空间解析几何数学竞赛辅导

1、范文范例学习指导空间解析几何数学竞赛辅导一.向量代数1、已知空间中任意两点M 1(x1, y/J和M 2(x2, y2,z2),则向量TM1M 2 = (x2 - Xi, y2 - yi, z2 - z1)2、已知向量 a =(a1,a2, a3)、b = (b1,b2,b3),则(1)向量 a 的模为 | a |= . a： , a22 a32a 二 b 二(a1 二b1,a2 二b2,a3 ：b3)/- T / - _ - _ - _ , a = (.；.a，.a2, .a3)3、向量的内积a b/人、a b =| a | | b | cos : a, ba b = a1bl a2b2 -

2、 a3b3其中为向量a , b的夹角，且0 W b_a a b_bj TOC o 1-5 h z TTTijkT Ta b = a1a2a3b1b2b3ab： ab=电二生二曳 b1b2b3T f f fa b = a b = 0 = a1bla2b2a3b3 = 0几何意义：|a、b|代表以a,b为邻边的平行四边形的面积word完美格式范文范例学习指导平面上三点A(%,y,0), B(x2,y2,0) , C(x3,y3,0)构成的三角形的面积为S ABCi r F i| AB AC |X2 一 X1y2 一 yiX3 一 Xiy3 一 yii X2 -Xi2 X3 . Xiy2 一 Viy

3、3 一Vi的绝对值yi也可以写成SABCX2X3y2y3的绝对值5.混合积：(a，b，c)=(b c)(i)注意：(兄，占)=(b,c, a) = (c,a,b)Xi坐标表示：(a，b，c)= a(-0 =X2Viy2ZiZ2其中,X3y3Z3a= Xi,yi,Zi , b= x?2% , c= %*、入 (3)几何意义：(a,b,C)的绝对值表示以a,b,c为三条邻边的平行六面体的体积。a，b，c共面的充要条件是(a，b，.c)=0。空间不共面的四点 人(不，乂，马)，B(X2, y2，Z2)，C(X3，y3，Z3)，D(X4, y4，z4)构成的四面体的体积为word完美格式范文范例学习指

4、导xi yi zi 1w 1 X2 y2 Z2 1 v= 一6 X3 y3 4 1X4 V4 Z41X2 -x1X3 -为x4 - X1y2 - %y3 一、1y，一 y1Z2 - ZZ3-z1Z4Z1的绝对值。口 r r ，人一一一一u八、(它实际是以AB, AC, AD为邻边的平行六面体的体积的六分之一)例 1 设径矢 OA = r1 , OB = r2 , OC = r3,证明R = r1 m r2 + r2 x r3 + r3 M 口 垂直于 ABC?F面.证明：由于 AB Q = (2 -rJ & 义 L) + (2 父自)+(个J a -* &J i II- -i-Li- B IJ

5、- -if i-二(r2 r1r2)(r2 r2 r3) (r2 r3 rl) Yr1r1r2) -(r1r2 r3) -(r1r3 rjp- r * *二 (nr2 r3) -(r1 r2 r3)=。，所以 aB_lr.同理可证 AC_LR.所以 R_L平面ABC例2.设P是球内一定点，A, B, C是球面上三个动点./APB = /BPC =2CPA = n/2.以pa, pb, PC为棱作平行六面体，记与P相对的顶点为Q求Q点的轨迹.（见北京大学2007考研题）【帆】役球的中心为。.单褂为，户则由=0户+户工有r-+ 2而+百+|丙同理,由丽二丽+丽及历二而:正可得产=/+20户“哨十|

