等比数列考点、考题分析

1、等比数列考点、考型解析临泉实验中学安庆旺等比数列是数列的核心内容，是高考必考的知识点之一.在高考中涉及到等比数列的主要考点有：等比数列的基本运算与通项公式；等比数列的性质；等比数列的前n项和；等比数列的综合应用等.考点一 等比数列的基本运算与通项公式考型一 等比数列的基本运算例1 (2012新课标卷)等比数列 以的前n项和为Sn,若S+3S2=0,则公比q =_. TOC o 1-5 h z 【命题立意】本题考查等比数列的基本运算，考查学生的运算能力【试题解析】由 S3 +3S2 = 0,即 a1 +a2 +a3 +3(a1 +a2) = 0a,即 4al +4a2 + a3 = 0 ,即 4

2、al +4aq +a1q2 =0 ,即 q2 +4q +4 = 0,所以 q = -2.【点拨】等比数列的通项公式及前n项和Sn,反映出五个变量 a1,an,n, q, Sn的关系，利用方程的思想，知三求二，能熟练列方程，求未知量考型二：4与S的关系例2 (2013新课标卷I)若数列a的前n项和Sn =2an+1 ,则OJ的通项公式是33an【命题立意】本题考查等比数列的定义，Sn与an之间的关系，意在考查考生利用分类讨论思想和等比数列的定义，考查运算能力. HYPERLINK l bookmark13 o Current Document 2121【试题斛析】当n =1时，由已知Sn = -

3、 an十一 得a1 = a1十一 即a1 = 1 ； HYPERLINK l bookmark15 o Current Document 3333, 一 一 21当n上2时，由已知得到Sn=an+,33所以 anSn - Sn 4 =2JanV2a3 J 312_2-n-l+- =-an 二 an二所以 Hn = -2Hn，333所以，数列为以1为首项，以-2为公比的等比数列，故 an = (-2)n，【点拨】利用an与Sn的关系，求通项公式时，要按照n = 1和n之2两种情况分类解答，当n22时，由an =& 一Sn2JanJf23an4122十二=二4一二an,得an与an的关系 333n

4、 =1也成立.式，再利用等比数列的定义和通项公式求解.最后验证所求通项公式对于 考型三：可化为等比数列的线性递推数列例 3 数列 Q中，a =1a+=2an+3,则 an =.【命题立意】本题考查递推数列通项公式的求法，考查学生的观察能力、推理运算能力，转化与化归的思想方法.【试题解析】由an+ = 2an +3变形得%中+3 = 2（4 + 3）,令bn = % + 3,得bn书=2bn.从而数列&n是首项为4 ,公比为2的等比数列，易得bn =2n* ,所以an =2n* -3.【方法、规律点拨】在上面的变形过程中，为什么想到两边加上3,就构成等比数列，其中有什么规律？事实上，对于形如an

5、 = pan+q,（p,q为常数，且p#1）的数列，我 TOC o 1-5 h z 们把它叫做一阶线性递推数列，我们可以采用待定系数法求通项公式假设 an.+x = p（an+x）展开后得an = pan+ （p -1）x ,与 an.= pan+q 比较系数，n -1n11 -1nn -in可得 x =,即 an书 + = p（an +），p -1p 1p 1令bn =an,则匕为等比数列，公比为p,首项为p 1p 1求出bn，进而求出an.这种构造等比数列的方法是解决线性递推数列问题的基本方法，对于复杂的递推数列的关系一旦转化为线性递推关系，很容易求出其通项公式.常见以下几种变式变式1：已

6、知数列 Q 的首项a =1，且an书=3an +2n*,（n主2）,求an【试题解析】方法一：由已知an书=3an +2n*,（n至2）等式两边同时除以2n卡，得骷 =3，驾+1,两边同时加2得的+2=9（与+2）.2n 122n2“122n所以，数列（a；十2；是首项为5,公比为。的等比数列.2n22a5故曳2=52n23丫5M3n=2nn 4 n 1，即 an = 5 3-2方法二：由已知an+=3an +2n书,（n之2）等式两边同时加2n卡,得 an1 2n2 =3 (an 2n1)所以，数列On +2n+1是首项为5,公3比为的等比数列n 1n 1n3n1故 an +2=5父3 ,即

7、 an =5父3 -2【方法、规律点拨】对于形如 an+=pan +qn的递推数列，两边同时除以 qn中,得包叶=E .与 1,转化为线性递推数列，再进一步转化成等比数列求解 qn q qn qa.变式2：已知ai =5,a5 = n (n1),则该数列的通项 an =.22【试题解析】由an书=a-,两边取对数得 lg an+=2lg an -lg2,进而变形为lgan+lg2=2(lgan lg2),所以，数列 加小lg2是首项为lg5 lg2,公比为2的等2n 1一,一,一, n 1，5比数列，从而 lgan lg2 = (lg5 lg2)2 ,即 an =2黑 9.0,q1)的递推数列

8、，两边取对数得lg an+ =qlg an +lg p转化为线性递推数列，化归为熟知的问题求解变式3：已知数列 Q 的首项a1 =1 ,且a. = 2an ，求an.3an 42a113【试题斛析】由 an书=,两边取倒数，得 =2 x + ,3an 4an 1an 21313 变形为，+3=2 - + -an 书 2是等比数列，首项是。2：所以+ 3 =5M2n，从而an =21an 2 25 2n -3【方法、规律点拨】对于形如an+= Aan (A,B,C为非零常数)的递推数列，可通过两 Ban C TOC o 1-5 h z 边取倒数，转化为线性递推数列求解.考点二等比数列的性质及其应

