空间几何体及其表面积和体积知识点及题型归纳总结

1、空间几何体及其表面积和体积知识点及题型归纳总结知识点精讲一、构成空间几何体的基本元素点、线、面（1）空间中，点动成线，线动成面，面动成体.（1）空间中，不重合的两点确定一条直线，不共线的三点确定一个平面，不共面的四点确定一个空间 图形或几何体（空间四边形、四面体或三棱锥）.二、简单凸多面体棱柱、棱锥、棱台1棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由 这些面所围成的多面体叫做棱柱.（1）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；（2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；（3）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；（4）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；（5）直平行六面体：侧

2、棱垂直于底面的平行六面体；（6）长方体：底面是矩形的直平行六面体；（7）正方体：棱长都相等的长方体.2棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做 棱锥.（1）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心；（2）正四面体：所有棱长都相等的三棱锥.3棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得 的棱台叫做正棱台.简单凸多面体的分类及其之间的关系如图8-1所示.直平行六面体正多面体梗雉一正梗锥正西面板正四梗柱08-1三、简单旋转体圆柱、圆锥、圆台、球 1圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的

3、面所围成的几何体叫做圆柱.2圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做 圆锥.3圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台.4球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距 离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）.四、组合体由柱体、椎体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体.五、表面积与体积计算公式（见表8-1和8-2）表8-1表面积柱体S直棱柱二c + 2s底S斜棱柱c l + 2 S底（c为直截面周长）S = 2 兀 r 2 + 2 兀 rl = 2 兀 r （r +1

4、）圆锥椎体S=1 nah + S正棱锥 2底S=兀 r 2 +兀 rl =兀 r (r +1)4台体S= 1 n (a + a) h + S + S正棱台 2上下S-n( r2 + r 2 + rl + rl)圆台I球S = 4 兀 R 2表8-2台体7台= 3(S + Sss7 + S) h公球V = 3 兀 R 3题型归纳及思路提示题型1几何体的表面积与体积思路提示熟悉几何体的表面积、体积的基本公式，注意直角等特殊角.例8-1三棱锥P- ABC的侧棱PA， PB，PC两两垂直，侧面积分别是6， 4，3，则三棱锥的表面积是，体积是.解析 如图 8-2 所示，设PA = a， PB = b，

5、PC = c（a， b， c 0），/ 6产二 12则k=4，得 bc = 8 ,二式相乘得a2b2c2 =I2| ca = 6、c = 3因此|a = 4 ,又侧棱PA, PB, PC两两垂直, c = 2b12x8x6 ,所以abc = 24 ,AB = Ja 2 + b2 = 5所以I BC =曲2 + c2 = 2屈CA =c 2 + a 2 = /T4由余弦定理可得BC 2 + CA 2 AB 2 BC 2 + CA 2 AB 2cos / BCA =2 BC gJA2 BC gJA TOC o 1-5 h z Qy5 ) + (l3 )- AB 222 X 2 君 八：1365，所

6、以 S 表=6 + 4 + 3 +%百=13 +、.,61 ,体积V = abc = x24 = 4 . 66评注：若三棱锥P- ABC的侧棱PA,PB,PC两两垂直，则类比直角三角形中的勾股定理有，S2 = S2 + S2 + S2(本题S = V62 + 42 + 32 = V61 ), V=1 PAgPBgPC .V ABC V PAB V PBC V PCAABCP - ABC 6变式1如图8-3所示，在VABC中，/ABC = 45o,/BAC = 90o , AD是BC边上的高，沿AD把VABD折起，使/BDC = 90o .若BD = 1 ,求三棱锥D ABC的表面积.图8-3变

7、式 2 如图 8-4(a)所示，/ACB = 45o, BC = 3且异于点B ,连接AB，沿AD将VABD折起, 为多少时，三棱锥A-BCD的体积最大.(a)BE图 8-4(b)变式3已知正四棱锥S ABCD中，SA = 273 ,A. 1B.拒C. 2,过动点A作AD BC ,垂足D在线段BC上使/BDC = 90o (如图8-4(b)所示).当BD的长MX那么当该棱锥的体积最大时, 它的高为( ).D.3例8.2如图8-5所示，在长方体ABCD A1 B1C1 D1中，AB = AD = 3cm , AA1 = 2cm ,则四棱锥A BB1 D1 D的体积为 cm3 TOC o 1-5