6、严后产=小十赤正+|正word完美格式范文范例学习指导2万(丙+丽十斤+|而+|而无i：厂到门。门尸一上尸出一尸八，根据13Ml PAPH-O. PNPH - 0，P 4 mo.并利用向量内积的性脑,得|而|旧而+2丽可+而+反)+|两+|而+ |斤= t/2+3(r2-d2) = 3r2-2d这表明动点Q到球心。(定点)的即离是常数R = 历二百7、因此，Q点的轨涟是以。为中心,R为半径的球面.二.直线与平面方程(一)、平面1、平面的点法式方程已知平面过点P(X0,y0，Z0),且法向量为T*=(A,B,C),则平面方程为A(x - Xo) B(y - yo) - C(z - z0) = 0

7、注意：法向量为n=(A,B,C)垂直于平面2、平面的一般方程 Ax + By+Cz + D=0,其中法向量为U=(A, B,C)3、求平面方程的主要方法(1)过直线jAx + B1y+Gz + Di =。的平面方程可设为 Ax + Bzy+C2Z+ D2 =0(Aix Biy Ciz Di) ，(A2x B2y C?z D2) =0如果直线方程是点向式或参数式可转化为上述形式处理, x + y + z+ 4 = 0 _ _. .，_. _. . . _ . .、例(i)在过直线,x y z 4 0的平面中找出一个平面，使原点到它、x +2y + z = 0的距离最长。(2)平面过OZ轴，且与平

8、面y-z = 0的夹角为60,求该平面方程word完美格式范文范例学习指导(两平面夹角等于两法向量的夹角或两法向量的夹角的补角)求过点M(1QT和直线等=彳=彳的平面方程过直线蓝:二:作平面，使它平行于直线x - y-4 = 0y z 6 = 0(5)过平面2x + y =0和4x+2y+3z =6的交线作切于球面x2 + y2 + z2 = 4的平面(6)求由平面2xz+12=0,x+3y +17 = 0所构成的两面角的平分面方程(2)利用点法式求平面方程注意：(i)任何垂直于平面的向量二均可作为平面的法向量(ii )和平面 Ax+ By +Cz + D =0平行的平面可设为 Ax + By

9、 + Cz + D1 = 0(iii )如存在两个向量a =(a1, a2,a3)、b =也,b2, b3)和平面平行(或在T i 平面内)，则平面的法向量为n=aMb = aibi例1 (1)已知两直线为 二二二二三1,左3 =口=上求过两11-11-12直线的平面方程(2)求过A(8,-3,1)和B(4,7,2)两点，且垂直于平面3x + 5y - z - 21 = 0的平面一平面垂直于向量(2,1,2)且与坐标面围成的四面体体积为9,求平面方程(4)已知球面x2+y2 +z2 -2x + 4y _6z = 0与一通过球心且与直线,x二 垂直的平面相交，求它们的交线在 xoy面上的投影J-

10、z=0例2.已知椭球面word完美格式范文范例学习指导222 HYPERLINK l bookmark6 o Current Document x yz,+ +=1222a bc(c a /3和子 交的直线方程 解：设所求直线的方向向量为（a,b,c）,已知两直线的方向向量为（1,2,3）、(2,1,4),且分别过点(0,0,0)、(1,2,3)1 1 1贝(J 1 2 3 =0 ,即 a2b + c = 0;a b c-11b-24 =0 ,即 a+2b-c=0c故a=0,c=2b,故(a,b,c)=(0,1,2)所求直线为二012已知两异面直线广9r!和、1=一=、！,求它们的距离 与公垂

11、线方程求与直线f二平平行且与下列两直线相交的直线z = 5x - 6z = 4x + 3和z = 2x -4、z = 3y +5（4）求过点P（1,-2,3）与z轴相交，且与已知直线=逮垂直的43- 2直线方程（三）有关知识补充：1.不在一条直线上的三点口（为，y，乙）。=1,2,3）的平面等价于PP,PP2,P3 共面word完美格式范文范例学习指导u (RP,PP2，PP3)= 0ux - X1X2 一 X1X3 一 Xiy- Viy2 - yly3 一 y1z- ZiZ2 - Z1Z3 一 Z12.二条直线 L1 : P = R tG ,L2：P =B + tS2共面I T T-(PP2