9、用考型一等比数列的单调性例4(1) (2010山东)设4是首项大于零的等比数列，则“ a0 ,所以有a1 1 , 所以数列是递增数列；反之，若数列 小 是递增数列，则公比 q 1且a1A 0 ,所以 a1 1 , a1 a2 ：一 .an递增；当 n 4 时，an 1, a1a2 .an 递减.又24=1,所以当n=3或4时，a1 a2 an最大，最大值为 64.考型二 等比数列的性质例5数列小是各项都为正数的等比数列，公比为 2 ,若a1 22 a3230 = 230,【命题立意】本题考查等比数列乘积的性质，考查学生的运算求解能力【试题解析】方法一：由an 是各项都为正数的等比数列得30=2

10、 ,=a1 2a30 15a1a30 =a2，a29=a15a16,所以aaa3130=(a1 1a30)故 a，a30 = 2 . TOC o 1-5 h z l r5则a3%89830= a3a0a6 仇7.a15a第=a3a0555=a3 a30= a1 2 a30= 2方法二：利用等比中项的性质,a2a3=a2,a4a5a6=a5,a28a29a30= a29.33 - - -3.330a2a3a30=a2B5W29 =a2a5a29= 2所以,a2 a5a29=2：a30 = a2 2 a52 : a29 2 = a2 a5-210 =220【点拨】在等比数列中，距首末两端等距离的两

11、项乘积相等，即a an = a?an 4-= akan由，方法二中巧妙利用等比中项进行转化，使得计算过程简化.考点三等比数列的前项和公式；考型一等比数列前n项和公式例6 （2012江西）等比数列an的前n项和为Sn,公比不为1.若a1=1,且对任意的n N十都有 Sn + 2 + 3n+ 1 2an = 0,则 S5=.【命题立意】以递推形式给出等比数列，考查方程思想、等比数列的基本运算、等比数列求和公式的应用.【试题解析】由 an-2 +an+-2an =0,得 anq2 +anq2an =0,显然 an #0,5 所以 q +q-2 = 0.又 q#1,解得 q = 2 .又 a1 = 1

12、,所以 S5 =- =11.1-(-2)【点拨】因为对任意的 nw N +都有an42+an书一2an = 0,可以由a1=1,n=1代入，解方程得公比q ,也可以利用等比数列的定义得 anq2 +anq -2an = 0 ,由an = 0 ,所以 q2 +q2=0.解方程，求出q的值.考型二等比数列前n项和公式的性质例7在等比数列Q 中，前n项和为Sn,若Sn= 48,S2n= 60,则Sn=.【命题立意】考查等比数列前 n项和的性质，考查运算能力、方程思想【试题解析】显然，公比a1(1 - q3n)S3n =631 -qa2=481-qq #1,由已知得J2nx la1(1 - q )解得

13、=60=64方法二：由Sn，S2n - Sn，S3n - S2 n，构成等比数列，知2.Sn S3n-S2n)=(S2n-Sn),把S = 48, S2n = 60代入得 S3n = 63.【方法、规律点拨】在等比数列中，当n为奇数或n为偶数，且q=-1时,S ,S2n - Sn,S3n 8n,构成等比数列，即等比数列的连续n项的和也是等比数列.巧妙利用等比数列的性质可以简化运算 考点四：等比数列的综合应用 考型一 等比数列的证明例8设C1，C2,，Cn, 是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在X轴的正半轴上，且都一 3与直线y =一X相切，对每一个正整数n ,圆Cn都与圆Cn+相互外切，以rn

14、表小Cn的半径, 3已知 rn为递增数列.(I)证明:rn为等比数歹U；(n)设r1 =1 ,求数列1的前n项和.rn【命题立意】本题考查等比列的基本知识，利用错位减法求和等基本方法，考察抽象概括能力以及推理论证能力.【试题分析】（1）求直线倾斜角的正弦，设Cn的圆心为（九n,0）,得 K =2rn ,同理得元+ = 2%4，结合两圆相切得圆心距与半径间的关系，得两圆半径之间的关系，即rn中中与rn的关系，证明rn为等比数列；（2）利用（1）的结论求rn的通项公式，代入数列-, rn然后用错位相减法求和.（1）将直线y=E3x的倾斜角记为 日，则有tane =3 , sine =1.设Cn的圆

15、心为（4,0）332 nr1则由题意得知 得 =2% ,同理、书=21n书，从而九n41 =九n +n +n书=2%中， n 2将An =2%代入，解得rn*=3rn，故I是公比为3的等比数列（2）由于 r1 =1, q = 3故 rn = 3n，,从而一=n 父 31 rn1 2n（3）记 Sn =十一十一 十,则 8n =1 +2M3 十十M31 。1 上rn8n =1父3二十2M3二十.一+n3Jn（2）3G-得=1+3/+3 二十.一十 31jq门/3 二1-? -n3J = 3 -门 + 3卜322 2成立.Sk。C【命题立意】本题以数列为载体，考查等比数列、不等式的知识，考查学生的

16、运算能力及探索性问题推理论证能力.- t 1 t 11【试题解析】(1)由Sn =4 1 n i,得Sn卡=4 1科1= Sn+2 (nw N).12nl2n 1 2c -(2)要使Sk 一C 2 ,只要 Sk - C3、Sk -22JC - Sk：0.，c1 ),因为 S =4 1 . i4 , 0 (kwN),故只要 TOC o 1-5 h z 12123-Sk -2 :二 c :二 Sk (k N).33因为Sk+ Sk(k= N),所以-Sk -23S1 -2 = 1, HYPERLINK l bookmark19 o Current Document 22又Sk 4,故要使成立，c只能取2或3.当c = 2时，因为& =2,所以当k=1时，c c ,由 Sk Sk+(k = N),