房间的漏热遵从牛顿冷却定律，即，其中是与房屋的结构有关的常数。试问制冷机长期连续运转后，房间所能达到的最低温度是多大?(以、P、表示之)。（3）若室外温度为，温度控制器开关使其间断运转的时间(例如开了3分钟就停7分钟，如此交替开停)，发现这

44、时室内保持温度不变。试问在夏天仍要求维持室内温度，则该空调器可允许正常运转的最高室外温度是多少?（4）在冬天，致冷机从外界吸热，向室内放热，制冷机起了热泵的作用，仍要求维持室内为，则它能正常运转的最低室外温度是多少?分析：这是现在正在广泛使用的热泵，它既能在夏天用来降温，又能在冬天用来取暖的一个理想模型（认为制冷机是可逆卡诺制冷机）。通常制冷机是采用交替开停的方法来控制温度，使房间达到基本恒温的。在达到稳定状态时，在相同时间内，冬天时制冷机向房间传递的热量应该等于房间向外的漏热；夏天时外界向房间的漏热应该等于制冷机从房间取出的热量。解：（1）对于可逆卡诺制冷机，有：，经过变换可以得到（1）又由

45、于，而考虑到在运行稳定时,因而（1）式可表示为，（2）（2）当制冷机长期连续运转后，房间达到的最低温度时制冷机的制冷功率应该等于房间的漏热功率。制冷机的制冷功率是由制冷机的效率公式决定的。房间的漏热功率是由牛顿冷却定律决定的，因而利用（1）式,有（3）即：因为，所以上式中只能取负号，所以有（4）（3）当室外温度为，制冷机长期运转时间并且达到稳态时，这时的房间温度为。我们可以利用这一条件求出。因为在达到稳定状态时，单位时间内外界向房间的漏热应该等于制冷机从房间取出的热量，而后者可以用（2）式来求出，不过其中的应该用来代替。这样，就有（5）将，代入（5）式，可以得到（6）到了夏天仍要求维持室内温度

46、，若该空调器可允许正常运转的最高室外温度（设为），而室内温度仍为。这时达到稳态的条件同样是：制冷机的制冷功率应该等于房间的漏热功率。但是现在空调器是不间歇地连续运转,在（5）式中的应改为，即（6）得到（7）（4）在冬天要求维持室内温度，设它能正常运转的最低室外温度为，则参考（6）式，有（8）将（5）中的代入，可以得到 对于任何物质，证明两绝热线不能相交。分析：本题和上题一样也是针对任何物质而言的，也要利用热力学基本定律（即利用永动机不可能造成的），由反证法来证明。例如先假定两绝热线已经相交，其结果会形成一种永动机，从而说明这是不可能的。因为永动机是做功的机器，所以要在图上构造一个顺时针循环。但

47、是两根相交的绝热线不能构成循环，而且它也不吸收热量。我们应再增添一条从单一热源吸热的等温线，这条等温线和那两条绝热线相交组成一个顺时针顺循环，看这样是否会违背热力学基本定律。解：假设在图上两条绝热线A、B相交于点“1”，则可作一等温线C与它们分别相交于点“3”和点“2”。线段“”、“”和“”围成一闭合区域。现在也分两种情况进行讨论。（1）若“1”点在等温线上面，如题（a）所示。利用闭合曲线做一正循环“”。在此循环过程中对外做了功（其大小就是闭合曲线所围的面积），它却仅在“”等温过程中放热。这说明系统可以在不吸收热量，甚至在放热的情况下对外做有用功，这违反热力学第一定律。（2）若“1”点在等温线

48、下面，如图（b）所示。利用闭合曲线做一正循环“”。此循环过程只在“”等温过程中从单一热源吸热对外做了有用功而无其它影响,这违反热力学第二定律。所以，两绝热线不能相交。5.3.1如下图所示，图中为等温线，为绝热线，和均为等压线，为等体线。（理想气体）在“1”点的状态参量为，在“3”点的状态参量为。试分别用如下三条路径计算：（1）；（2）；（3）。分析：这是一个通过计算来说明熵是态函数,熵的变化仅和初、末状态有关,而和变化路径无关的习题。因为能够用实线表示的状态变化图线一般都可以认为是可逆变化过程，所以可以用来计算熵变。解：（1）“”为等压过程，。而“”为等体过程。注意到为双原子分子，。所以在“”