12、$S)=0 =X2 - X1V2 - V1Z2 - 乙11m1n1= 0 .12m2n2于是L1与L2异面ux2 - x1I1l2V2 - V1Z2 - 4m1n1# 0m2n2,T T T（甲20）=0 TOC o 1-5 h z 另外：L1与L2相交y H HT-、父s2 = 0（即:与l2不平仃）3.点 P(x0,y0,Z。)到平面 Ax+ By+ Cz+ D = 0 的距离7| Ax。 By。 CZ0 D |d = , A2 B2 C24.点 P(x0，y0,Z0)到直线 L (过点 A(a,b,c),方向向量为 S = (1,m,n)dInsiLSt-0的t-d离 距 的 TOC o

13、 1-5 h z 4ijk| a-% b- yo c- zo |(a-%,b-yO,c-z0)M(l,m,n)| _1m Jl2 m2 n2l2 m2 n2word完美格式范文范例学习指导.两条异面直线的公垂线方程两条异面直线Li, L2的公垂线L可以看作是过LL的平面与过LL2的平面的交线，即0f T T(P“,Si,Si)皆=0(P-BSB S2)= 0写成分量的形式为x X1I l1i II X - X2l21y - yiz- zi TOC o 1-5 h z mini=0mny - y2z- Z2m2n2= 0mn此处，（l,m,n） = （Ii,mi,ni）M （I2,m2,n2）。

14、.两条异面直线之间的距离：等于 而在S上的投影，即d = 1Ppi S| = |叫,峥）|S|Si0 0例I.直线L的方程为：Ax Biy Ciz Di - 0A2x B2y C2z D2 = 0问系数要满足什么条件，才能使得直线：（I）过原点；（2）平行于x轴，但不与x轴重合；（3）与y轴相交;（4）与z轴重合。（见北京大学2007考研题）word完美格式范文范例学习指导【解】(I)将原点(0.0,0)的步标代入直线的Zi程.得R = 1): = 0.(2)因为L平行于工轴，所以工轴方向的向量(L0E)与向量(4用.CJ和(4) 都垂直，由此得A = 4=O.(UL 4M轴不重自，所以9不0

15、或乌n0至少有一个成立，(3)没(0.小0)是上与.v轴的交点，则崎,0.否则为格脖(I，代入心的方程，福及 y* + 办=0 . B 一 / + D2 = 0 .于是由刍-&.用 小(4)由(1与(2)的蒯U如.L与二轴重合当艮仅当。=Q = 口 = R =0.x y -1 z 1 x 1-1例2.已知二直线Li :彳=二丁 = 0一, L2：一厂(1)说明它们异面；(2)求它们的公垂线方程；(3)求它们之间的距离-14 4-1解(1)(F1P2，S1,S2)= 12一1 0 =30 0,所以异面-1 2(2)S1S2ijk1-1 0=(-2,-2,1),公垂线方程为2-12x y - 1

16、z + 11-10=0-2-21x + 1y- 1z2-12=0-2-21x y 4z 3 = 0即彳1 x-2y-2z 3-0(3)距离为T T Td =% S| = |代七斗2)1 = 3= 1|S|1sls2 |44 4 1word完美格式范文范例学习指导同类型题：求直线x = 3z -1l1：；y=2z-3 和直线y = 2x - 512 Tz=7x+2的公垂线l的方程及两条直线之间的距离 解：先将给定的直线ll及12的一般方程转化成对称式方程,x 1 y 3 z - 0 , x - 0 y 5 z - 2 11 ：, 12 ：321127x - 3z 1 = 0再按第二题的做法。答案