8、h z 图8-S图8 6解析如图8-6所示，连接AC交BD于O ,在该长方体中AB = AD = 3cm ,故底面ABCD为正方3 t2形，即AO BD ,且AO = cm ,又显然平面BBDD L 平面ABCD，故AO 平面 HYPERLINK l bookmark75 o Current Document 2111=BD 义 BB 义 AO =BB1D1D . HYPERLINK l bookmark12 o Current Document 义 3% 2 义 2 *2 = 6 (cm3) 32变式1 （2012山东理14）如图8-7所示，正方体ABCD - ABCD的棱长为1, E, F

9、分别为线段 1111AA ,BC上的点，则三棱锥D -EDF的体积为11图-7思路提示半径为R的球O ,表面积S = 4nR2 ,体积V = 4几R3 ;球面上A,B两点的球面距离为a R , 其中a =ZAOB （弧度制）.这里可知球的表面积、体积计算实质是求半径.例8.3已知三个球的半径R1,R2,R3满足R1 + 2R2 = 3R3 ,则他们的表面积S 1,S2,S3满足的等量关系 是 .解析S1= 4 冗 R12,即 R1=唾,同理得R 2= 2SZ,R3 = gZ ,由R1 + 2 R2 = 3 R3得R-1R2变式2正方体的内切球与其外接球的体积之比为(A.B. 1:3C. 1:3

10、73D. 1:9题型2思路提示几何体的外接球与内切球变式1若球O , O 的表面积之比S = 4，则他们的半径之比 12S24(1)半径为R的球O ,表面积S = 4冗R2 ,体积V = 3几R3设小圆O 半径为r,OO = d ,则d2 + r2 = R2 ;若A,B 是O 上两点，则11/AOB/AOBAB = 2 r sin= 2 R sin22(3)作出关键的轴截面, 在此轴截面内寻找集合体的棱长或母线长与球之间关系.32例8.4已知正方体外接球的体积是y九, 那么正方形的棱长等于( )A. 2V223艮亍C.4；3D. 丁分析 正方体外接球的直径为正方体的体对角线.解析设正方体的棱长

11、为。，外接球半径为R ,则4兀R3 32兀3 =亍 n2 R = 33aR=243 .故选D. a =3变式1一个长方体的各顶点均在同一球的球面上, 且一个顶点上的三条棱额长分别为1,2,3,则此球的表 面积为 .变式2正四面体的棱长为工；2 ,则该正四面体的外接球的表面积为 例&5正三棱柱ABC-AiBq内接于半径为2的球，若A，B两点的球面距离为兀，则正三棱柱的体积为解析 设O 为球心，由题意知2xZAOB=n,”.ZAOB n AB = 2 x 2sm2，八兀ZAOB =_2 ,底面圆的半径为：AB = 22AB2 t2 26_ 一 =- = , 则U正三棱柱的高为2x2sin上八 33

12、22 -24 3, 所以正三棱柱的体积为义以2)义433 = 8111变式1直三棱柱ABC - ABC的各顶点都在同一球面上，若AB = AC = AA = 2, / BAC = 120。，则此球的表面积等于变式2直三棱柱ABC - ABC的1116个顶点都在球O 的球面上，AB = 3, AC = 4, AB 1 AC, AA1 = 12 ,则球O的半径为( ).3 17A. 2B. 2 1013C.2D. 3 10则该3 3A. TB.解析设正三棱锥的底面边长为。-a- = 2sin 3h=11 、；3 一V = -x a 2h3 4a = 3-3 .故选C.V = -4变式1已知S,A,

13、B,C是球O表面上的点,平面 ABC, AB BC,A = AB = 1,BC = 2,则例8.6 一个正三棱锥的4个顶点都在半径为1的球面上,其中底面的3个顶点在该球的一个大圆上, 正三棱锥的体积是(的表面积等于( )4兀3冗2兀D.九变式2已知三棱锥S- ABC的所有顶点都在球O 为O的直径，且SC = 2 ,则此棱锥的体积为(的球面上, VABC 是边长为 1 的正三角形, ).SCA 二 B. f T D. V6632变式3高为彳2的四棱锥S- ABCD的底面是边长为1的正方形，点S, A,B,C,D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为()A.B.C. 1 D.、:2最有效训练题.若圆锥的侧面展开图是圆心角为120 o ,半径为l的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是 ().A. 3:2 B. 2:1 C. 4:3 D. 5:3. 一个长方体上一个顶点所在的三个面的面积分别是五，瓜工,这个长方体的体对角线长为().A. 23 B. 3 c2C. 6D. 6.如图8-8所示，在等腰梯形ABCD中，AB = 2DC = 2,/DAB = 60o , 为AB的中点，将VADE与VBEC分别沿ED和EC向上折起，使A, B重合于点P ,则三棱锥P - DCE的外接球的体积5.侧