49、过程中的熵变为（2）“”为等温过程。其熵变（3）“”过程是由“”的绝热过程，（1）和“”的等压过程（2）所组成的。联立（1）式、（2）式，考虑到，得到“”点的温度其熵变一长为的圆柱形容器被一薄的活塞分隔成两部分。开始时活塞固定在距左端处。活塞左边充有,的氦气，右边充有的氖气。它们都是理想气体。将气缸浸入1升水中，开始时整个物体系的温度均匀地处于。气缸及活塞的热容可不考虑。放松以后振动的活塞最后将位于一新的平衡位置，试问这时:（1）水温升高多少？（2）活塞将静止在距气缸左边多大距离位置？（3）物体系的总熵增加多少？分析：开始时活塞是被固定的,放松以后活塞振动起来。说明开始时活塞两边压强不等，物质

50、的量也不等。考虑到气缸内的氦气和氖气作为一个整体它不可能对外做功，而开始时整个物体系（气缸以及内中的气体和外面的水）的温度均匀地处于，它不可能和外界交换热量。所以一开始气缸以及内中气体的内能就不变，温度不变，以后温度应该仍然不变。水的温度也不变。解：（1）水温保持不变。（2）设初态氦气的状态参量为：；（说明：式中为长度的单位，下面同样如此表示）。初态氖气的状态参量为：；。末态氦气的状态参量为：；。末态氖气的状态参量为：；。其中为静止时活塞距气缸左边的距离。由于物质的量和温度都不变，所以有：，这样就可以得到即活塞静止在距气缸左边处。（3）整个气体的熵变等于氦气的熵变和氖气的熵变之和。注意温度始终

51、不变。利用理想气体熵变公式，则5.3.3水的比热容是。(1)、的水与一个的大热源相接触，当水的温度到达时，水的熵改变多少?(2)如果先将水与一个的大热源接触，然后再让它与一个的大热源接触，求整个系统的熵变。(3)说明怎样才可使水从变到而整个系统的熵不变。分析：本题是计算在热传递过程中的熵变问题。由于本题“（1）”和“（2）”都是在其温度差不满足条件下的热传递，因而是不可逆的。应该设想水所经历的是另一个其初、末态都和它的初、末态相同的可逆过程。例如：水在等压条件下依次和一系列的温度从逐步上升到的热源相接触，相邻两热源之间的温度差满足条件。只有水达到新的平衡态以后，才脱开原来的热源，再和下一个温度

52、的热源相接触，使达到下一热源的温度。如此使得水的温度也逐步从上升到。这样就可以认为水在任何时刻的温度都几乎是处处相等的，它始终满足热学平衡条件，因而是可逆的。由于这两个可逆和不可逆过程的初、末态相同，因而熵变相同。解：（1）设水的初温以表示，水的终温为，水的比热容为。则水的熵变为（2）整个系统的总熵变应为水的两次熵变与热源的两次熵变之和。设水的初温为，热源的温度以表示，热源的温度以表示。由于热源和热源都处于恒温下，它们放的热量分别为，（1）两个热源的熵变分别为：，（2）水在两次传热过程中的熵变分别为， （3）整个系统的总熵变为：（4）（3）我们看到，在“（1）”中，水和热源的总熵变为（5）注意

53、到（5）式的总熵变小于（4）式的总熵变，可知增加一个中间温度（）的热源以后，水和热源合在一起（它们是绝热系统）的总熵变减小了。可以估计到，中间温度的热源数越多，水和热源合在一起的总熵变就越小。显然，若要使水和热源合在一起的熵不变，应该使水所经历的是可逆过程。即按照“分析”中所描述的那样，使水与一系列温度相差无穷小的热源相接触，使得水所经历的是可逆过程。按照熵增加原理，绝热可逆过程总熵不变。5.3.4一直立的气缸被活塞封闭有理想气体，活塞上装有重物，活塞及重物的质量为，活塞面积为A，重力加速度为，气体的摩尔热容为常数。活塞与气缸的热容及活塞与气缸间摩擦均可忽略，整个系统都是绝热的。初始时活塞位置固定，气体体积为，温度为。活塞被放松后将振动起来，最后活塞静止于具有较大体积的新的平衡位置，不考虑活塞外的环境压强。试问：（1）气体的温度是升高、降低，还是保持不变？（2）气体的熵是增加，减少还是保持不变？（3）计算气体的末态温度。分析：从活塞被放松以后振动起来可以知道，活塞被放松以前气缸内气体的压强应该大于活塞加上重物