17、：37x+ 20y-11z+122= 0一_ _. x -1 y 2 z-5 一例3.平面通过两直线 L1 :-= 工一=-和 TOC o 1-5 h z 121x y 3 z 1L2： = 3 = 的公垂线L ,且平行于向量c= (1,0,- 1),求32此平面的方程.I jk解s= S1x S2 = 1 2 1 = (1,-1,1),1 3 2Ijkn = s c T -11 = (1,2,1)。10 -1设L与Li , L2的交点分别为A, B ,则A(1+t,-2+2t,t + 5),Bd,3“-3,2“-1),word完美格式范文范例学习指导AB(九一1 一 t,3人一1 2t,2九

18、一t 6)。不口 -1-t 3 -1-2t 2 -t -6八 LABs= -= , 解得 t= 6，= 5,1-11A(7,10,11),所求平面方程为(x-7) + 2(y-10) + (z-11)= 0 ,即x+2y+ z380 =例4. 一直线L过点（2,6,3）,与平面”:x- 2y + 3z- 5= 0平x - 2 y一 2 z - 6行，且和直线1i : - = - = 相交，求此直线方程。-5- 82a ,、，、 , x - 2 y-2 z - 6解不妨设直线方程为l :一11= ，其中l, m, n待定。 l m nL 二 1父 l - 2父 m+ 3父 n= 0。（1）L与相

19、交二L与1i共面二2-2 6-2 3-6-5-82 = 0= 16l-15m-20n = 0 ,小。 l m n由（1）和（2）彳# l = 5n, m = 4n ,代入L的方程得word完美格式范文范例学习指导三.曲线族形成的曲面(一)柱面1、设柱面的准线方程为?1(X，y，Z)=0,母线的方向向量T=(ViY，V3), f2 (x,y,z) = 0求柱面方程方法：在准线上任取一点M(xi，yi，zi),则过点M (Xi, %,乙)的母线为X - Xi 二 y - yiZ - Zi TOC o 1-5 h z ViV2f2 (xi, yi , Zi ) = 0( 2 )(3)又因为M (Xi

20、, yi,Zi)在准线上，故f i (Xi, yi,乙)=0( i)令x - Xi _ y - yi _ z - Zi _ViV2V3由(i)、(2)、(3)消去卬火？求出t,再把t代入求出关于X,y,Z的方程F (x, y, z) = 0 ,则该方程为所求柱面方程22 ,2,2,例i：柱面的准线为X y, zJ1 ,而母线的方向为V=-i,0,i, 2x2 +2y2 +z2 =2求这柱面方程。解：在柱面的准线上任取一点M (Xi,yi,Zi),则过点M (Xi,yi,Zi)的母线为X - Xi = y - yi _ z - Zi-i -0 一 i即 Xi =x+t , y1 =y, Zi =

21、z-1 (i)又因为 M (xi, yi ,Zi)在准线上，故 Xi2 + yi2 + Zi2 = i ( 2) , 2x： +2y, + z，= 2(3)由(1) (2) (3)彳x2 + y2 + z2+2xz-1 = 02、圆柱面是动点到对称轴的距离相等的点的轨迹，该距离为圆柱面的半径把与一条定直线的距离是一个定常数的空间动点的轨迹称为直圆柱面，定直线叫做直圆柱面的轴，定常数叫做直圆柱面的半径。T T 如果轴的方程为直线P=2 + tS,半径为R,则直圆柱面的方程为word完美格式范文范例学习指导(MP0MS：|S|=R,其中 M (x,y,z)。方法：在圆柱面上任取一点 M 0(Xo，

22、y0,Zo),过Mo(X0,yo,Z0)点做一平面 垂直于对称轴，该平面的法向量为对称轴的方向向量， 把该平面方程 和对称轴方程联立求得平面和对称轴的交点 M 1(x1412),则| M 0Mli为 圆柱的半径例2：已知圆柱面的轴为二=H=n，点M1 (1, -2, 1)在此圆柱 1-2-2面上，求这个圆柱面的方程。解：设圆柱面上任取一点M 0(X0, y0, Z0),过点M0(X0,y0,Z0)且垂直于轴 的平面为(x - X0) - 2( y - y0) - 2(z - z0) = 0轴方程的参数式为X=t, y=12t,z = -12t代入平面方程得X0 - 2 y0 - 2 z0 t

23、二9故该平面和轴的交点为X0 2y 2z0 9 2X0 4y0 4z0 -9-2x0 4y0 4z0999过点M1(1,2 1)和轴垂直的平面和轴的交点为(33( 因为圆柱截面的半径相等，故利用距离公式得- 2_2_2_ 一 一 一 一8x 5y5z4xy 4xz - 8yz - 18y 18z -99 = 0注意：也可找圆柱面的准线圆处理 例3:求以直线x=y=z为对称轴，半径R=1的圆柱面方程解：在圆柱面上任取一i点M 0(X0, y, z),过点M0(x0,y0,z0)且垂直于轴 的平面为(X -X0) (y -y0) (z -z0) =0轴方程的参数式为x=t,y=t,z = t代入平

24、面方程得,x0 y0 z0T -word完美格式范文范例学习指导 TOC o 1-5 h z 故该平面和轴的交点为M(Xo + yoZo,Xoyo*Zo,Xo+yo+Zo) 333则MMi的长等于半径R=1故利用距离公式得(X0 X0y0Z0、2 . Xo yo Zo 2 /Xo yo Zo 2.)(yo )(Zo ) =133即所求方程为(2X0 - yo -Zo)2 - (-Xo 2y0 - Z。)2 , (-X。- y0 - 2z。)2 = 9例4.求过三条平行直线乂=丫 =书+1 = 丫 = 2-1，与乂-1 =尸1 = 2-2的圆 柱面方程。解：过原点且垂直于已知三直线的平面为 X

25、+ y+z=0：它与已知直线的交点为(0,0,0)(-1,0,1),(1, -1,9),这三点所定的在平面X+y + z = 0上33 3的圆的圆心为Mo(-2,-U,),圆的方程为：98751515 15(X 急2 (y )2 回口2x y z = 0此即为欲求的圆柱面的准线。又过准线上一点乂乂”工),且方向为11,1,1的直线方程为:X = X1 tX1 = X - ty 二 y1 t - y1 = y -1z =乙, t乙=z 7将此式代入准线方程，并消去t得到：5(x2 y2 z2 -xy - yz -zx) 2x 11y -13z = 0此即为所求的圆柱面的方程。附：(09年数学专业

26、竞赛题)求经过三条平行直线L1：x = y = z, L2：x-1 = y = z+1,L3：x = y +1 = z-1的圆柱面的方程.(15分)word完美格式范文范例学习指导(二)锥面锥面是指过定点且与定曲线相交的所有直线产生的曲面。这些直线是母线，定点为顶点，定曲线为准线。1、设锥面的准线为 J(x，y，z)=0,顶点为M(x,y,z。)，求锥面方程 f2(x,y,z) =0方法：在准线上任取一点Mi(Xi，yZi),则过点Mi(Xi, yi,Zi)的母线为 TOC o 1-5 h z x-XoL = 1-y0L=z-Z0L(i)xi - X0 yi - y0 zi - Z0又因为M

27、(xi, yi ,zi)在准线上，故fi(xi,yi,zi)=0(2)f2 (xi yi , zi) = 0(2)由(i)、(2)、(3)消去 xi,yi,z1求出关于 x, y,z 的方程 F(x,y,z) =0 ,则 该方程为所求锥面方程22x y例i锥面的顶点在原点，且准线为二+记=1，求这锥面方程。a bz = c解：在准线上任取一点Mi(xi, yizj ,则过点M i(xi,yi,zi)的母线为_ y _ zyi zi22又因为M(x11yl ,乙)在准线上，故+冬=i且z1 =c a b222上面三个方程消去xi,yi,zi得三+匕J = 0a b c2、圆锥面空间动点到一条定直

28、线l上的定点A的连线与该定直线的夹角成定角，这样的动点的轨迹称为 直圆锥面，定直线l和它上面的定点A分别叫做直圆锥面的 轴和顶点，定角(锐角)叫做直圆锥面的 半顶角,-TH如果轴的方程为直线l: P =2+ tS , P0为顶点，Q为半顶角，则直word完美格式范文范例学习指导圆锥面的方程为MP0 S|MPo|S|已知圆锥面的顶点M0(X0,y0,Z0),对称轴(或轴)的方向向量为v = (Vi, V2 ,V3),求圆锥面方程方法：在母线上任取一点M(x,y,z),则过该点的母线的方向向量为fn = (x - X0, y - y0,z - Z0)利用V和n的夹角不变建立关于x,y,z的方程，该

29、方程为所求 例2求以三根坐标轴为母线的圆锥面的方程。(x + y + z)2 =x2 + y2 +z2)解：在坐标轴上取三点(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1),则过三点的平面为故对称轴的方向向量为(1,1,1), 一条母线的方向向量为(1,0,0),J-则母线和对称轴的夹角为1+1m0+1x0 = V3m1mcoso(,即cos二23在母线上任取一点M(x, y,z),则过该点的母线的方向向量为n = (x,y,z)x y z = x2 y2 z2 一 3cos：所以(x y z)2 = x2 y2 z2例3圆锥面的顶点为(1,2,3),轴垂直于平面2x+2y-z+1 = 0,

30、母线和轴成30,求圆锥面方程解：在母线上任取一点M(x,y,z),轴的方向向量为(2,2,-1),母线的方向向量为 n = (x-1, y - 2,z-3)贝U2(x-1) 2(y-2)-(z-3) = . (x -1)2 (y -2)2 (z-3)2 9cos300即 4(2x 2y -z-3)2 =27(x -1)2 27( y -2)2 27(z -3)2例2.已知两条直线L：x = y = z, L2? = Y=b。1 a 1word完美格式范文范例学习指导(1)问：参数a,b满足什么条件时，Li与L2是异面直线？(2)当Li与L2不重合时，求L2绕Li旋转所生成的旋转曲面n的 方程，

31、并指出曲面n的类型。(09年首届全国大学生数学专业竞赛题)TT解(1) =(1,1,1),Mi(0,0,0) , S2 = (1,a,1),M2(0,0,b),1111a1 = b(a - 1)0 0b所以当a#1且b#0时，L与L2是异面直线。(2) L与L2不重合意味着不能同时有a=1,b=0,于是当a = 1,b，0时，L与L2平行不重合，此时L2绕L旋转所生成的旋转曲面冗为直圆柱面，其方程满足ijk HYPERLINK l bookmark94 o Current Document | xyz |111、1 1 1,001,% 1 1 1|(y-z,z- x,x- y)|=|(-b,b

32、,0) |化简整理得2.2.22x y z - xy - yz - xz- b = 0. x y z30时,l2m此时L与L2相交于原点,L2绕L1旋转所生成的旋转曲面7r为直圆锥面，方程满足|1 a 1|_ |x y z|bxv化简整理得word完美格式范文范例学习指导(2a + 1)(x2 + y2 + z2) - (2 + a2)(xy + yz+ xz) = 0。(三)、旋转曲面-F(x,y,z) = 0-给定母线C:二y i 它绕直线L:P = A+tS旋转的曲面，1G(x,y,z) = 0相当于以A为球心AP。长为半径的球面，与过P。以S= (l,m,n)为法向量的平面的交线 为曲

33、线族形成的曲面,设旋转曲面的母线方程为；f1(x,y=0,旋转轴为 f2 (x,y,z) =0匚包=其二生=二之，求旋转曲面方程X Y Z方法：在母线上任取一点M 1(玉,y1, zj ,所以过Mi(xhyL 的纬圆方程X(x _Xi) +Y(y -y1)+Z(z-Zi) =0= ,、2,、2,、2,、2,、2,、2、(x-Xo) +(y-y) +(z-Zo) =(xI-x) +(y-y) +(z1-z)又因为Mi(x 丫乙)在母线上，有开1G，%,乙)=0=J2(Xi, %,乙)=0由上述四个方程消去X1,y1, Zi的方程F (x, y,z) = 0为旋转曲面例1求直线4 = 丫=马二绕直

34、线l ： x = y = z旋转一周所得的旋转曲面的 210方程。解：在母线上任取一i点M 1(x1, Yi，Zi),则过M 1(x1,%,乙)的纬圆方程；(x Xi) +(y y)+(z Zi) = 0 x2 + y2 + z2 = x12 + y12 + z12又因为M1(x1，y1，Z1)在母线上，有 土=丛=亘二1210由上述方程消去Xi, Yi , Zi的方程得9x2 +9y2 +9z2 =5(x + y + z-1)2 +9_x _ y - _ z例2将直线最二= = 1绕z轴旋转，求这旋转面的方程，并就 5P可能的值讨论这是什么曲面？解：先求旋转面的方程式： 任取母线上一点Mi(

35、Xi, Yi,Zi),过Mi的纬圆为:word完美格式范文范例学习指导 TOC o 1-5 h z )=4(1)222222X2y2z2=K2yi2Zi2(2)又上=九二=二(3) HYPERLINK l bookmark24 o Current Document 01从(1) (3)消去 xi,y，zi,得到：x2 y2 T2z2 !：:;-2 : 0此即为所求旋转面的方程。当口=0邛#0时，旋转面为圆柱面(以z轴为轴)；当a=0,P=0时，旋转面为圆锥面(以z轴为轴，顶点在原点)；当见 B卢0时,旋转面变为z轴;当a=0,P#0时，旋转面为单叶旋转双曲面。四.特殊二次曲面方程222X y

36、z .1.椭球面：t rr t = 1 ；a b c2.22一一 Xy虚椭球面：2-2 ab3.2 X单叶双曲面：Wa2c2y _b22=-12 z2 c2(1)它有渐近锥面:a2 b22X(类似于双曲线Fa2yrr 一1有渐近线b2 X2 a2y_乒=0,即y =aX)(2)单叶双曲面的直纹性:-*,得两族直母线X2 z2 彳 y2,x zwX z、，人由/一 .3,(a ”a-C);(1word完美格式范文范例学习指导u(- -) = v(1 且) a c bvd-与二 u(1- a c bx -1 V z 例1.直线l的方程为： .求l绕z轴旋转一周得到的旋 TOC o 1-5 h z

37、1- 3 3转曲面的方程，并判断它是何种平面2222Xq - 1 Vo Z0解 x+y=xo+yo,z=z),= t = 消去 Xo，Vo，z。得 HYPERLINK l bookmark132 o Current Document I 33所求旋转x 1 V zz 3曲面方程。 由-二一理 yo Z, xo-, 代入1- 333222x y = Xo yo(z 3)29x2 y2 (z 13o)2 TOC o 1-5 h z 98110100222x y z与单叶双曲面三+2-下=1相比较得出：所求旋转曲面为单叶双曲a b c33a、10, ,10,10面.f 3顶点在10,0，-行L3个轴

38、的长度分别为例2 设直线与m为互不垂直的两条异面直线，C是l与m的公垂线的中点，A,B两点分别在直线l, m上滑动，且/ACB = 901试证word完美格式范文范例学习指导直线AB的轨迹是一个单叶双曲面。证明：以l, m的公垂线作为z轴，C作为坐标原点，再令x轴与l, mzx1x2y1y2 - c2 = 0亦即(2)又设M (x, y, z)为AB上任一点，则x2 xy2 y1-2c从(1)(3)中7肖去 xi, yi,x2,y2,得：x -x1y - y1 z - c22、 22、 22_22_21 (1 ， )x -(1 -， )y z : c2y.2.2 1 - 11 -1丁 l不垂直m,，九八1(4)表示单叶双曲面，即AB的轨迹是单